Žák/žákyně
Vyhledání a volba vhodného online kalkulátoru k řešení planimetrického problému motivovaného praxí, získání způsobilosti jej správně využívat a případně jej porovnat s jinými.
Efektivní využití online nástrojů k výpočtům z oblasti obsahů rovinných obrazců.
https://www.kudyznudy.cz/ceska-nej/prirodni/kvetinove-hodiny-v-podebradech
Úvodní text je určen jako motivace, k vyhledání rozměru čtvercového rámce poskytneme žákům čas maximálně 5 minut. Dohodneme se, že budeme dále všichni počítat s délkou strany čtverce 5,1 m.
Žáci pracují ve dvojicích, ideálně každý využije jiný online kalkulátor a porovnají si výsledek.
Čas potřebný pro vyhledání vhodného online kalkulátoru a stanovení délky strany pravidelného dvanáctiúhelníku odhadneme asi na 20 minut. Rychlejší žáky vyzveme k vyzkoušení dalšího internetového kalkulátoru.
Diskuze probíhá nejdříve ve dvojicích, poté je společně řízena vyučujícím.
Dalších deset minut žáci řeší samostatně úlohu č. 2. Napovíme, že důkaz lze provést ručními výpočty s výrazy.
Na konci hodiny by mělo zaznít, že ne vždy je užití online kalkulátoru vhodné k řešení problému.
Je doloženo, že již od roku 1936 jsou součástí lázeňského parku v Poděbradech květinové hodiny čtvercové obruby osázené okolo 7 000 rostlinami, obr. 1. Osazení, a tím i grafická podoba hodin, se mění dvakrát do roka. Zahradníci na nich každý den časně ráno (pokud hodiny nejsou pokryty souvislou vrstvou sněhu) vysazují z květin také aktuální datum. Jedním z grafických návrhů podoby hodin je pravidelný dvanáctiúhelník vepsaný do čtverce, obr. 2.
Nejdříve je potřeba nastavit jednotky, pak doplnit počet stran mnohoúhelníku a do správné kolonky zapsat známý údaj, v našem případě poloměr kružnice opsané, obr. 4.
V dolní části nastavíme počet desetinných míst (nastavili jsme dvě) zaokrouhlení a potvrdíme výpočet. Zobrazí se všechna dopočítaná data, obr. 5. Vidíme, že odpovídající strana dvanáctiúhelníku je\[ a\doteq1{,}32 \,\mathrm{m} \] .
Druhý z možných použitých online kalkulátorů pro výpočet obrazců najdeme na adrese www.vilkan.cz. Zde je třeba nejdříve vybrat správně slovní formulaci způsobu výpočtu, která odpovídá známým veličinám - v našem případě poloměr kružnice opsané a počet stran pravidelného mnohoúhelníku, obr. 6.
Poslední z vybraných online kalkulátorů je dostupný na adrese www.dopocitejto.cz, obr. 7. Do tabulky v dolní části doplníme známé údaje včetně nastavení požadovaných jednotek všech počítaných veličin, obr. 8.
Ve všech online kalkulátorech při zaokrouhlení na dvě desetinná místa vychází délka strany pravidelného dvanáctiúhelníku \[ a\doteq1{,}32 \,\mathrm{m} \] .
3. U všech uvedených online kalkulátorů pomáhají s řešením problému obrázky. Je třeba si předem promyslet, s jakou přesností chceme mít výsledek. První ukázkový zdroj umožní volbu nastavení počtu desetinných míst, a to dokonce na více než deset. Druhý automaticky zaokrouhluje na pět desetinných míst, poslední na tři. To znamená, že žádný z uvedených kalkulátorů nemusí poskytnout přesný výsledek. Pouze první z uvedených zobrazí také postup výpočtu. Všechny pak poskytují výpočet mnoha dalších veličin.
Určete poměr obsahů pravidelného dvanáctiúhelníku a jemu opsaného čtverce. Závisí tento poměr na délce strany čtverce? Dokažte. Můžete využít informace (vzorce) z online prostředí kalkulátoru.
K vyřešení úkolu na poměr musíme znát pokud možno přesnou hodnotu obsahů. Při práci s online kalkulátorem výpočtů obsahů nevystačíme s malým počtem desetinných míst. Obsah našeho pravidelného dvanáctiúhelníku je přesně \[ 19{,}507\ 5\ \mathrm{m^2} \] a čtverce \[ 26{,}01\ \mathrm{m^2} \], poměr obsahů \[ 3:4 \].
„Ruční“ důkaz, že poměr obsahů je roven \[ 3:4 \], není nijak obtížný. Označíme-li \[ a \] stranu čtverce, pak poloměr kružnice opsané pravidelnému dvanáctiúhelníku čtverci vepsanému (jedná se též o poloměr kružnice čtverci vepsané) má délku \[ \frac{a}{2} \]. Stejnou hodnotu má také rameno každého z dvanácti shodných rovnoramenných trojúhelníků s hlavním vrcholem ve středu dvanáctiúhelníku (případně čtverce), obr. 9.
Z vlastností středových a obvodových úhlů víme, že úhel proti základně v každém takovém rovnoramenném trojúhelníku má velikost \[ 30^\circ \]. Pro obsah jednoho trojúhelníku pak platí
\[ S_\bigtriangleup=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{a}{2}\right)^2\cdot\sin30^\circ \]
\[ S_\bigtriangleup=\frac{1}{2}\cdot\frac{a^2}{4}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{16}a^2, \]
obsah pravidelného dvanáctiúhelníku je pak roven
\[ S=12\cdot\frac{1}{16}\cdot a^2=\frac{3}{4}a^2. \]
To znamená, že obsah pravidelného dvanáctiúhelníku tvoří \[ \frac{3}{4} \] obsahu čtverce se stranou délky \[ a \], poměr obsahů je \[ 3:4 \] a nezávisí na hodnotě délky této strany.
Žáci pracovali na svých mobilních telefonech, jediný zádrhel u některých spočíval v zadávání desetinných čísel desetinnou tečkou. Několik jedinců vyhledalo zdroj s rozměry čtvercového rámce \[ 5\,\mathrm{m}\times5\,\mathrm{m} \]. Proběhla krátká diskuze o důvěryhodnějších zdrojích, které nabízejí informaci využitou ve vzorovém řešení.
Kromě výše uvedených on-line kalkulátorů pro výpočet obsahu pravidelného mnohoúhelníku žáci využili také https://vypocty.eu/ a anglický web https://calcresource.com/. Vyzvali jsme žáky, aby výpočty provedli ve dvou nezávislých prostředích a výsledky porovnali. Žáci se zaujetím diskutovali o výhodách a nevýhodách užitých on-line kalkulátorů.
Při zjišťování poměru obsahů pouze dva žáci dokázali využít on-line kalkulátoru k nalezení přesného výsledku. Ostatní se raději pustili do ručního výpočtu a ne všichni ho v průběhu jedné vyučovací hodiny stihli.
Všechny články jsou publikovány pod licencí Creative Commons BY-NC-ND.
Článek nebyl prozatím komentován.
Pro vložení komentáře je nutné se nejprve přihlásit.
Článek není zařazen do žádného seriálu.
