Žák/Žákyně
Ukázka efektivního použití nástroje kalkulátoru (povoleného ke státní maturitní zkoušce) k rychlému stanovení souřadnic bodů náležících grafu příslušné funkce a jejich využití při ruční konstrukci grafu.
Žák by měl z předpisu funkce poznat, do které skupiny zadaná funkce patří a jaká křivka tvoří její graf.
Využití nástroje kalkulátoru Tabulka hodnot lze zařadit již do hodin s tématy elementárních funkcí, např. při probírání kvadratické funkce. Při vhodném zadání funkce je přínosné zkontrolovat výsledný graf pomocí šablony funkcí.
V současné době jsou nejrozšířenější kalkulátory značky Casio. Aktivita je popsána pro užití typu Casio fx-82CE X. (Pokud kalkulátor firmy Casio nemá zakončení CE, nemá režim češtiny.) I na starších modelech kalkulátorů (např. Casio fx-350ES PLUS) existuje nástroj Table (v angličtině). Zdroje obsahují také dokumenty s návodem na užití kalkulátorů typu Sharp, Canon.
První úlohu provádíme společně, druhá je příkladem pro samostatnou práci žáků.
Před začátkem aktivity doporučujeme sjednotit se žáky nastavení vstupního a výstupního formátu čísel na kalkulátoru.
Zadané úlohy jsou cíleny na rychlé a efektivní numerické počítání funkčních hodnot dané funkce a následné užití při ručním sestrojení grafu funkce. Žáci potřebují trojúhelník s ryskou a tužku na zakreslení souřadných os a zjištěných bodů grafu do sešitu nebo na papír. Ze zadaného předpisu funkce nejdříve určí další pomocné charakteristiky funkce potřebné k sestrojení jejího grafu (typ funkce a druh křivky tvořící graf, průsečíky s osami, asymptoty apod.). Následně pracují s kalkulátorem, z něhož získají souřadnice dalších pomocných bodů pro sestrojení grafu funkce.
Nastavte na kalkulátoru režim Tabulka hodnot a s jeho užitím
Řešení úlohy
a. Režim nastavíme podle návodu práce s kalkulátorem. Na kalkulátoru značky Casio fx-82CE X zvolíme v nabídce Menu ikonu 3 a potvrdíme rovnítkem. Na displeji se objeví značení \[ f(x)= \] , do kterého zapíšeme předpis naší funkce. Zápis proměnné\[ x \] provedeme pomocí červeného tlačítka \[ \color{red}\textrm{Alpha} \] a volbou červeného symbolu \[ \color{red} x \]. Potvrdíme rovnítkem. Ukáže se nabídka další funkce,\[ g(x)= \] , kterou zatím budeme ignorovat (umožňuje zadání dvou funkcí současně, avšak ve stejném intervalu a při stejném krokování). Opět potvrdíme rovnítkem. Doplníme požadované hodnoty mezí zadaného intervalu a ponecháme nabízené krokování na jedničce. Po stisknutí tlačítka „=“ se na displeji ukáže tabulka se třemi sloupečky a v pravém dolním rohu číslo, které odpovídá hodnotě argumentu označeného kurzorem (obr. 1). Přirozená čísla v prvním sloupci určují pořadí a celkový počet hodnot argumentů odpovídající rozsahu intervalu, a délce kroku jeho dělení (v našem případě 1-7). Druhý sloupec udává číselnou hodnotu argumentu \[ x \] a třetí jeho funkční hodnotu \[ f(x) \] V tabulce se ve druhém a třetím sloupci pohybujeme pomocí šipek určujících směry doprava, doleva, nahoru, dolů. Pokud například chceme změnit hodnotu argumentu \[ x=-3 \] na novou \[ x=-3{,}1 \] , stačí kurzorem najet na příslušné číslo v tabulce a přepsat na nové. Funkční hodnota se přepíše na \[ -14{,}3 \] . Rovnítko zde plní funkci klávesy Enter.
1. Tabulka funkčních hodnot na kalkulátoru |
Autor díla: Hana Mahnelová |
Získali jsme tak šestici uspořádaných dvojic souřadnic bodů ležících na grafu funkce\[ f \]. To je možné zapsat do sešitu v podobě tabulky nebo množinou bodů.
\[ x \] | \[ -5 \] | \[ -4 \] | \[ -3 \] | \[ -2 \] | \[ -1 \] | \[ 0 \] | \[ 1 \] |
\[ f(x) \] | \[ -20 \] | \[ -17 \] | \[ -14 \] | \[ -11 \] | \[ -8 \] | \[ -5 \] | \[ -2 \] |
\[ \begin{Bmatrix}[-5, -20], [-4, -17], [-3, -14], [-2, -11], [-1, -8], [0, -5], [1, -2]\end{Bmatrix} \]
b. Využijme tlačítko AC, kterým se vrátíme k původnímu zadání funkce. Nové krokování je dvakrát menší, proto počet argumentů a současně vypočtených funkčních hodnot bude\[ 13 \]. Někdy se operativně hodí zjistit funkční hodnotu izolovaného argumentu mimo zadaný interval. Tlačítkem + přidáme další řádek tabulky s dalším argumentem odpovídající krokování. Pro naši potřebu zapíšeme přímo novou hodnotu \[ 25{,}6 \] a po potvrzení rovnítkem se v tabulce zobrazí funkční hodnota \[ -125 \].
Sestrojte do sešitu grafy následujících funkcí, vhodně využijte Tabulku funkčních hodnot na kalkulátoru. Tu přepište do sešitu.
Řešení
a. Jedná se o rostoucí exponenciální funkci, její graf protne souřadné osy v bodě\[ [0, 1] \] . \[ D(f_1)= \mathbb{R} \], \[ H(f_1)=(0, \infty) \]. Např. při volbě intervalu \[ \langle{-2},{2}\rangle \] a krokování \[ 0{,}5 \] dostaneme z kalkulátoru tyto údaje:
\[ x \] | \[ -2 \] | \[ -1{,}5 \] | \[ -1 \] | \[ -0{,}5 \] | \[ 0 \] | \[ 0{,}5 \] | \[ 1 \] | \[ 1{,}5 \] | \[ 2 \] |
\[ f(x) \] | \[ 0{,}1353 \] | \[ 0{,}2231 \] | \[ 0{,}3678 \] | \[ 0{,}6065 \] | \[ 1 \] | \[ 1{,}6487 \] | \[ 2{,}7182 \] | \[ 4{,}4816 \] | \[ 7{,}389 \] |
Při sestrojení grafu s měřítkem 1 jednotka = 1 cm na obou osách využijeme obvykle jen přesnost čísla na jednu desetinu (obr. 2).
2. Ruční sestrojení grafu |
Autor díla: Hana Mahnelová |
b. Jedná se o lineární lomenou funkci, grafem bude hyperbola s rostoucími větvemi. Protože \[ D(f_2)= \mathbb{R}\setminus\begin{Bmatrix}-1{,}5\end{Bmatrix} \] má jedna asymptota rovnici \[ x=-1{,}5 \]. Po dělení dvojčlenů dostáváme ekvivalentní předpis funkce \[ f(x)=1{,}5-\frac{6{,}4}{2x+3} \] a vidíme, že druhá asymptota je přímka o rovnici \[ y=1{,}5 \]. Další tabulka znázorňuje funkční hodnoty \[ f(x) \] pro \[ x\in\langle-3,2\rangle \] a krokování \[ 0{,}5 \] :
\[ x \] | \[ -3 \] | \[ -2{,}5 \] | \[ -2 \] | \[ -1{,}5 \] | \[ -1 \] | \[ -0{,}5 \] | \[ 0 \] | \[ 0{,}5 \] | \[ 1 \] | \[ 1{,}5 \] | \[ 2 \] |
\[ f(x) \] | \[ 3{,}6666 \] | \[ 4{,}75 \] | \[ 8 \] | ER | \[ -5 \] | \[ -1{,}75 \] | \[ -0{,}666 \] | \[ -0{,}125 \] | \[ 0{,}2 \] | \[ 0{,}4166 \] | \[ 0{,}5714 \] |
Kalkulátor správně nepřiřadil žádnou funkční hodnotu argumentu, pro který není funkce definovaná. Při vlastním sestrojování grafu bude vhodné zjistit funkční hodnoty dalších bodů, jak je patrné z obrázku žákovského řešení (obr. 3).
3. Sestrojení grafu lineární lomené funkce |
Autor díla: Hana Mahnelová |
Osvědčilo se předem zjistit, jaké typy kalkulátorů žáci používají, a podle potřeby je rozdělit do dvojic. Stejně tak se osvědčilo i využití práce s nástrojem Tabulka hodnot při odvozování způsobu posunutí základního grafu elementární funkce.
S žáky se domluvíme na počtu desetinných míst formátu čísla v tabulce podle zvoleného měřítka na souřadných osách.
Žáci aktivitu uvítali jako „ulehčení“ své práce při sestrojování grafu do sešitu. Kontrolu zvládne vyučující v průběhu hodiny nebo žáci výsledky své práce nafotí na mobilní telefon a vloží do virtuální učebny.
Aktivitu je možné použít i při diferencované výuce, vyučující jen pozmění předpisy požadovaných funkcí podle úrovně žáků.
Všechny články jsou publikovány pod licencí Creative Commons BY-NC-ND.
Článek nebyl prozatím komentován.
Pro vložení komentáře je nutné se nejprve přihlásit.
Článek není zařazen do žádného seriálu.