Jak na zlomky v digitálním prostředí?

Jak žákům přiblížit zlomky prostřednictvím digitálních technologií? Užitečným pomocníkem může být neplacená aplikace Polypad, která nabízí řadu širokých možností využití nejen v oblasti výuky zlomků, ale například i algebraických výrazů či geometrických tvarů.

Polypad nabízí kruhovou zlomkovnici, na které můžeme žákům názorně ukázat jednotlivé části celku. Pokud mají žáci přístup k tabletům či počítačům, necháme je s modely pracovat samostatně. Díky jednoduchému a intuitivnímu přesouvání částí celků žáci mohou zlomky porovnávat, dělit na menší části či naopak skládat části tak, aby vznikl celek. Tím si vytvoří základní představu o tom, co to je zlomek, tedy část celku.

Po představení zlomků jako takových se můžeme podívat na aritmetické operace se zlomky. Na sčítání a odčítání zlomků se stejnými jmenovateli si žáci dokáží v aplikaci přijít sami tak, že budou přesouvat dané části k sobě či od sebe. Pro žáky se speciálními potřebami může být tato vizualizace efektivním pomocníkem. Ke sčítání a odčítání zlomků s jiným jmenovatelem potřebujeme najít nejmenší společný násobek daných jmenovatelů a následně na něj zlomky převést. Na následujícím obrázku jsem pro ukázku vybrala jednu pětinu. Po kliknutí na vybraný obrazec nám aplikace nabídne tlačítko Rename, které rozdělí část zlomku na menší části:

To slouží právě k převodu jedné pětiny například na dvacetiny či jiné jmenovatele. Žáci si tak vytvoří představu spojenou s porozuměním, jak rozšiřovat a krátit zlomky. Velmi důležité je vždy propojit vizualizaci s matematickým zápisem. Žáci si buď mohou psát do sešitu, nebo využít pera v digitální podobě.

Teď už dokážeme sčítat i odčítat zlomky s jiným jmenovatelem. Například:

\[ \frac{1}{3}+\frac{1}{5}=\frac{5}{15}+\frac{3}{15}=\frac{8}{15} \]

Nevýhodou aplikace Polypad je, že nemá k dispozici obdélníkové schéma. Na obdélníkovém schématu bychom mohli lépe ukázat násobení a dělení zlomků (primárně násobení a dělení zlomku zlomkem). V aplikaci se nabízí alespoň vizualizace typů příkladů násobení zlomku celým číslem, například \[ 6 \cdot \frac{3}{5}=\frac{18}{5} \] (násobení jako opakované sčítání):

Jak již bylo zmíněno, obdélníkové schéma aplikace Polypad sice neobsahuje, částečnou náhradou však může být zlomková zeď, která slouží k představě zlomků, zavedení ekvivalentních zlomků (rozšiřování a krácení) a porovnávání zlomků. Méně známé může být využití zlomkové zdi k zavedení dělení zlomků. Níže na obrázku uvádím dva příklady dělení, díky kterým můžeme žákům vizualizací přiblížit dělení zlomku zlomkem. V prvním případě se jedná o příklad \[ \frac{2}{3}:\frac{1}{6}=4 \] a ve druhém \[ \frac{3}{4}:\frac{3}{12}=3 \]

Pro žáky bude dělení složitější v případě, kdy výsledkem není celé číslo. Nabízí se možnost využít převod na stejného jmenovatele. Zadání zní Kolikrát se do dvou třetin vejde jedna pětina?

\[ \frac{2}{3}:\frac{1}{5}=? \]

Na prvním schématu můžeme vidět, že jedna pětina se do dvou třetin vejde více než třikrát a zároveň méně než čtyřikrát.

Převedením zlomků na společného jmenovatele zjistíme, že dvě třetiny odpovídají deseti patnáctinám a jedna pětina odpovídá třem patnáctinám:

\[ \frac{2}{3}:\frac{1}{5}=\frac{10}{15}:\frac{3}{15} \]

Teď už stačí zjistit, kolikrát se tři patnáctiny vejdou do deseti patnáctin, a tedy:

\[ 10:3=\frac{10}{3}=3\frac{1}{3} \]

Celkem:

\[ \frac{2}{3}:\frac{1}{5}=\frac{10}{15}:\frac{3}{15}=\frac{10}{3}=3\frac{1}{3} \]

Závěrem oblíbená žákovská aktivita – egyptské dělení chlebů, díky kterému žáky můžeme seznámit s kmenovými zlomky (tedy zlomky ve tvaru\[ \frac{1}{n} \], kde\[ n \] je přirozené číslo), ale i s krácením a rozšiřováním, sčítáním a odčítáním zlomků, popř. i s násobením zlomku celým číslem. Žáci mají za úkol rozdělit například pět chlebů mezi čtyři podílníky tak, aby každý z nich dostal stejný kus. Nejjednodušší a nejčastější žákovské řešení je takové, že každý podílník dostane jeden celý chleba a jednu čtvrtinu chleba nebo každý podílník dostane pět čtvrtin chleba, zajímavé může být nechat žáky hledat další možnosti rozdělení. Méně obvyklé řešení je znázorněno na obrázku:

Každý ze čtyř podílníků nejprve dostane jednu třetinu. Dále první dva podílníci dostanou další jednu třetinu a druzí dva dostanou dvě šestiny. Nakonec ještě každému z podílníků přidělíme dvě šestiny a jednu čtvrtinu. Správnost výsledku můžeme ověřit výpočtem:

\[ 4 \cdot \frac{1}{3}+2 \cdot \frac{1}{3}+ 2\cdot \frac{2}{6}+4\cdot \frac{2}{6}+ 4 \cdot \frac{1}{4} =5 \]

V článku jsme ukázali, že aplikace Polypad může žákům usnadnit matematické poznávání a podpořit porozumění různých matematických konceptů týkajících se zlomků. Největší výhodou práce s aplikací je vizualizace objektů a velmi jednoduchá manipulace s nimi. Kromě toho může být efektivní pomůckou pro žáky se speciálními vzdělávacími potřebami.

Zdroje: Polypad – Virtual Manipulatives