Výšky v trojúhelníku

Základní údaje

• Stupeň vzdělávání: 2. stupeň ZŠ, odpovídající ročník víceletého gymnázia
• Věková skupina: 12 - 14 let
• Vzdělávací obor: matematika a její aplikace
• Tematický okruh: geometrie v rovině a v prostoru
• Časová dotace:
  • Výuka: 1 vyučovací hodina
  • Príprava: 0 minut

K čemu aktivita směřuje

k tvorbě počítačového dynamického modelu, k objevení ortocentra na základě experimentální práce s tímto modelem; k využívání ověřovacích nástrojů programu k potvrzení/vyvrácení vlastní hypotézy o výšce v trojúhelníku

Pomůcky, hardware, software

Žák/yně: PC nebo tablet s připojením na internet, trojúhelník s ryskou, další pravítko (může být i trojúhelník)

Učitel/ka: PC s připojením na internet, dataprojektor, velký trojúhelník s ryskou

Zdroje

GeoGebra aplikace. www.geogebra.org

Potřebné vstupní znalosti a dovednosti

• Oborové
  • znalost pojmu kolmice
  • praktické zkušenosti s použitím rysky k sestrojení kolmice
  • aktivní užívání označení trojúhelníků: ostroúhlý, pravoúhlý, tupoúhlý
• Digitální
  • ovládání jednoduchých konstrukčních nástrojů programu GeoGebra (nástroje Mnohoúhelník, Kolmice, Průsečík, Nastavení vlastností objektu)

Přínos využití digitálních technologií

Modelování v počítačovém prostředí dynamické geometrie umožní názorně ukázat existenci a polohu ortocentra ve všech typech trojúhelníků.

Metodická poznámka

Výuku začneme modelováním s pravoúhlým trojúhelníkem s ryskou, aby žáci pochopili pojem výška jako nejkratší možnou vzdálenost vrcholu od protější strany (přímky).

Pak se pustíme do konstrukce v programu GeoGebra. V úloze 1 upevňujeme význam výšky jako kolmice ke straně a zkoumáme polohu těchto přímek v různých typech trojúhelníků kategorizovaných podle velikosti vnitřních úhlů.

Ve vytvořeném modelu v programu GeoGebra pokračujeme s řešením úlohy 2, ve které pracujeme s výškou především jako s délkou úsečky, a sice zatím jen v ostroúhlém trojúhelníku. Žáci využijí měřicí nástroje Vzdálenost ke stanovení velikosti výšky a Velikost úhlu k ověření, že sestrojili správně kolmici. Poté modelují různé případy trojúhelníků a zjišťují, co se děje s výškami (úsečkami). Úlohu je vhodné zakončit otázkou: „Dokážeme v programu GeoGebra provést konstrukci tak, aby se výšky jako úsečky zobrazovaly i v tupoúhlém trojúhelníku?“. Odpověď zní „ano“. Žáci si konstrukci samostatně vyzkouší ve třetí úloze. Můžeme žáky informovat, že existují i jiné typy geometrických dynamických programů a některé z nich výšky zobrazují u všech typů trojúhelníků (například Sketchometry).

V závěru hodiny je třeba zjištěné informace o výškách shrnout a stručně zapsat.

Popis vzdělávací aktivity

Hodinu začneme manipulací s trojúhelníkem s ryskou. Postavíme-li ho na lavici nejdelší stranou, jeden z vrcholů směřuje nahoru, nad rovinu lavice (stolu). Můžeme hovořit o tom, že zmíněný vrchol leží v určité „výšce“ nejen od pracovní desky, ale také od jedné (v našem případě nejdelší) strany trojúhelníku. Právě tuto vzdálenost nám prezentuje ryska. Vezmeme druhé pravítko a změříme její délku. Vychází asi 12,5 cm. K čemu rysku vyznačenou v trojúhelníku využíváme? Ke konstrukci kolmice. Nyní můžeme zavést pojem výška v trojúhelníku jako nejkratší možnou vzdálenost vrcholu od protější strany (přímky). Necháme žáky postavit trojúhelník tak, abychom viděli vzdálenost dalšího vrcholu trojúhelníku od protější strany, a opět vzdálenost změříme (přibližně 17,6 cm).

Úloha 1 - Výška jako kolmice

1. Užitím nástroje Mnohoúhelník sestrojte v programu GeoGebra ostroúhlý trojúhelník ABC.
2. Užitím nástroje Kolmice sestrojte všechny výšky jako přímky. Co zajímavého pozorujete? 
3. Měňte polohu vrcholů trojúhelníku tak, abyste modelovali různé typy trojúhelníků (ostroúhlý, pravoúhlý – odhadem, tupoúhlý). Diskutujte o jednotlivých situacích z pohledu vlastností (poloha, společný bod) výšek trojúhelníku. Která z vypozorovaných vlastností výšek zůstává vždy zachována?
4. Ověřte užitím nástrojů Průsečík a Vztah mezi objekty, že se všechny výšky protínají v jediném bodě.

Řešení

Výšky zde chápeme jako přímky, které se vždy protínají v jednom bodě, tzv. ortocentru. Ověření provedeme sestrojením společného průsečíku dvou výšek a prostřednictvím nástroje Vztah mezi objekty se programu „zeptáme“, zda tento bod leží i na třetí výšce.

Úloha 2 - Výška jako vzdálenost

1. V obrázku sestrojeném v úloze 1 vymodelujte ostroúhlý trojúhelník a postupně sestrojte Průsečíky každé strany trojúhelníku s kolmicí. Pokud při konstrukci postupujeme v abecedním pořadí vrcholů (počínaje průsečíkem kolmice na stranu a), paty kolmic se všem pojmenují stejně (body D, E, F v obrázku 1).

   

2. Kliknutím na „kolečko“ v algebraickém okně postupně skryjte všechny tři kolmice. Následně spojte úsečkou každý vrchol s protilehlou patou kolmice. Pokud postupujeme v abecedním pořadí vrcholů trojúhelníku, úsečky se označí všem uživatelům stejně (úsečky i, j, k). Navíc se v algebraickém okně zobrazí i jejich délka.
3. Užitím nástroje Vzdálenost „přeměřte“ v nákresně délku každé výšky (úsečky) a porovnejte s hodnotou v algebraickém okně.
4. Užitím nástroje Úhel prověřte velikost pravého úhlu u paty každé výšky, obr. 2.

   

5. Pohybem vrcholů modelujte různé trojúhelníky a sledujte změny. Co se stane na obrázku s výškami (úsečkami) v případě, že se jedná o tupoúhlý, nebo pravoúhlý trojúhelník? Vysvětlete.

Řešení

V případě pravoúhlého trojúhelníku výšky splynou s odvěsnami. Pokud je trojúhelník tupoúhlý, výšky (úsečky) zmizí.

Úloha 3 - Konstrukce výšek (samostatná práce)

1. Sestrojte tři různé body (neležící v jedné přímce) a každými dvěma proložte přímku tak, že vznikne trojúhelník.
2. Změňte styl čar z plných na čárkované.
3. Užitím nástroje Kolmice sestrojte všechny tři výšky jako přímky.
4. Pomocí nástroje Průsečík sestrojte paty kolmic.
5. Přímky výšek skryjte a každý vrchol trojúhelníku spojte úsečkou s protilehlou patou kolmice.
6. Výšky (úsečky) obarvěte červeně.
7. Trojúhelník ABC zvýrazněte užitím nástroje Mnohoúhelník.
8. Měňte polohu vrcholů trojúhelníku  a sledujte zobrazení výšek (úseček).

Řešení

Viz obrázek 3.