Domů > Odborné články > Gymnaziální vzdělávání > Výroky a jejich negace
Odborný článek

Výroky a jejich negace

18. 2. 2007 Gymnaziální vzdělávání
Autor
Jarmila Robová

Anotace

Příspěvek upozorňuje na význam výrokové logiky pro další studium matematiky, ukazuje některá úskalí při výkladu pojmů a vztahů z této oblasti a zdůrazňuje důležité okamžiky výkladu z metodického hlediska. Pro ilustraci jsou v příspěvku uvedeny konkrétní úlohy.

Správné používání logických spojek a kvantifikátorů, negování jednoduchých i složených výroků včetně jejich symbolických zápisů patří k důležitým dovednostem, které si při studiu základů výrokové logiky žáci mají osvojit. Uvedené dovednosti hrají důležitou roli ve formování a rozvíjení kompetencí, které jsou nezbytné nejen v dalším studiu matematiky, ale také v životě. Konkrétně jde o srozumitelné vyjadřování, účelné formulování myšlenek a logicky správné zdůvodňování postupů a závěrů řešených problémů. Výroková logika tak tvoří důležitou součást učiva gymnaziální matematiky, neboť poznatky a dovednosti, které žáci získají při studiu této části matematiky, využijí v dalším studiu, a to i humanitních oborů jako je právo, žurnalistika, filosofie.

K základním pojmům logiky patří pojem výroku, který je na střední škole zaváděn intuitivně, stejně jako pojem množiny: výrokem rozumíme sdělení, u kterého má smysl otázka, zda je, či není pravdivé (Calda).

Tato formulace je následně zpřesňována konkrétními příklady výroků, které žáky postupně vedou k chápání jednoduchého výroku jako jednoduché oznamovací věty, u které má smysl rozhodnout o její pravdivosti. Formulace "má smysl otázka" a "má smysl rozhodnout" jsou do značné míry vágní, avšak umožňují nám nezabývat se pravdivostní hodnotou jazykových sdělení typu "pan učitel je prvočíslo" nebo "be, fe, le, me, pes se veze".

Pokud bychom použili formulaci "výrok je oznamovací věta", u které umíme rozhodnout, zda je pravdivá, či nepravdivá, měli bychom problémy s určením pravdivostní hodnoty tvrzení typu "před deseti lety jsem se na první jarní den probudil v 7 hodin ráno", i když intuitivně cítíme, že jde o výrok1. Důležitým kritériem, zda tvrzení je či není výrokem, je tedy skutečnost, že z hlediska jeho pravdivosti nastane právě jedna ze dvou možností2 (pravda x nepravda).

Úkolem logiky zpravidla není určování pravdivostních hodnot jednoduchých výroků, pokud jejich pravdivostní hodnota závisí na jejich věcném obsahu; to je předmětem zkoumání příslušných vědních oborů. O pravdivostní hodnotě výroku "číslo 2 311 je prvočíslo" rozhoduje matematika jako vědní disciplína, v případě výroku "sinice jsou prokaryotní organismy" rozhoduje biologie. Logika zkoumá, jak závisí pravdivostní hodnota složených výroků na pravdivosti jednoduchých výroků, z nichž se složené výroky skládají (Mráz).

K hlavním dovednostem, které si žáci mají v úvodu do logiky osvojit, patří negování výroků. Negace výroku je opět výrok, který popírá pravdivostní hodnotu původního výroku. V případě, že původní výrok popisoval, za jakých podmínek nastane určitá situace, negace tohoto výroku musí postihnout všechny podmínky, kdy daná situace nenastane. Každý výrok lze negovat použitím formulace "není pravda, že..." a dále zopakovat původní výrok. Avšak takové negování je mechanické, i když správné, a žáky nevede k pochopení významu negace. Z metodického hlediska je proto vhodné vybízet žáky k tomu, aby používali pozitivní vyjádření negace, je-li to možné3. Takové formulace negací pomáhají žákům ujasnit si pojmy i vztahy mezi matematickými objekty.


1 V uvedeném příkladu se jedná o hypotézu, tj. výrok, u kterého neumíme o pravdivostní hodnotě rozhodnout, avšak existuje jednoznačná odpověď na otázku o jeho pravdivosti.
2 Na gymnáziu je probírána dvouhodnotová logika, tj. výrok je pravdivý, nebo nepravdivý. Neexistuje třetí možnost.
3 Např. negaci výroku "Sníh je bílý." nevyjádříme pozitivním způsobem negace výroku je "Sníh není bílý.".

Literatura a použité zdroje

[1] – CALDA, E. Matematika pro gymnázia. Základní poznatky z matematiky. 3. vydání. Praha : Prometheus, 1999.
[2] – KOBZA, M. Sbírka úloh z logiky pro výuku středoškolské matematiky. Praha : Diplomová práce. MFF UK,, 2004.
[3] – MRÁZ, V. Logika pro pedagogy. Praha : SPN, 1983.
[4] – POLÁK, J. Přehled středoškolské matematiky. 6. vydání. Praha : Prometheus, 1997.
[5] – ŠEDIVÝ, J. et al. Úlohy o výrocích a množinách pro I. ročník gymnasia. Praha : SPN, 1972.
Soubory materiálu
Typ
 
Název
 
pdf
86.91 kB
PDF
Úlohy ke stažení

Licence

Všechny články jsou publikovány pod licencí Creative Commons BY-NC-ND.

Autor
Jarmila Robová

Hodnocení od uživatelů

Článek nebyl prozatím komentován.

Vaše hodnocení

Ohodnoťte hvězdičkami:

Váš komentář

Pro vložení komentáře je nutné se nejprve přihlásit.

Článek není zařazen do žádného seriálu.

Klíčové kompetence:

  • Gymnázium
  • Kompetence k řešení problémů
  • vytváří hypotézy, navrhuje postupné kroky, zvažuje využití různých postupů při řešení problému nebo ověřování hypotézy;
  • Gymnázium
  • Kompetence k podnikavosti
  • cílevědomě, zodpovědně a s ohledem na své potřeby, osobní předpoklady a možnosti se rozhoduje o dalším vzdělávání a budoucím profesním zaměření

Průřezová témata:

  • Gymnaziální vzdělávání
  • Osobnostní a sociální výchova
  • Seberegulace, organizační dovednosti a efektivní řešení problémů

Mezioborove presahy:

Organizace řízení učební činnosti:

Frontální

Organizace prostorová:

Školní třída