Prvňáci a matematika II. Poznáváme čísla

Poznávání přirozených čísel a početních výkonů v oboru přirozených čísel je ústředním učivem matematiky na 1. stupni základní školy. Cílem tohoto příspěvku je poskytnout učitelům a dalším zájemcům metodický rozbor této problematiky v propojení s materiálem uveřejněném v sekci Metodického portálu DUM (digitální učební materiály).

Na samém počátku poznávání přirozených čísel se zcela přirozeně u žáků objevují dva různé přístupy, tj. jeden konkrétní – reálný, který odpovídá vymezení přirozeného čísla jako kardinálního, popř. ordinálního čísla, a druhý, čistě formálně logický odpovídající zavedení přirozeného čísla jako Peanovy množiny.

Již v předškolním věku děti určují počty různých objektů tak, že ukazují příslušný počet prstů. Např. ukazují tři prsty a říkají, že snědly tolik knedlíků. Na druhé straně pak odříkávají řadu názvů čísel jedna, dvě, tři atd. jako říkanku, aniž by jednotlivé názvy chápaly jako označení čísel. Postupně, obvykle až s počátkem vyučování matematice, se obě uvedené cesty k chápání pojmu přirozeného čísla spojují. Ve škole pak při objasňování přirozeného čísla není potřeba zvlášť odlišovat, který z uvedených způsobů zavedení přirozeného čísla se právě využívá.

Děti přicházející do školy v naprosté většině dovedou odříkávat řadu názvů – číslovek jedna, dvě, tři, čtyři, pět – často do deseti a někdy i do dvaceti. To však neznamená, že dovedou počítat po jedné, neboť se často stává, že odříkávají slova rychleji, než ukazují počítané předměty, nebo naopak. Tak se stává, že vysloví více slov, než je počítaných předmětů, nebo naopak.

Na počátku mají žáci postupně přecházet od neuvědomělé činnosti k uvědomělému tvoření dvojic slovo–počítaný předmět. To znamená, že vyslovení každého názvu je spojeno s činností odsunutí, ukázání, odškrtnutí prvku dané množiny (daného souboru). Při tom se žákům připomene, že se řekne stejně názvů, jako má prvků daná množina (daný soubor) a že poslední vyslovený název je počtem prvků dané množiny (daného souboru).

Čtení čísel 1, 2, 3, 4, 5, ... ovládá velká část dětí již v předškolním věku. Nyní se mají žáci především naučit daným číslem zaznamenat počet prvků daného souboru (dané množiny).

Při procvičování čtení a psaní čísel se žáci učí chápat přirozené číslo jako společnou vlastnost ekvivalentních množin tím, že určují počítáním po jedné počty prvků různých ekvivalentních množin (souborů), přičemž vyznačují ekvivalentnost graficky, a tyto množiny (soubory) pak spojují čárou s týmž číslem (prezentace, slide 14; pracovní list, úkol 13).

Žáci by měli být vedeni tak, aby pojem čísla neztotožňovali pouze s jeho znakem. Proto je dobré nácvik psaní a čtení čísel co nejvíce spojovat s určováním a označováním počtů prvků daných množin (souborů) apod. V nejnižších ročnících mohou žáci zapisovat počty obrázků do nejrůznějších diagramů (viz pracovní list, cv. 19, 22). Rovněž tak čtení čísel je vhodné spojovat s činností určování a vytváření souborů (množin) věcí, obrázků, množin (souborů) o daném počtu prvků.

Takovým vhodným cvičením se může jevit, když vyučující ukazuje karty s čísly: žáci čísla čtou a ukazují kartu s příslušným počtem teček, ukazují příslušný počet prstů, kladou na lavici odpovídající počet knoflíků, odsouvají kuličky na počitadle apod.

Největší potíže činí na počátku školní docházky psaní čísel. Proto, aby nácvik psaní čísel nebyl čistě mechanický, objasňuje se žákům od samého počátku i porovnávání čísel a pak i sčítání a odčítání. Mluví-li se při vyučování matematice o porovnávání čísel, myslí se tím určování vztahů větší než, menší než, rovná se mezi dvěma čísly.

Při tradičním vyučování počtům se porovnávání čísel, rovnostem a nerovnostem věnovala jen minimální pozornost. Se znaky > < se žáci mladšího školního věku vůbec neseznamovali. (Systematické porovnávání čísel i se znaky >„množinové matematiky“.)

Vztahy větší než, menší než mezi přirozenými čísly kdysi žáci chápali čistě intuitivně. V početnicích pro 1. ročník bývaly dvě řady obrázků a žáci měli rozhodovat, ve které řadě je více či méně obrázků. V početnici pro 1. ročník (5) ze šedesátých let se však vždy vyskytovaly jen takové případy, kdy počet obrázků v jedné řadě byl právě o jeden větší než počet obrázků v druhé řadě. Takový přístup k porovnávání počtů prvků množin byl zaměřen především na vytváření zkušeností potřebných k  budování pojmu „následující číslo za daným číslem“.

Vztahů více, méně mezi dvěma soubory předmětů (mezi dvěma množinami) se při porovnávání čísel téměř nevyužívalo. Takovýto čistě intuitivní přístup k porovnávání čísel vedl v minulosti k tomu, že žáci chápali vztahy větší než, menší než a vztahy před, za ne jako vztahy uspořádání, ale ve smyslu o 1 menší, o 1 větší a ve smyslu hned před, hned za. To se projevovalo především při řešení úkolů, v nichž měli žáci zapsat, ukázat číslo menší (větší) než dané číslo.

V takových případech převážně uváděli předchůdce (následovníka) daného čísla. Obdobně chápali i vztah mezi, neboť na otázku „mezi kterými čísly je např. číslo 6?“ uváděli pouze čísla 5 a 7. Na přímou otázku, např. „je číslo 6 mezi čísly 2 a 9?“, odpovídali záporně.

Tranzitivnost vztahů uspořádání si žáci většinou vůbec neuvědomovali, dokonce se soudilo, že ji žáci mladšího školního věku nejsou schopni vůbec pochopit. Přitom však je třeba poznamenat, že dokázali celkem bezpečně rozhodnout, které ze dvou daných čísel, např. 12 a 19, je menší (větší).

Vztahy větší než, menší než jsou uspořádáním v množině přirozených čísel. Množina přirozených čísel je lineárně uspořádaná množina. Vztah je před (je za) má tytéž vlastnosti jako vztah je menší (je větší), je tedy také lineárním uspořádáním.

Je-li a menší než b, pak je a před b, b za a v uspořádání podle vztahu je menší, což žáci celkem snadno chápou. Není pro ně obtížné pochopit, je-li 3 < 5, je v řadě čísel číslo 5 před číslem 3.

I. Počítání po jedné

Nácvik počítání po jedné navazuje na zkušenosti žáků se známými říkankami jako např. „Jedna, dvě, Honza jde…“ nebo „Jedna, dvě, tři, čtyři, pět, cos to, Janku, cos to sněd…“. Poté, co vyučující se žáky odříká počátek říkanky „Jedna, dvě, tři, čtyři, pět…“,  klade žákům otázky jako: které slovo jsme řekli jako první, poslední? Které slovo jsme řekli hned před, hned za slovem tři apod. Pak se přistoupí k počítání po jedné. Žáci počítají různé předměty ve třídě, kuličky na počítadle, kostky (krabičky), které kladou na sebe, staví věže. Přitom je důležité žákům zdůraznit, že tvoříme dvojice z počítaných předmětů a slov jedna, dvě, …, která jsou uspořádána, a že řekneme stejně slov, jako je počítaných předmětů – položených kostek (krabiček). Říkáme, že jsme kostky spočítali po jedné. Poslední slovo, které jsme vyslovili, je počet kostek ve sloupečku.

Počítání po jedné si žáci mohou procvičovat a upevňovat hravými formami i při mimotřídních činnostech. Takovými vhodnými hrami jsou deskové hry jako Člověče, nezlob se a další hry, při nichž se hází hrací kostkou a postupuje s figurkami, a pak také domino.

Když žáci počítají různé objekty, je vhodné je hravou formou upozornit na různé možné chyby, které mohou při počítání po jedné nastat. Např. některý z počítaných objektů souboru se počítá dvakrát nebo se některý vynechá. Žáci rádi takové chyby objevují a vysvětlují.

Při procvičování počítání po jedné vyučující na žácích také požaduje, aby vytvářeli různé soubory o daném počtu prvků, a procvičuje i číslovky řadové. Již v této fázi učení, tj. při nácviku a procvičování počítání po jedné, je vhodné žáky připravovat na zavedení sčítání a odčítání tím, že se jim při pokládání knoflíků zadávají úkoly jako: položte na lavici jedno kolečko bílé a tři červená (viz příloha, obr. 1). Kolik jste položili koleček? Položte na lavici čtyři bílá kolečka. Dvě kolečka otočte červenou stranou nahoru. Kolik koleček zůstalo bílých?

Cvičení

1. Tabule – prezentace, snímek, 2, 3  pracovní list, cv. 1, 2: Potom, co žáci počítají různé drobné předměty, kostičky apod., počítají kostky ve sloupečcích kostek na tabuli. Určují, ve kterém sloupečku je nejvíce, nejméně kostek. Své odpovědi i zdůvodňují. Např. v červeném sloupečku je nejvíce kostek, protože v žádném jiném není více kostek, ve všech ostatních je méně kostek. Ve kterém je více (méně) než ve hnědém sloupečku? Zde je důležité na žácích požadovat, aby ukázali, jmenovali všechny sloupečky, ve kterých je více (méně) kostek než v daném sloupečku. Na dalším obrázku žáci určují počet stromů v sadu, počet dětí a určují, zda je více dětí, nebo stromů apod. Pak žáci pokládají na lavici tolik knoflíků, kolik je kostek v daném sloupečku, kreslí tolik čárek, kolik je kostek, obrázků apod.

2. Vyučující ukazuje karty s tečkami a žáci určují počet teček na kartě, ukazují svou žákovskou kartu se stejným počtem teček, nebo ukazují stejný počet prstů na ruce, jako je teček na kartě.

3. Vhodnou hrou k procvičování počítání po jedné je hra Člověče, nezlob se a každá hra, při níž se hází kostkou s tečkami a postupuje se s figurkami. Žáci si mohou i takovou hru přinést do školy a mohou hrát ve skupinách.

4. Tabule – prezentace, snímek 4, pracovní list, cv. 3: Žáci říkají, kolik skoků udělala figurka po hrací dráze, ukazují příslušnou kostku. V pracovním listu doplňují na kartu příslušný počet teček.

5. Vyučující říká čísla a žáci ukazují karty s příslušným počtem teček, ukazují příslušný počet prstů na ruce, pokládají na lavici příslušný počet knoflíků apod.

6. Tabule – prezentace, snímek 5, pracovní list, cv. 4: Ve školní jídelně byly k obědu kynuté knedlíky s meruňkami. Žáci kladou na lavici tolik knoflíků, kreslí tolik kroužků, kolik knedlíků má na talíři Aleš, kolik Majka, kolik Tomáš, kolik Lída, kolik Eva. Pak určují, kdo měl nejvíce, nejméně knedlíků, a řadí talíře s knedlíky od talíře, kde je nejméně (nejvíce) knedlíků, až po talíř, kde je nejvíce (nejméně) knedlíků.

7. Tabule – prezentace, snímek 6, cv. 1, 2, pracovní list, cv. 5, 6, 7: Žáci určují, ve které kytici je nejméně, nejvíce květin, a spojují je čárou od nejmenšího počtu květin k největšímu.

Žáci si ve dvojicích nebo ve skupinách zahrají domino. Na pracovním listě pak zaznamenávají, jak k sobě přikládali dominové karty (kostky).

8. Aplikační úloha: Jirka namaloval domeček, auto a panáka. Kolik namaloval obrázků?

Nakreslete tolik čárek, kolik namaloval obrázků. Hanka nakreslila dvě kytičky, sluníčko, strom a panenku. Kolik namalovala obrázků?

9. Žáci říkají, kolik členů má jejich rodina. Jmenují členy rodiny, ukazují prsty a počítají: tatínek, maminka, můj bratr a já. Jsme čtyři apod.

10. K Majce Peškové přišly na návštěvu její kamarádky Jitka a Věra. Kolik děvčat přišlo na návštěvu? Kolik děvčat bylo u Peškových?

11. Vendulčina babička má tři králíky, psa a kočku. Kolik zvířátek má Vendulčina babička?

12. Tabule – prezentace, snímek 7: Děti přecházely přes potok po úzké lávce. Jedno šlo přede dvěma, jedno mezi dvěma a jedno za dvěma. Kolik dětí šlo po lávce? Vyučující žákům řekne hádanku, ti si kreslí čárky a pak uvažují, jak to bylo. Pro kontrolu pak vyučující žákům promítne na tabuli obrázek.

13. Žáci odsouvají na počítadle kuličky (krychličky) podle pokynů: Odsuň pět kuliček (krychliček). Vyučující pak kuličky (krychličky) přepočítá a některou vynechá, nebo naopak počítá dvakrát s tím, že žáka „opraví“: neodsunul jsi pět, ale jen čtyři (ale šest). Úkolem žáků je přijít na to, proč vyučující počítal jinak než vyvolaný žák.

14. Číslovky řadové: Na stupínku stojí několik žáků v zástupu. Žáci určují, kdo je první, kdo druhý, atd. Kolikátý je Martin? Kolik dětí stojí před Martinem, kolik za Martinem apod.

15. Tabule – prezentace, snímek 8, 9, pracovní list, cv. 8: K určování pořadí a procvičování číslovek řadových vyučující využije i snímky na tabuli v tématu Přípravné období, část Uspořádání. Na obrázcích žáci ukazují prvního, posledního, třetího apod. Ve cvičení na pracovním listě žáci označují postavy dětí podle pokynů: Děti stojí v zástupech. V každém zástupu nakreslete prvnímu na tričko červenou tečku, poslednímu modrou, druhému zelenou, třetímu žlutou a čtvrtému hnědou. Pak jim těmito barvami vybarvěte bundy.

16. Žáci mají destičky (lístky) geometrických tvarů a řadí je podle diktátu: Položte do řady odleva doprava (odprava doleva, odshora dolů, odzdola nahoru) destičky. První – červený trojúhelník –, druhý – červený kruh –, třetí – zelený čtverec –, čtvrtý – žlutý kruh –, pátý – modrý čtverec (viz příloha, obr. 2). Přesuňte žlutou destičku (lístek) tak, aby byla poslední. Kolikátý je nyní modrý lístek?

17. Pracovní list, cv. 9: Navlékáme korálky. Žáci vybarvují korálky podle pokynů. První korálek je u uzlíku, poslední u šipky.

18. Tabule – prezentace, snímek 10: Vyučující nejdříve řekne žákům hádanku: „Jdou ovečky, jdou, v řadě za sebou, jde jedna za druhou. Kolik oveček jde za sebou?“ Pak pro kontrolu promítne žákům prezentaci.

19. U tabule stojí několik dětí a úkolem žáků je počítáním po jedné určit počet chlapců (2), počet děvčat (3), počet všech dětí (5), ale také určit nejdříve počet všech dětí u tabule (5), pak počet děvčat (3) a nakonec počet chlapců (2).

20. U tabule několik dětí stojí, několik přijde. Úkolem žáků je počítáním po jedné určit počet dětí, které u tabule stály (4), počet dětí, které k tabuli přišly (1), a počet dětí, které u tabule stojí (5). Pak také určit počet dětí, které u tabule stály (5), počet dětí, které si šly sednout do lavice (1), počet dětí, které u tabule zůstaly.

Nakreslete tři kolečka, jedno vybarvěte červeně, ostatní modře. Kolik koleček je modrých?

II. Čísla 1, 2, 3

Žáci nejdříve jen čtou, a to jak na kartách, které jim vyučující ukazuje, tak i na tabuli. Vyučující pak také diktuje číslovky a žáci ukazují příslušná čísla svými kartičkami. Žáci počítají různé předměty ve třídě a jejich počet ukazují kartami s čísly. Podle situace ve třídě se procvičuje i čtení čísel 4, 5. Nejvíce času však v tomto období zabere nácvik psaní čísel.

Cvičení

22. Vyučující ukazuje čísla 1 až 3, popř. až 5, na kartách (napsaná na tabuli) a žáci je čtou, a to hromadně i jednotlivě.

23. Žáci mají na lavici rozloženy karty s čísly 1 až 3, popř. 1 až 5. Vyučující říká čísla a žáci je ukazují svými kartami.

24. Na tabuli jsou zapsána čísla 1, 2, 3, popř. 1, 2, 3, 4, 5, a žáci je čtou podle pokynů: Přečtěte všechna čísla před (za) číslem 3, hned před (hned za) číslem 2.

25. Žáci řadí karty s čísly nejdříve podle diktátu, např. tři, jedna, dvě, pět, čtyři, a pak je seřadí od jedné do tří, popř. do pěti.

26. Tabule – prezentace, snímek 11, pracovní list, cv. 10: Žáci čtou zapsaná čísla, čísla na stupních vítězů a ukazují, který ze závodníků dostane zlatou, který stříbrnou a který bronzovou medaili a na kterém stupni vítězů bude kdo stát.

27. Tabule – prezentace, snímek 12, cv. 1.: Lidské tělo: Žáci určují, kolik mají lidé očí, rukou, hlav, nosů. Některý z žáků, popř. vyučující, jmenuje, ukazuje části lidského těla a žáci pak kartou ukazují jejich počet,     tj. 1 nebo 2.

28. Tabule – prezentace, snímek 12, cv. 2, pracovní list, cv. 11: Žáci určují počty kol různých vozidel. Vyučující nebo některý z žáků jmenuje, ukazuje na obrázku vozidla a ostatní ukazují kartou s číslem počet kol vozidla.

29. Tabule – prezentace, snímek 13, pracovní list, cv. 12: Na tabuli jsou nakresleny nebo na magnetické tabuli připevněny různé obrázky, ideální je, jestliže jsou na stolku různé předměty a na tabuli obrázky těchto předmětů. Např. na stolku jsou kaštany, listy, knoflíky, lístky (destičky) geometrických tvarů, kostičky apod. Žáci podle pokynů dávají do krabičky, na misku, do sáčku daný počet předmětů a pak kreslí, vyznačují, co udělali. K vyznačeným souborům věcí pak přiřazují čísla. Např. na stolku je hromádka kaštanů a žáci z nich podle pokynu tři vezmou, dají do krabičky, do sáčku a pak na tabuli; v pracovních listech vyznačí, nakreslí ohrádku kolem tří kaštanů. Kartou pak ukážou, kolik kaštanů je v sáčku vyznačeno ohrádkou – diagramem.

30. Tabule – prezentace, snímek 14, 15, pracovní list, cv. 13: Na obrázku je ovoce, tečky na kartách, kostky, ptáci na větvi. Kolik je tam jablek, hrušek, teček na kartičkách, kostek ve sloupečcích, ptáčků na větvi – ukažte tolik prstů. Ukažte kartičkou s číslem, kolik je tu vyznačeno obrázků. Na tabuli a v pracovních listech žáci spojují čárou obrázek s odpovídajícím číslem. U čísla 3 je i trojúhelník – úkolem žáků je najít tři trojúhelníky. (Jeden je vybarven modře, druhý červeně, třetí je větší a je tvořen červeným a modrým trojúhelníkem.)

Číslo tři se často vyskytuje v pohádkách. Znáte takovou pohádku? Podívejte se na obrázek oříšků. Kolik jich je? Kdo v pohádce dostal tři oříšky? (Tři oříšky pro Popelku) Co ti tři chlapíci na obrázku? Kterou pohádku vám připomínají? Jeden je dlouhán, druhý tlusťoch a třetí má zavázané oči. (Dlouhý, Široký a Bystrozraký) Co vám připomínají tři žluté – zlaté čáry? (Tři zlaté vlasy děda Vševěda) Co obrázek medvědí rodinky? Kolik je tam medvědů? (Tři medvědi) Znáte pohádku Tři veteráni? V některých pohádkách má král tři syny nebo tam jsou tři sudičky, zlatá rybka plní tři přání, ten, kdo chce vysvobodit zakletou princeznu, musí splnit tři úkoly, Smolíčka odnesly tři jeskyňky. Poproste doma rodiče, babičku, dědečka, aby vám nějakou takovou pohádku přečetli.

31. Tabule – prezentace, snímek 16, pracovní list, cv. 14: Nácvik psaní číslice 1. Je důležité žákům zdůraznit, že se číslice 1 píše jedním tahem tak, jako se píší psací písmena, která se dosud učili. Žáci píší jak na pracovní listy, tak do běžných školních sešitů.

32. Vyučující ukazuje žákům kartu s číslem a žáci jmenují předměty ve třídě, jichž je určený počet. Např. 1 – dveře –, 3 – okna –, 2 – žáci – v jedné lavici, …

33. Pracovní list, cv. 15: Žáci kreslí do rámečků tolik geometrický tvarů, kolik udává číslo u rámečku.

34. Tabule – prezentace, snímek 17, pracovní list, cv. 16: Nácvik psaní číslice 2. Opět je důležité žákům připomenout, že píšeme jedním tahem.

35. Vyučující ukazuje žákům karty s čísly, žáci je čtou a na papír, na fólii podle pokynů kreslí čárky, kroužky apod.

36. Pracovní list, cv. 17: Žáci kreslí do rámečků tečky. Tolik teček, kolik udává číslo.

37. Tabule – prezentace, snímek 18, 19, pracovní list, cv. 18, 19, 20: Nácvik psaní číslice 3. Doplňování čísel do tabulky tak, aby v každé řadě a v každém sloupci bylo právě jedno z čísel 1, 2, 3 a žádné se neopakovalo; je určeno především těm bystřejším žákům, pro něž jsou běžná cvičení a úkoly příliš jednoduché…

38. Procvičování psaní čísel. Žáci píší do sešitů číslice 1, 2, 3 podle diktátu vyučujícího a pak opisují do sešitu číslice zapsané na tabuli.

III. Porovnávání čísel, znaky < > =

Porovnávání čísel se opírá o poznané vztahy více, méně, stejně, které žáci poznali na základě tvoření dvojic. Je vhodné, jestliže se opět vychází z praktických činností, které se pak vyjádří graficky a nakonec se vyjádří symbolicky – zapíší se. Např. žáci mohou pracovat ve skupinách, kladou na sebe kostky, krabičky, popř. odsouvají kuličky (krychličky) na počítadle a říkají, kterých kostek je více.

Po promítnutí obrázku kostek – popř. se na magnetické tabuli vymodelují stavby ze čtvercových lístků (viz příloha, obr. 3) –, žáci uvažují, jak by zapsali, že červených kostek je více než zelených. Při tom je možno uvažovat o tom, že při posouvání kostek kleštěmi je nutno u tří kostek rozevřít kleště více, než když chceme do kleští vzít jen jednu kostku. Pak postupně pomocí vhodně volených otázek dojdou žáci k závěru: zapíší čísla (počty kostek) v jednotlivých sloupcích a mezi čísla doplní znaky < > =. Tak se postupně zapíše 1 < 3, 3 > 2, 2 = 2. Po nácviku zápisu znaků < > = žáci zapisují nerovnosti, rovnosti.

Cvičení

39. Tabule – prezentace, snímek 20, cv. 1, pracovní list, cv. 21: Žáci staví z kostek věže a porovnávají počty kostek. Zapisují nerovnosti, rovnosti. Po nácviku zápisu znaků < > = žáci pracují samostatně a porovnávají počty kostek ve sloupci – zapisují nerovnosti, rovnosti.

40. Tabule – prezentace, snímek 20, cv. 2, 21, cv.1, pracovní list, cv. 22, 23: Žáci zapisují čísla – počty prvků – vyznačených souborů (množin), počty teček na kartách a doplňují mezi ně znaky < > =. Zapisují tak nerovnosti, rovnosti.

41. Tabule – prezentace, snímek 21, cv. 2, pracovní list, cv. 24: Na tabuli jsou zapsány dvojice čísel a žáci mezi ně doplňují znaky < > =.

42. Tabule – prezentace, snímek 21, cv. 3, pracovní list. cv. 25: Vyučující nebo některý z žáků odsouvá kuličky (krychličky) na počítadle a žáci říkají příslušné nerovnosti. Jeden z žáků je může zapisovat na tabuli. Pak řeší samostatně cvičení v pracovním listě.