Graf lineární funkce a role koeficientů

Základní údaje

• Typ materiálu: pracovní list
• Škola: základní (2. stupeň), gymnázium, střední škola
• Věk žáků: 14-16 let
• Metody: samostatná nebo frontální práce, modelování, objevování
• Vzdělávací obor: matematika a její aplikace
• Tématický okruh: závislosti, práce s grafy
• Časová dotace: 
  • Výuka: 30-45 minut
  • Příprava: 0

K čemu aktivita směřuje

• k odhadu předpisu zadané lineární závislosti proměnných,
• k aktivnímu využívání ověřovacího nástroje programu Vztah mezi objekty k potvrzení či vyvrácení hypotéz,
• k aktivní práci s posuvníky,
• k vytvoření správného dynamického modelu grafu lineární funkce se dvěma posuvníky, na základě modelování k objevení souvislostí hodnot koeficientů s polohou a sklonem přímky v souřadném systému.

Pomůcky, hardware, software

• Učitel: PC s připojením na internet nebo s aplikacemi GeoGebra, dataprojektor
• Žák: PC, notebook nebo tablet s připojením na internet nebo s aplikacemi GeoGebra

Potřebné vstupní znalosti a dovednosti

• Oborové
  • znalost práce se souřadnicemi bodů
  • porozumění funkční závislosti proměnných a jejímu grafickému znázornění
  • určenost přímky dvěma různými body, vzájemná poloha přímek v rovině
• Digitální 
  • základní orientace v programu GeoGebra (nákresna, algebraické okno, příkazový řádek, ikony s nabídkou příkazů)

Přínos využití digitálních technologií

Ukázka praktického využití ICT pro grafické znázornění, iniciaci a ověřování hypotéz, pro vytvoření vlastního dynamického počítačového modelu grafu lineární funkce a jeho využití k objevování souvislostí hodnot koeficientů a vlastností grafu lineární funkce.

Metodická poznámka

Předpokládejme, že žáci zatím neznají pojem lineární funkce. V materiálu pro zjednodušení celé situace uvažujeme konstantní funkci jako speciální případ lineární funkce.

Na konci každé úlohy by měla být provedena společná kontrola a formulace závěru.

Popis vzdělávacích aktivit

Materiál obsahuje dvě úlohy, každý žák pracuje na svém PC nebo tabletu (v nouzi lze použít i mobilní telefon). Způsob samostatné nebo frontální práce volíme podle úrovně dovedností žáků pracovat s programem GeoGebra a jeho používanými nástroji.

Zdroje

https://www.geogebra.org/

Úloha 1 

Funkce\[ y=f(x) \]je dána tabulkou: 

1. Odhadněte předpis této funkční závislosti.
2. Otevřete program GeoGebra Klasik a do příkazového řádku zadejte postupně souřadnice všech bodů z tabulky (z důvodu jednotného značení bodů dodržte pořadí v tabulce). Využívejte efektivní zápis, např. (-4, -12).
3. Co si myslíte o poloze zobrazených bodů?
4. Pomocí nástrojů Přímka proveďte vybranými dvěma body (např. A, B ) přímo, označí se\[ f \].
5. Zdá se, že všechny zobrazené body leží na přímce\[ f \]. Ověřte tuto hypotézu užitím nástrojů Vztah mezi objekty (4. ikona zprava) – nejdříve klikněte na bod a poté na přímku. V novém okně vám počítač odpoví (obrázek 1).

Obrázek 1: Ověření polohy bodu na přímce

Autor: Hana Mahnelová

    6. Prověřte všechny zbývající body.
    7. V příkazovém řádku vidíme rovnici přímky. Porovnejte ji s vaším odhadovaným předpisem zadané funkce.
    8. Sestrojili jste graf a našli předpis jedné, tzv. lineární, funkce.

Řešení

Jedna se o závislost\[ y=3x \].

Úloha 2

Lineární funkcí nazveme každou funkci, která má předpis\[ y=ax+b \], kde čísla\[ a, b \] nazýváme koeficienty. Víme, že grafem je přímka. Vytvořte dynamický model grafu této funkce a zkoumejte vliv koeficientů na polohu přímky v souřadném systému. Využijte nástroj posuvník (druhá ikona zprava) a vyzkoušejte změnu nastavení jeho rozsahu i krokování.

1. Začneme zobrazením dvou číselných posuvníků\[ a, b \].
2. Pohybem ovládacího bodu posuvníku nastavíme libovolné hodnoty čísel\[ a, b \].
3. Do příkazového řádku zapíšeme funkci předpisu\[ y=ax+b \].
4. Měníme hodnoty posuvníků a zkoumáme změny polohy přímky obr. 2.
5. Zformulujte, co jste pomocí dynamického modelu zjistili.

2. Zobrazení posuvníků

Autor: Hana Mahnelová

Řešení

Když platí 

\[ a<0\Rightarrow \]přímka „klesá“

\[ a=0\Rightarrow \]přímka je rovnoběžná s osou\[ x \]

\[ a>0\Rightarrow \]příspěvek „roste“

\[ b=0\Rightarrow \]přímka prochází počátkem soustavy souřadnic