Odborné články Základní vzdělávání Krychle a její síť v GeoGebře 3D
Odborný článek

Krychle a její síť v GeoGebře 3D

8. 7. 2025
Základní vzdělávání
Autor
Mgr. Hana Mahnelová Ph.D.
Spoluautor
Mgr. Hana Hrabalová

Anotace

Aktivita vede žáky k samostatnému vytvoření dynamického 3D modelu krychle a jedné její sítě v prostředí GeoGebra 3D. Při tvorbě a použití modelu žáci aktivně pracují ve třech zobrazených oknech a sledují jejich vzájemné propojení vedoucí k úspěšnému splnění zadaného úkolu. Animace skládání/rozkládání sítě tělesa podpoří prostorovou představivost a porozumění pojmu síť tělesa v souvislosti s obsahem mnohoúhelníku.

Cíl

Žák/žákyně

  • aktivně pracuje v algebraickém okně, 2D nákresně a grafickém náhledu 3D programu
  • efektivně využívá pravé tlačítko myši k úpravám vlastností objektů a jejich zobrazení
  • uvědomuje si souvislost nastavení neprůhlednosti tělesa se správným zobrazením neviditelných hran tělesa
  • sestrojí 3D náhled krychle pomocí dvou bodů
  • manipulačním bodem v nákresně změní velikost hrany krychle
  • využívá nástroj Síť a umí aktivovat její animaci k vytvoření dynamického modelu
  • z vlastního dynamického modelu vyvozuje důležité matematické poznatky o povrchu krychle

 

Základní údaje

  • Stupeň vzdělávání: 2. stupeň ZŠ, odpovídající ročník víceletého gymnázia
  • Věková skupina: 12 - 14 let
  • Vzdělávací obor: matematika a její aplikace
  • Tematický okruh: geometrie v rovině a v prostoru
  • Časová dotace:
    • Výuka: 1 vyučovací hodina
    • Příprava: 0 minut

K čemu aktivita směřuje

K vytvoření dynamického 3D modelu sítě krychle (včetně animace) jako názorné pomůcky ke správnému stanovení povrchu krychle.

Pomůcky, hardware, software

Žák/yně: PC s připojením na internet, program GeoGebra Klasik nebo aplikace GeoGebra 3D prostředí

Učitel/ka: PC s připojením na internet, program GeoGebra Klasik nebo aplikace GeoGebra 3D prostředí, dataprojektor nebo interaktivní tabule

Zdroje

GeoGebra aplikace. GeoGebra Klasik

Potřebné vstupní znalosti a dovednosti

  • Oborové
    • znalost krychle
    • schopnost určit obsah čtverce z délky jeho strany
  • Digitální
    • schopnost otevřít prostředí (aplikaci) GeoGebra 3D
    • způsobilost rozlišit kliknutí na levé a na pravé tlačítko myši

Přínos využití digitálních technologií

Efektivní vytvoření dynamického 3D modelu sítě krychle a její animace jako podpůrný prostředek pro rozvoj prostorové představivosti.

Metodická poznámka

Doporučujeme ovládání pomocí myši v případě práce na PC nebo dotykového pera při práci s tablety.

Článek obsahuje v příloze nápovědu pro učitele s návodem, jak otevřít 3D prostředí programu GeoGebra Klasik.

Práce ve 3D je pro operační paměť zařízení náročná. Při slabším připojení internetu může dojít k zobrazení objektu s mírnou časovou prodlevou.

Žáci si nejdříve samostatně vyzkouší jeden ze způsobů sestrojení krychle a jednoduchou manipulací s určitým vrcholem krychle změnu velikosti její hrany.

Hned v úvodu žáky upozorníme, aby nijak neotáčeli krychlí ani podstavnou rovinou, nepoužívali druhý manipulační bod (v našem případě bod C).

V úloze 1 je vhodné také se žáky vyzkoušet zobrazení hran tělesa při nastavení neprůhlednosti na hodnotu 0. Pak je ale důležité se vrátit k nastavení jiné, větší hodnoty.

V případě potřeby velikost zobrazení ve 2D nebo 3D ovládáme pomocí kolečka myši. Nastavená délka hrany krychle se nezmění.

Program zobrazí popsaným způsobem pouze jedinou síť krychle  -  tu, která má tvar latinského kříže. Na aktivity je možné navázat diskuzí se žáky o možnostech existence dalších tvarů sítě krychle.

Rozloženou síť (ve 2D) také můžeme při aktivním 2D okně přes ikonu hamburger menu (tři rovnoběžky) v pravém horním rohu postupným proklikáním výběrů SouborExportovat obrázek zkopírovat, vložit například do MS Word a následně vytisknout. Aby se nezobrazil posuvník (případně osy souřadnic), provedeme jeho (jejich) skrytí (obr. 5).  Stejným způsobem lze zdokumentovat i situaci ve 3D. Musíme však mít 3D prostředí aktivní.

Žáky postupně seznamujeme i s informacemi v algebraickém okně.

Popis vzdělávací aktivity

Úloha 1 - Konstrukce krychle

  1. Otevřete 3D prostředí programu GeoGebra. Zobrazí se tři okna. První, zcela vlevo, je algebraické okno, uprostřed se zobrazuje okno s nákresnou 2D a vpravo je umístěno okno grafického náhledu 3D společně se třemi souřadnými osami a rovinou, kterou budeme dále nazývat podstavná rovina (obrázek 1).
  2. Sestrojte krychli o délce hrany 3 jednotky \[ (a=3~\mathrm{j}) \] užitím nástroje Krychle (umístěn v nabídce ikony s obrázkem jehlanu v grafickém náhledu 3D) tak, že kliknete nejdříve na společný průsečík všech tří os a pak na bod 3 na ose \[ x \].
  3. Poloha kurzoru je v okně 3D náhledu. Přes pravé tlačítko myši skryjte osy.
  4. Přesuňte kurzor do řádku algebraického okna s označením krychle. Opět pomocí pravého tlačítka myši aktivujte Nastavení a v něm změňte barvu tělesa na černou a nastavte neprůhlednost blíž k nule, obr. 2. (Pozor, nikdy nenastavujeme polohu 0, znemožnili bychom tak správné rozlišení viditelných a neviditelných hran v zobrazení tělesa.)
  5. V nákresně 2D uchopte první manipulační bod (v našem případě označen B ) a tažením měňte délku hrany krychle. Sledujte, jak se mění velikost tělesa v grafickém náhledu 3D.
  6. Nastavte polohu manipulačního bodu B tak, aby se ve 3D zobrazila opět krychle s délkou hrany \[ a=3~\mathrm{j} \].

     

Řešení

Obrázek 1 - Tři zobrazená okna: algebraické, 2D nákresna, grafický náhled 3D

 

Obrázek 2 - 3D zobrazení krychle po úpravě barvy a neprůhlednosti

 

Úloha 2 - Síť krychle 

Pracujeme s modelem krychle o délce hrany \[ a=3~\mathrm{j} \], kterou máme připravenou z úlohy 1. Vytvoříme si dynamický model sítě krychle.

  1. Klikněte kamkoliv do 3D náhledu. V nabídce ikony s obrázkem jehlanu vyberte předposlední Síť (obr. 3) a klikněte na těleso ve 3D náhledu. Zobrazí se dvojrozměrná síť krychle ve tvaru latinského kříže v nákresně 2D i ve 3D prostředí (obr. 4).
    Obrázek 3 - Nabídka ikony s obrázkem  jehlanu
  2. V nákresně 2D je zobrazen pohled shora (tzv. nárys) situace ve 3D prostředí. Také se zde zobrazila úsečka (v našem případě pojmenována b) s vyznačeným bodem (černý puntík). Jedná se o tzv. posuvník, s jehož pomocí síť rozpohybujeme. Stisknutím levého tlačítka myši „uchopte“ vyznačený puntík, držte a pomalu jím pohybujte po úsečce. Rozložená síť zmizí z nákresny 2D, ale v grafickém náhledu 3D můžeme pozorovat, jak se síť složí do původní krychle a jak se síť krychle rozloží do roviny. Síť vidíme ve 2D nákresně pouze v případě, kdy je ve 3D okně rozložena do podstavné roviny.
    Obrázek 4 - Síť krychle v oknech 2D a 3D
  3. Umístěte kurzor na úsečku b v nákresně 2D a přes pravé tlačítko myši aktivujte animaci. Skládání a rozkládání sítě se provádí samo. Animaci zastavíte kliknutím na bod (puntík) na úsečce b.
  4. Popište, z čeho se skládá síť krychle. Jaký obsah mají všechny tyto mnohoúhelníky – celá síť?

Řešení

Výsledný model prezentuje obrázek 4. 

Síť krychle (obrázek 5) tvoří šest shodných čtverců umístěných do tvaru latinského kříže. Celá síť tvoří povrch tělesa a její obsah vypočítáme jako šestinásobek obsahu každého čtverce. Platí \[ S=6\cdot9=54~\mathrm{j}^2 \]. Stejná hodnota je také zapsána v algebraickém okně v řádku s označením sítě.

Obrázek 5 - Síť krychle

 

Reflexe

Aktivitu jsme vyzkoušeli záměrně ve dvou třídách. V první, kde žáci neměli žádné zkušenosti s používáním programu GeoGebra, pracovali v půlených hodinách a ve dvojicích, což se ukázalo jako přínosné. Žáci se vzájemně doplňovali a dobře se adaptovali na prostředí programu a jeho ovládání pomocí vybraných nástrojů.

Žáci druhé třídy již několikrát pracovali v hodinách matematiky ve 2D nákresně programu GeoGebra. Lépe se proto orientovali i v ovládání nástrojů 3D prostředí, pracovali více intuitivně a samostatně.

V obou třídách žáci dokázali na základě vytvořené sítě tělesa zformulovat způsob výpočtu jeho povrchu. Ocenili rychlé, přesné a efektivní konstrukce a výpočet pomocí programu, byli nadšení z vlastního vytvoření pohyblivého obrázkového modelu.

Soubory materiálu
Typ
 
Název
 
pdf
944.34 kB
PDF
Nápovědník pro otevření prostředí GeoGebra 3D

Licence

Všechny články jsou publikovány pod licencí Creative Commons BY-NC-ND.

Autor
Mgr. Hana Mahnelová Ph.D.

Hodnocení uživatelů

Článek nebyl prozatím komentován.

Váš komentář

Pro vložení komentáře je nutné se nejprve přihlásit.

Článek není zařazen do žádného seriálu.

Revidované RVP od 2025

RVP do 2024

Klíčové kompetence:

  • Základní vzdělávání
  • Kompetence k učení
  • samostatně pozoruje a experimentuje, získané výsledky porovnává, kriticky posuzuje a vyvozuje z nich závěry pro využití v budoucnosti
  • Základní vzdělávání
  • Kompetence digitální
  • ovládá běžně používaná digitální zařízení, aplikace a služby; využívá je při učení i při zapojení do života školy a do společnosti; samostatně rozhoduje, které technologie pro jakou činnost či řešený problém použít
  • Základní vzdělávání
  • Kompetence digitální
  • vytváří a upravuje digitální obsah, kombinuje různé formáty, vyjadřuje se za pomoci digitálních prostředků