Číslo 0 má ve školské matematice poněkud zvláštní postavení, neboť někdy je a někdy není považováno za přirozené číslo. Záleží na definici, jíž je vymezováno přirozené číslo.
Číslo 0 je přirozeným číslem podle definice: Přirozeným číslem se nazývá společná vlastnost všech ekvivalentních konečných množin téže třídy. Jeho reprezentantem je při počítání po jedné úsek Peanovy množiny, který je ekvivalentní s kteroukoli množinou dané třídy. Jeho označením je poslední prvek tohoto úseku Peanovy množiny, kdežto podle jiných definic přirozeným číslem není, např. v definici: Přirozeným číslem se nazývá společná vlastnost třídy neprázdných konečných množin, se mluví o třídě neprázdných konečných množin, a proto podle ní nula přirozeným číslem není.
Při vyučování žáků mladšího školního věku je vhodné číslo 0 považovat za přirozené číslo a zacházet s ním jako s ostatními čísly, s nimiž se žáci seznamují, což jsou přirozená čísla. V případě, že by číslo 0 nebylo považováno za přirozené číslo, bylo by nutné v metodikách říkat, že se mladší žáci učí provádět operace s přirozenými čísly a nulou.
Je-li nula považována za přirozené číslo, nastávají jisté komplikace při probírání dělitelnosti v oboru přirozených čísel, což nastává při vyučování starších žáků. Proto bylo rozhodnuto ve školské matematice nulu za přirozené číslo nepovažovat..
Nula bývala při vyučování mladších žáků dlouho problémem, neboť se soudilo, že nejmladší žáci nemohou číslo nula pochopit. Bylo to způsobeno především tím, že nulu nelze znázornit graficky kreslením čárek, teček apod. a činnostmi ji lze demostrovat jen jako odebrání všech daných objektů.
V našich učebnicích např. Početnice pro 1. ročník z r. 1949 i z r. 1960 – 75 se objasňovala 0 jako rozdíl dvou sobě rovných čísel, avšak nula jako sčítanec nebo menšitel se v těchto učebnicích nevyskytovala. Takové příklady byly zařazeny až v učebnicích pro 2. ročník. Nula jako činitel se při objasňování násobení v učebnicích z těchto let vůbec nevyskytovala a její význam vzhledem k dělení se žákům rovněž nevysvětloval. To vedlo k tomu, že se žáci často dopouštěli chyb při provádění početních výkonů s nulou. Zcela obvyklým jevem bývalo, že vlastnost nuly jako neutrálního prvku sčítání přenášeli i na násobení a chybně počítali např. 0 . 37 = 37.
Teprve v učebnicích vydávaných od druhé poloviny 70. let bylo poznávání čísla nula zařazeno do učebnic matematiky pro 1. ročník. Číslo 0 se zde objasňovalo jako počet prvků prázdné množiny, která se schematicky znázorňovala diagramem (obr.1), což umožňovalo znázornit nulu jako sčítance – menšitele (obr.2).
 |
| Autor díla: Marie Janků |
Tématem tohoto článku je objasnit žákům číslo 0, naučit je číslo 0 schematicky znázorňovat různými způsoby (diagramem, dominovou kartou, prázdnou kartou bez teček a třeba i prázdným drátem počítadla, na němž nejsou žádné kuličky) a naučit je uvědoměle počítat příklady sčítání a odčítání, v nichž je sčítancem, menšitelem nebo rozdílem číslo 0.
Novým typem cvičení jsou zde cvičení, v nichž je schematicky zaznamenán vztah "hned před" pomocí šipky (prezentace, snímek 5, cv. 1, pracovní listy, cv. 6) Tento vztah je důležité procvičovat i v souvislosti se vztahem před, za. Např. tak, že žáci dostanou za úkol určit číslo, které je v řadě čísel hned před číslem 4 a vyjmenovat všechna čísla, která jsou v řadě čísel před číslem 4.
Dalším novým typem cvičení jsou i cvičení, v nichž se procvičuje sčítání a odčítání pomocí očíslované hrací dráhy (prezentace, snímek 13, pracovní listy, cv. 9), která je průpravou k práci s číselnou osou.
- počítání po jedné, čtení, psaní, znázorňování čísla 0, porovnávání čísla 0 s čísly 0 až 6 (<, >, =), přirozené uspořádání čísel 0 až 6, nerovnice a řešení aplikačních úloh pomocí nerovnic.
Při poznávání čísla 0 mají žáci např. dva sáčky. V jednom jsou kuličky nebo jiné drobné předměty a druhý je prázdný. nebo ukazují krabičku, v níž jsou např. kamínky a druhá je prázdná. Tyto situace schematicky zaznamenávají pomocí diagramů, ke kterým přikládají čísla, počty prvků v diagramech (obr.3).
 |
| Autor díla: Marie Janků |
Přirozené uspořádání čísel se procvičuje i formou číslovek řadových, což u čísla nula není jednoduché, proto je zde voleno číslování knoflíků ve výtahu, kde je číslem nula označeno přízemí. Vztah "hned před", "hned za", se zde zaznamenává pomocí šipky.
Porovnávání čísla 0 s čísly 0 až 6 je možné motivovat pohybem figurek po hrací dráze, kde start je číslo 0. Dále je vhodné porovnávat počty teček na kartách, počty prvků v diagramech, kuličky na dvou drátech počítadla apod. Přitom žáci zapisují příslušné nerovnosti stíracím fixem na folii nebo je sestavují z karet s čísly. Dále je možné procvičovat porovnávání čísel i hromadně tak, že vyučující žákům ukáže kartu s číslem a úkolem žáků je ukázat kartu s číslem větším, menším, rovným ukázanému číslu podle pokynů vyučujícího.
Porovnávání čísel se upevní i na úlohách daných přirozenou situací. Žáci popisují situace na obrázcích: Na jedné větvičce jsou tři lístky, z druhé větvičky již všechny lístky opadaly, je holá. Žáci zapíší příslušnou nerovnost 4 > 0.
Na porovnávání čísel navazuje procvičování řešení jednoduchých nerovnic.
- sestavování příkladů sčítání a odčítání, znázorňování příkladů sčítání a odčítání, sestavování rovnic, znázorňování rovnic, aplikační úlohy.
Sčítání a odčítání v oboru přirozených čísel do 6, kdy je jednou ze složek početního výkonu číslo 0, je vhodné vyvodit na činnostech s knoflíky v dlaních, kdy jedna dlaň zůstává prázdná. Tato činnost se graficky znázorní diagramy obdobně jako při vyvozování příkladů sčítání a odčítání v předchozích tématech. Ke každé situaci a diagramu žáci sestaví a zapíší příklady sčítání i odčítání.
Žáci sestavují příklady sčítání a odčítání k jednoduchým schématům a diagramům i konkrétním situacím.
Znázorňování příkladů sčítání a odčítání se procvičuje tak, že jsou na tabuli zapsány příklady sčítání a odčítání do šesti, v nichž je některou ze složek početního výkonu číslo 0, nebo takové příklady vyučující žákům ukazuje na kartách, a žáci je znázorňují různými způsoby. Kladou knoflíky na dominové karty, do připravených diagramů nebo diagramy kreslí nebo vybírají z dominových karet připevněných na tabuli tu, která znázorňuje daný příklad.
Sčítání a odčítání je vhodné procvičovat i na očíslované hrací dráze. Žáci mají hrací dráhu, figurky a hrací kostku a počítají, na které číslo postoupí figurka po hodu hrací kostkou.
Sčítání a odčítání s číslem 0 je vhodné procvičit i formou řešení jednoduchých rovnic, které se uvedou pomocí manipulativních činností s knoflíky ve dlaních tak, že jedna dlaň zůstává prázdná obdobně jako se vyvozovalo sčítání a odčítání. Sevřená pěst je konkrétním vyjádřením neznámé. Žáci tyto činnosti znázorní diagramy. To, že jsou některé knoflíky schované zaznamenáme prázdným rámečkem. Prázdným rámečkem zaznamenáme, že některé číslo v příkladu neznáme, že je hledáme. Prázdný rámeček vyznačuje místo, kam zapíšeme hledané číslo.
Zapsali jsme tak rovnici 0 + ◊ = 2. Čteme: Nula plus neznámé číslo, neznámá rovná se 2. Diagram znázorňuje čtyři rovnice. Zapíšeme je 0 + ◊ = 2, ◊ + 0 = 2, 2 - ◊ = 2, 2 – 0 = ◊. Které číslo je hledané, neznámé číslo, jak je vypočítáme? (2 – 0 = 2)
Číslo 2 doplníme do rámečku v každé ze čtyř rovnic. Žáci doplní do diagramu prvky a tak se přesvědčí, že všechny čtyři rovnice mají totéž řešení. Ve cvičeních pak žáci sestavují k diagramům rovnice. Pokud žáci rovnice sami zapisují nemusí kreslit rámeček, ale stačí jestliže zapíší pouze čárku např. 0 + _ = 2. Žáci rovnice též znázorňují diagramy.
Diagram (obr. 4) je v podstatě jedinou možností, jak takovou jednoduchou rovnici znázornit. Při znázorňování rovnic je možno na žácích požadovat, aby sestavili další znázorněné rovnice. Rovnice je možno řešit i postupným dosazováním, např. se do rámečku v rovnici zapsané na tabuli postupně přikládají karty s čísly a žáci rozhodují o tom, zda takto získaná rovnost je nebo není pravdivá.
 |
| Autor díla: Marie Janků |
Řešení rovnic, v nichž je i číslo 0, se dále procvičuje i formou řešení aplikačních úloh. Žáci nejdříve formulují aplikační úlohy k diagramům, jimiž jsou vyznačeny konkrétní obrázky a prázdným rámečkem je dáno, k čemu se má vztahovat otázka. Např. na dvou dubových větvičkách jsou celkem 3 listy. Na jedné větvičce jsou 3 listy. Kolik listů je na druhé větvičce? Dále pak žáci formulují aplikační úlohy ke konkrétním obrázkům a znázorňují je diagramy, v nichž prázdným rámečkem vyjádří k čemu se vztahuje otázka.
Všechny články jsou publikovány pod licencí Creative Commons BY-NC-ND.
Článek nebyl prozatím komentován.
Pro vložení komentáře je nutné se nejprve přihlásit.
Tento článek je zařazen do seriálu Prvňáci a matematika.
Ostatní články seriálu:
Článek je zařazen v těchto kolekcích:
