Domů > Odborné články > Gymnaziální vzdělávání > Tabulky funkčních hodnot na kalkulátoru
Odborný článek

Tabulky funkčních hodnot na kalkulátoru

Anotace

Kalkulátor je dnes běžně dostupnou a využívanou didaktickou pomůckou digitálních technologií. Aktivita prezentuje efektivní práci s nástrojem Tabulka hodnot a jeho užití při ručním sestrojení grafů funkcí.

Cíl

Žák/Žákyně

  • správně zařadí zadanou funkci do příslušné skupiny a ví, jak bude přibližně vypadat graf,
  • vybere a nastaví správný režim práce kalkulátoru,
  • aktivně pracuje s nástrojem Tabulka hodnot (zadá předpis funkce s užitím zápisu s proměnnou, zapíše rozsah intervalu, vhodně zvolí krok dělení intervalu, operativně podle potřeby změní v tabulce funkční parametr),
  • výpočty na kalkulátoru využije k sestrojení grafu funkce,
  • intuitivně posoudí, v případě potřeby navrhne a zadá další užitečné hodnoty argumentu.

Základní údaje

  • Typ materiálu: pracovní list
  • Škola: gymnázium, střední škola
  • Věk žáků: 16-17 let
  • Metody: frontální a samostatná práce
  • Vzdělávací obor: matematika a její aplikace
  • Tématický okruh: závislosti a funkční vztahy
  • Časová dotace: 
    • Výuka: 10 min společné práce + čas k samostatnému řešení podle počtu zadaných funkcí
    • Příprava: 10 min 

Očekávané výstupy

  • efektivní využívání nástroje Tabulka hodnot na kalkulátoru např. při náčrtcích grafů funkcí

Pomůcky, hardware, software

  • Učitel: kalkulátor s nástrojem Tabulka hodnot
  • Žák: kalkulátor s nástrojem Tabulka hodnot, trojúhelník s ryskou, tužka, případně podle volby funkcí šablona jejich grafů

Potřebné vstupní znalosti a dovednosti

  • Oborové
    • kategorizace a vlastnosti elementárních funkcí zadaných předpisem a znalost podoby jejich grafu
    • dělení dvojčlenu dvojčlenem (pro lineární lomenou funkci)
  • Digitální
    • základní ovládání kalkulátoru – výběr z nabídky výpočtového režimu (Menu-SETUP, Mode), zadávání výrazů, formát čísel

Přínos využití digitálních technologií

Ukázka efektivního použití nástroje kalkulátoru (povoleného ke státní maturitní zkoušce) k rychlému stanovení souřadnic bodů náležících grafu příslušné funkce a jejich využití při ruční konstrukci grafu.

Metodická poznámka

Žák by měl z předpisu funkce poznat, do které skupiny zadaná funkce patří a jaká křivka tvoří její graf.

Využití nástroje kalkulátoru Tabulka hodnot lze zařadit již do hodin s tématy elementárních funkcí, např. při probírání kvadratické funkce. Při vhodném zadání funkce je přínosné zkontrolovat výsledný graf pomocí šablony funkcí.

V současné době jsou nejrozšířenější kalkulátory značky Casio. Aktivita je popsána pro užití typu Casio fx-82CE X. (Pokud kalkulátor firmy Casio nemá zakončení CE, nemá režim češtiny.) I na starších modelech kalkulátorů (např. Casio fx-350ES PLUS) existuje nástroj Table (v angličtině). Zdroje obsahují také dokumenty s návodem na užití kalkulátorů typu Sharp, Canon.

První úlohu provádíme společně, druhá je příkladem pro samostatnou práci žáků.

Před začátkem aktivity doporučujeme sjednotit se žáky nastavení vstupního a výstupního formátu čísel na kalkulátoru. 

Popis vzdělávací aktivity

Zadané úlohy jsou cíleny na rychlé a efektivní numerické počítání funkčních hodnot dané funkce a následné užití při ručním sestrojení grafu funkce. Žáci potřebují trojúhelník s ryskou a tužku na zakreslení souřadných os a zjištěných bodů grafu do sešitu nebo na papír. Ze zadaného předpisu funkce nejdříve určí další pomocné charakteristiky funkce potřebné k sestrojení jejího grafu (typ funkce a druh křivky tvořící graf, průsečíky s osami, asymptoty apod.). Následně pracují s kalkulátorem, z něhož získají souřadnice dalších pomocných bodů pro sestrojení grafu funkce.

Zdroje

 

Úloha 1 Praktické seznámení s nástrojem Tabulka hodnot

Nastavte na kalkulátoru režim Tabulka hodnot a s jeho užitím

  1. určete funkční hodnoty funkce\[ f:y=3-5x \] v každém celočíselném bodě  intervalu \[ \left<-5; 1\right> \], zjistěte  \[ f(3{,}1) \];
  2. u téže funkce ponechte stejný interval a nastavte krokování na hodnotu \[ 0{,}5 \]; sledujte, jak se rozdělil zadaný interval; přidejte novou hodnotu argumentu, např.\[ x=25{,} 6 \].

Řešení úlohy

a. Režim nastavíme podle návodu práce s kalkulátorem. Na kalkulátoru značky Casio fx-82CE X zvolíme v nabídce Menu ikonu 3 a potvrdíme rovnítkem. Na displeji se objeví značení \[ f(x)= \] , do kterého zapíšeme předpis naší funkce. Zápis proměnné\[ x \] provedeme pomocí červeného tlačítka \[ \color{red}\textrm{Alpha} \] a volbou červeného symbolu \[ \color{red} x \]. Potvrdíme rovnítkem. Ukáže se nabídka další funkce,\[ g(x)= \] , kterou zatím budeme ignorovat (umožňuje zadání dvou funkcí současně, avšak ve stejném intervalu a při stejném krokování). Opět potvrdíme rovnítkem. Doplníme požadované hodnoty mezí zadaného intervalu a ponecháme nabízené krokování na jedničce. Po stisknutí tlačítka „=“ se na displeji ukáže tabulka se třemi sloupečky a v pravém dolním rohu číslo, které odpovídá hodnotě argumentu označeného kurzorem (obr. 1). Přirozená čísla v prvním sloupci určují pořadí a celkový počet hodnot argumentů odpovídající rozsahu intervalu, a délce kroku jeho dělení (v našem případě 1-7). Druhý sloupec udává číselnou hodnotu argumentu \[ x \] a třetí jeho funkční hodnotu \[ f(x) \] V tabulce se ve druhém a třetím sloupci pohybujeme pomocí šipek určujících směry doprava, doleva, nahoru, dolů. Pokud například chceme změnit hodnotu argumentu \[ x=-3 \] na novou \[ x=-3{,}1 \] , stačí kurzorem najet na příslušné číslo v tabulce a přepsat na nové. Funkční hodnota se přepíše na \[ -14{,}3 \] . Rovnítko zde plní funkci klávesy Enter.

Tabulka funkčních hodnot na kalkulátoru
1. Tabulka funkčních hodnot na kalkulátoru
Autor díla: Hana Mahnelová

Získali jsme tak šestici uspořádaných dvojic souřadnic bodů ležících na grafu funkce\[ f \]. To je možné zapsat do sešitu v podobě tabulky nebo množinou bodů.

\[ x \] \[ -5 \] \[ -4 \] \[ -3 \] \[ -2 \] \[ -1 \] \[ 0 \] \[ 1 \]
\[ f(x) \] \[ -20 \] \[ -17 \] \[ -14 \] \[ -11 \] \[ -8 \] \[ -5 \] \[ -2 \]

 

\[ \begin{Bmatrix}[-5, -20], [-4, -17], [-3, -14], [-2, -11], [-1, -8], [0, -5], [1, -2]\end{Bmatrix} \]

b. Využijme tlačítko AC, kterým se vrátíme k původnímu zadání funkce. Nové krokování je dvakrát menší, proto počet argumentů a současně vypočtených funkčních hodnot bude\[ 13 \]. Někdy se operativně hodí zjistit funkční hodnotu izolovaného argumentu mimo zadaný interval. Tlačítkem přidáme další řádek tabulky s dalším argumentem odpovídající krokování. Pro naši potřebu zapíšeme přímo novou hodnotu \[ 25{,}6 \] a po potvrzení rovnítkem se v tabulce zobrazí funkční hodnota \[ -125 \].

 

Úloha 2 

Sestrojte do sešitu grafy následujících funkcí, vhodně využijte Tabulku funkčních hodnot na kalkulátoru. Tu přepište do sešitu.

  1. \[ f_1: y=e^x \]
  2. \[ f_2:y=\frac{2x-3}{2-3x} \]

Řešení

a. Jedná se o rostoucí exponenciální funkci, její graf protne souřadné osy v bodě\[ [0, 1] \] . \[ D(f_1)= \mathbb{R} \], \[ H(f_1)=(0, \infty) \]. Např. při volbě intervalu \[ \langle{-2},{2}\rangle \] a krokování \[ 0{,}5 \] dostaneme z kalkulátoru tyto údaje:

\[ x \] \[ -2 \] \[ -1{,}5 \] \[ -1 \] \[ -0{,}5 \] \[ 0 \] \[ 0{,}5 \] \[ 1 \] \[ 1{,}5 \] \[ 2 \]
\[ f(x) \] \[ 0{,}1353 \] \[ 0{,}2231 \] \[ 0{,}3678 \] \[ 0{,}6065 \] \[ 1 \] \[ 1{,}6487 \] \[ 2{,}7182 \] \[ 4{,}4816 \] \[ 7{,}389 \]

 

Při sestrojení grafu s měřítkem 1 jednotka = 1 cm na obou osách využijeme obvykle jen přesnost čísla na jednu desetinu (obr. 2).

Ruční sestrojení grafu
2. Ruční sestrojení grafu
Autor díla: Hana Mahnelová

 

b. Jedná se o lineární lomenou funkci, grafem bude hyperbola s rostoucími větvemi. Protože \[ D(f_2)= \mathbb{R}\setminus\begin{Bmatrix}-1{,}5\end{Bmatrix} \] má jedna asymptota rovnici \[ x=-1{,}5 \]. Po dělení dvojčlenů dostáváme ekvivalentní předpis funkce \[ f(x)=1{,}5-\frac{6{,}4}{2x+3} \] a vidíme, že druhá asymptota je přímka o rovnici \[ y=1{,}5 \]. Další tabulka znázorňuje funkční hodnoty \[ f(x) \] pro \[ x\in\langle-3,2\rangle \] a krokování \[ 0{,}5 \] :

\[ x \] \[ -3 \] \[ -2{,}5 \] \[ -2 \] \[ -1{,}5 \] \[ -1 \] \[ -0{,}5 \] \[ 0 \] \[ 0{,}5 \] \[ 1 \] \[ 1{,}5 \] \[ 2 \]
\[ f(x) \] \[ 3{,}6666 \] \[ 4{,}75 \] \[ 8 \] ER \[ -5 \] \[ -1{,}75 \] \[ -0{,}666 \] \[ -0{,}125 \] \[ 0{,}2 \] \[ 0{,}4166 \] \[ 0{,}5714 \]

 

Kalkulátor správně nepřiřadil žádnou funkční hodnotu argumentu, pro který není funkce definovaná. Při vlastním sestrojování grafu bude vhodné zjistit funkční hodnoty dalších bodů, jak je patrné z obrázku žákovského řešení (obr. 3).

Sestrojení grafu lineární lomené funkce
3. Sestrojení grafu lineární lomené funkce
Autor díla: Hana Mahnelová

Reflexe

Osvědčilo se předem zjistit, jaké typy kalkulátorů žáci používají, a podle potřeby je rozdělit do dvojic. Stejně tak se osvědčilo i využití práce s nástrojem Tabulka hodnot při odvozování způsobu posunutí základního grafu elementární funkce.

S žáky se domluvíme na počtu desetinných míst formátu čísla v tabulce podle zvoleného měřítka na souřadných osách.

Žáci aktivitu uvítali jako „ulehčení“ své práce při sestrojování grafu do sešitu. Kontrolu zvládne vyučující v průběhu hodiny nebo žáci výsledky své práce nafotí na mobilní telefon a vloží do virtuální učebny.

Aktivitu je možné použít i při diferencované výuce, vyučující jen pozmění předpisy požadovaných funkcí podle úrovně žáků.

Licence

Všechny články jsou publikovány pod licencí Creative Commons BY-NC-ND.

Autor
Mgr. Hana Mahnelová Ph.D.

Hodnocení od uživatelů

Článek nebyl prozatím komentován.

Váš komentář

Pro vložení komentáře je nutné se nejprve přihlásit.

Článek není zařazen do žádného seriálu.

Klíčové kompetence:

  • Gymnázium
  • Kompetence k řešení problémů
  • uplatňuje při řešení problémů vhodné metody a dříve získané vědomosti a dovednosti, kromě analytického a kritického myšlení využívá i myšlení tvořivé s použitím představivosti a intuice
  • Gymnázium
  • Kompetence digitální
  • získává, posuzuje, spravuje, sdílí a sděluje data, informace a digitální obsah v různých formátech; k tomu volí efektivní postupy, strategie a způsoby, které odpovídají konkrétní situaci a účelu;
  • Gymnázium
  • Kompetence k učení
  • efektivně využívá různé strategie učení k získání a zpracování poznatků a informací, hledá a rozvíjí účinné postupy ve svém učení, reflektuje proces vlastního učení a myšlení