Cyklověž

Základní informace

• Stupeň vzdělávání: gymnázium, střední škola
• Věková skupina:  16 - 19 let
• Vzdělávací obor: matematika a její aplikace
• Tematický okruh: geometrie v prostoru
• Časová dotace:
  • Výuka: 1 - 2 vyučovací hodiny
  • Příprava: 0 minut

K čemu aktivita směřuje

Správný výčet a stanovení potřebných dat z počítačového zpracování rozvinu pláště a využití vhodného online kalkulátoru na výpočet objemu a obsahu nezbytného k řešení úloh.

Pomůcky, hardware, software

• Učitel/ka: PC s připojením na internet, dataprojektor
• Žák/yně: PC, tablet nebo mobilní telefon s připojením na internet, kalkulátor

Potřebné znalosti a dovednosti

• Oborové
  • vlastnosti pravidelného hranolu a jehlanu,
  • znalost plášťů pravidelného hranolu a jehlanu a způsobu výpočtu jejich obsahů,
  • zběhlost v počítání s procenty, převody jednotek,
  • práce s měřítkem plánu.
• Digitální
  • vyhledání v databázi materiálů a otevření obrázku v on-line prostředí programu GeoGebra.

Přínos využití digitálních technologií

Aktivní práce s připraveným počítačovým modelem reálného objektu a využití on-line kalkulátoru k efektivním výpočtům.

Zdroje

• https://www.biketower.cz/
• Firma SYSTEMATICA, s.r.o.
• https://www.vypocitejto.cz/objem-povrch/jehlan/
• https://www.geogebra.org/

Metodická poznámka

Úlohu číslo 2 necháme nejdříve žáky řešit samostatně. Především se žáci musí v modelu rozvinu pláště hranolu dobře zorientovat. Protože třetí úloha pracuje s hodnotami zjištěnými v první úloze, před jejím řešením provedeme společně kontrolu správného postupu a výsledku.

Dalších asi 10 minut žáci pracují na úkolu 3 v prostředí programu GeoGebra opět samostatně. Poté znovu následuje reflexe a kontrola správnosti řešení.

Při řešení poslední úlohy se žáci musí řídit zavedenou symbolikou veličin uvedených v on-line kalkulátoru.

Popis vzdělávací aktivity

Model rozvinu je vytvořen v programu GeoGebra na základě skutečných stavebních údajů. Ve druhé úloze slouží jen jako zdroj číselných hodnot.

S počítačový modelem žák/yně aktivně pracuje ve třetí úloze, využívá jednoduché nástroje programu GeoGebra (mnohoúhelník, obsah).

Pro správné řešení čtvrté úlohy je opět potřeba získat údaje z rozvinu pláště.

Úloha 1 - Počítačový model rozvinu pláště cyklověže

Mezi výukovými materiály webových stránek www.geogebra.org vyhledejte aktivitu nazvanou Rozvin pláště cyklověže. Soubor otevřete v aplikaci programu GeoGebra a s jeho pomocí vyřešte další úlohy.

Úloha 2 - Reklamní plocha k pronájmu

Vypočtěte obsah maximální prosklené plochy, kterou může zhotovitel poskytnout k reklamním účelům. Na obrázku jsou skleněné části znázorněny nevybarvenými obdélníky, vstupní části nemohou sloužit k reklamním účelům. Uvedené rozměry jsou v mm. Uvažujte, že spojovací neskleněné části tvoří 2 % vypočteného povrchu. Konečný výsledek zaokrouhlete na celé metry čtvereční.

Řešení

Z údajů v počítačovém modelu rozvinu pláště vypočteme obsah S prosklené plochy (bez vstupních otvorů) například takto:

$$S=2,1\cdot 1,2\cdot 12\cdot 7+2,1\cdot 1,6\cdot 10=245,28{\mathrm{m}}^2.$$ 

Jestliže$$2\mathrm{\%}$$ vypočtené plochy tvoří spojovací části, maximální možná reklamní plocha odpovídá$$98\mathrm{\%}$$ z$$245,28{\mathrm{m}}^2$$, což je$$\mathrm{240,374}4{\mathrm{m}}^2$$, zaokrouhleno$$240{\mathrm{m}}^2.$$

Úloha 3 - Měřítko počítačového modelu

1. Pomocí nástrojů programu GeoGebra stanovte obsah stejné plochy (jako v úloze 2) počítačového modelu v jednotkách čtverečních.
2. Určete z těchto údajů (vypočteného v úloze 2 a stanoveného v počítačovém modelu) přibližné měřítko počítačového modelu za předpokladu, že v počítačovém modelu bylo dodrženo stejné měřítko na obou souřadných osách.Podíl spojovacích neskleněných částí zanedbejte.

Řešení

1. Je potřeba obrázek otevřít v aplikaci. Pak užitím nástroje Mnohoúhelník vyznačíme celou plochu určenou k reklamním účelům a výběrem nástroje Obsah zjistíme hodnotu pro vybraný mnohoúhelník$$S_m=109,5{\mathrm{j}}^2$$ (obrázek 1).

2. Známe vypočtený obsah reklamní plochy$$S_v=245,28{\mathrm{m}}^2$$ a obsah plochy počítačového modelu$$S_m=109,5{\mathrm{j}}^2$$. To znamená, že $$1{\mathrm{j}}^2=2,24{\mathrm{m}}^2$$ a $$1\mathrm{j}=\sqrt{2,24}\doteq 1,5\mathrm{m}$$. Rozměry v počítačovém modelu jsou uvedeny v mm, proto platí $$1\mathrm{j}=1500\mathrm{mm}$$ aměřítko, ve kterém byl sestrojen počítačový model je přibližně $$1:1500$$.

Úloha 4 - Zastřešení cyklověže

Zastřešení cyklověže tvoří pravidelný jehlan, jehož vrchol leží ve výšce$$\mathrm{11,615}\mathrm{m}$$ od země. Jaký objem jehlan zaujímá? Pokud by byla střecha z plechu, kolik metrů čtverečních by ho bylo k jejímu pokrytí potřeba? K výpočtu využijte některý z vhodných on-line kalkulátorů.

Řešení

Z rozvinu pláště cyklověže vyplývá, že podstavu jehlanu tvoří pravidelný dvanáctiúhelník o délce strany$$a=2,1\mathrm{m}$$. Výšku$$v$$ jehlanu určíme jako rozdíl vzdálenosti nejvyššího bodu cyklověže od země a výšky hranolové části.

$$v=\mathrm{11,615}-(0,8+1,6+7\cdot 1,2+0,4)=\mathrm{0,415}\mathrm{m}$$.

K výpočtu použijeme např. on-line kalkulátor https://www.vypocitejto.cz. Předem se domluvíme na přesnosti výpočtu, stanovíme počet desetinných míst (obrázek 2).

Jehlanovitá střecha cyklověže zaujímá objem přibližně$$6,8{\mathrm{m}}^3$$. Na její oplechování bude potřeba asi$$50{\mathrm{m}}^2$$ krytiny.