Algebraické dlaždice v aplikaci Polypad

V aplikaci Polypad ve složce Algebra pod záložkou Algebra Tiles najdeme algebraické dlaždice, které jsou nejvíce užitečné při výuce mnohočlenů a algebraických výrazů.

Algebraické dlaždice se skládají z šesti následujících dlaždic:

• \[ x^2 \] – čtverec s délkou strany\[ x \]
• \[ y^2 \] – čtverec s délkou strany\[ y \]
• \[ x \] – obdélník s délkami stran \[ x \] a\[ 1 \]
• \[ y \] – obdélník s délkami stran\[ y \] a\[ 1 \]
• \[ xy \] – obdélník s délkami stran\[ x \] a\[ y \]

Využití algebraických dlaždic v digitální podobě má několik výhod. Dlaždic můžeme využít libovolné množství, práce se zápornými dlaždicemi je jednodušší a využít můžeme i psaného zápisu pomocí pera v aplikaci.

Z matematického hlediska využitím dlaždic cílíme na propojení představy algebraického výrazu s geometrickým významem. Při využití je však důležité žákům zdůraznit důležitost zápisu výrazu (buď pomocí pera v aplikaci, nebo tužkou na papír).

Pro začátek je dobré žáky nechat v aplikaci jen bádat, později můžeme začít zařazovat různé typy úloh od jednodušších po složitější. Článek nabízí několik tipů na využití dlaždic v matematice na základní škole. Mezi typovými úlohami najdete hledání dělitelů daného čísla, sčítání a odčítání mnohočlenů, rozklad mnohočlenu na součin a doplnění na čtverec (lze využít i na gymnáziu).

Úloha: Najděte všechny dělitele čísla\[ 12 \].

Komentář k úloze: Snažíme se vytvořit všechny možné obdélníky z dvanácti jednotek. Vytvořené obdélníky mají obsahy\[ 1 \cdot 12 \],\[ 2 \cdot 6 \],\[ 3 \cdot 4 \]. Dělitelé čísla\[ 12 \] tedy jsou\[ 1 \],\[ 2 \],\[ 3 \],\[ 4 \],\[ 5 \],\[ 6 \],\[ 12 \].

Úloha: Sečtěte a odečtěte mnohočleny\[ x^2+2xy+2 \] a\[ 2x^2-xy+3 \] (v daném pořadí).

Komentář k úloze: Připravíme si potřebné dlaždice. Při sčítání se stačí podívat, kolik kterých dlaždic máme, v našem případě máme třikrát dlaždici\[ x^2 \], dvakrát dlaždici\[ xy \], ale jednu zápornou dlaždici\[ xy \] (tedy jedna z nich se odečte a zbude pouze\[ xy \]) a celkem pět jednotek.

Výsledek sčítání:\[ 3x^2+xy+5 \]

Při odčítání je potřeba změnit znaménka u dlaždic druhého mnohočlenu (v aplikaci Polypad změníme znaménko kliknutím na danou dlaždici a tlačítko Negate).

Výsledek odčítání:\[ -x^2+3xy-1 \]

Úloha: Rozložte na součin \[ 4x^2+6x \].

Komentář k úloze:

Připravíme si dané dlaždice:

Manipulujeme s dlaždicemi tak, abychom vytvořili obdélník:

Plocha vytvořeného obdélníku se dá zapsat jako\[ 2x \cdot (2x+3) \], což je i hledaný rozklad na součin.

Úloha: Doplňte na čtverec \[ x^2+2x \] a upravte.

Komentář k úloze: Nejprve si připravíme potřebné dlaždice. Poté se snažíme z daných dlaždic vytvořit čtverec. Je zřejmé, že to nepůjde. Jedna dlaždice chybí, v tomto případě je nutné přidat jednotkovou dlaždici.

Chceme-li ještě výraz\[ x^2+2x+1 \] upravit na vzorec, stačí se podívat na délku strany čtverce, v tomto případě to je\[ (x+1)^2 \]. Ve výsledku nesmíme pak zapomenout odebrat přidanou jednotku. Celkové řešení je tedy:\[ (x+1)^2-1 \].

Pro ukázku ještě příklad doplnění na čtverec pro\[ 4x^2+12x \]:

Zdroje: Polypad – Virtual Manipulatives