Graf kvadratické funkce

Základní údaje

• Typ materiálu: pracovní list
• Stupeň vzdělávání: střední škola
• Metody: badatelská výuka
• Vzdělávací obor: matematika a její aplikace
• Tématický okruh: závislosti a funkční vztahy
• Časová dotace:
  • Výuka: 30-40 minut
  • Příprava: 10 minut

Pomůcky

• Učitel: PC s připojením na internet, dataprojektor
• Žák: PC s připojením na internet, pracovní list

Potřebné vstupní znalosti a dovednosti

• Oborové: kvadratická funkce a její předpis, kartézská soustava souřadnic
• Digitální: základní znalost programu GeoGebra (nákresna, příkazový řádek, posuvník, důležité body), žák zadá předpis funkce do příkazového řádku, manipuluje s nákresnou, využívá tlačítka „důležité body“ a posuvníku

Přínos využití digitálních technologií

• využití matematického softwaru k danému zkoumání, vizualizaci a prezentaci matematických konceptů
• schopnost práce s daty v digitální podobě

Metodická poznámka

Aktivita je badatelská, učitel má ve třídě pozici průvodce. Tlačítko „důležité body“ lze využít pouze v aplikaci GeoGebra – Grafický kalkulátor.

Zdroje

• GeoGebra – matematická aplikace geogebra.org

Popis vzdělávací aktivity

Vzdělávací aktivita se skládá ze dvou úloh. K oběma úlohám je vytvořen pracovní list.

• První úloha: Žáci si zvolí libovolnou kvadratickou funkci ve tvaru s konkrétními hodnotami\[ a \],\[ m \],\[ n \] a zadají ji do programu GeoGebra. Postupně začnou měnit jednotlivé parametry. Předpisy nových kvadratických funkcí budu zapisovat do připravených tabulek. Zároveň u každé nové kvadratické funkce pomocí tlačítka „důležité body“ určí vrchol paraboly, průsečíky s osami\[ x \] a\[ y \] a nulové body, navíc však zkoumají, v jakých případech průsečíky s osami\[ x \] a\[ y \] a nulové body existují vzhledem k prováděné transformaci grafu funkce. Dochází k tvorbě několika izolovaných modelů. Jakmile si žák vyzkouší dostatečný počet izolovaných modelů a dojde k tvorbě generického modelu, dokáže popsat, jak se mění tvar paraboly v závislosti na jednotlivých parametrech a určit vrchol paraboly z předpisu funkce.

• Druhá úloha: Tvorba kvadratické funkce s posuvníky v GeoGebře, žák zkoumá zvláště speciální případy, kdy \[ a=0 \], \[ b=0 \], \[ c=0 \] .

Pracovní list

1. Úloha: Zvolte si libovolnou kvadratickou funkci ve tvaru \[ f(x)=a{(x+m)}^{2}+n \] (s konkrétními hodnotami\[ a \],\[ m \],\[ n \]) a zapište ji:

Funkci zadejte do programu GeoGebra. Nyní postupně zaměňujte dané parametry\[ a \],\[ m \],\[ n \]. Předpisy funkcí vždy zapisujte do tabulky. Pomocí tlačítka „důležité body“ zapisujte do tabulky také: vrchol paraboly, průsečíky s osami\[ x \] a\[ y \] a nulové body. Zkoumejte, jak se graf paraboly mění v závislosti na daných parametrech.

a) Zaměňujte parametr\[ a \]:

• Jak se mění graf paraboly v závislosti na parametru\[ a \]?

b) Zaměňujte parametr\[ m \]:

• Jak se mění graf paraboly v závislosti na parametru\[ m \]?

c) Zaměňujte parametr\[ n \]:

• Jak se mění graf paraboly v závislosti na parametru\[ n \]?
• Co se děje s grafem funkce, pokud je parametr\[ a \] záporný?

2. Úloha: Vytvořte v programu GeoGebra kvadratickou funkci s předpisem \[ f(x) =a{(x+m)}^{2}+m \], kde\[ a \],\[ m \],\[ n \]. Zkoumejte, jak se mění graf kvadratické funkce v závislostech na parametrech\[ a \],\[ m \],\[ n \] speciálně pro nulové hodnoty.

Ukázka možného řešení v Geogebře:

1. Možné řešení

Autor díla: Veronika Procházková

2. Možné řešení

Autor díla: Veronika Procházková

3. Možné řešení

Autor díla: Veronika Procházková

4. Applet s posuvníky

Autor díla: Veronika Procházková

Pokud budeme měnit parametr\[ a \], parabola se bude uzavírat a otevírat; pokud budeme měnit parametr\[ m \], graf se bude posouvat ve směru osy\[ x \] proti znaménku; a pokud budeme měnit parametr \[ n \], graf se bude posouvat ve směru osy\[ y \] dle znaménka.

Je možné využít i tento odkaz: https://www.geogebra.org/m/zfn6rtvd.