V úvodní hodině k tématu Argumentace a ověřování jsme pro motivaci žáků použili citáty osobností.1 Využijme práce s citáty i v hodině výrokové logiky, ve které se pokusíme aplikovat symbolický jazyk na věty, které nejsou formulovány jako věty matematické. Předpokládáme, že žáci již znají pojem výrok a dovedou pracovat s logickými spojkami a složenými výroky na takové úrovni, jaká je uvedena např. v článku Jarmily Robové Výroky a jejich negace, který naleznete v této sekci Metodického portálu.
Pro osvěžení paměti si připomeňme:
„K základním pojmům logiky patří výrok, který je ve střední škole zaváděn intuitivně, stejně jako pojem množiny: výrokem rozumíme sdělení, u kterého má smysl otázka, zda je, či není pravdivé" (Calda). Pokud bychom použili formulaci "výrok je oznamovací věta, u které umíme rozhodnout, zda je pravdivá, či nepravdivá", měli bychom problémy s určením pravdivostní hodnoty tvrzení typu "před deseti lety jsem se na první jarní den probudil v 7 hodin ráno", i když intuitivně cítíme, že jde o výrok 1. Důležitým kritériem, zda tvrzení je či není výrokem, je tedy skutečnost, že z hlediska jeho pravdivosti nastane právě jedna ze dvou možností (pravda x nepravda).
Úkolem logiky zpravidla není určování pravdivostních hodnot jednoduchých výroků, pokud jejich pravdivostní hodnota závisí na jejich věcném obsahu; to je předmětem zkoumání příslušných vědních oborů. O pravdivostní hodnotě výroku "číslo 2 311 je prvočíslo" rozhoduje matematika jako vědní disciplína, v případě výroku "sinice jsou prokaryotní organismy" rozhoduje biologie. „Logika zkoumá, jak závisí pravdivostní hodnota složených výroků na pravdivosti jednoduchých výroků, z nichž se složené výroky skládají" (Mráz).
Převádět věty běžného života do symbolického jazyka výrokové logiky není jednoduchá záležitost. Ne každá z takových vět musí být totiž nutně výrokem. V knize Matematické důkazy (Thiele R., Matematické důkazy. Praha: SNTL, 1985. ISBN 04-005-85) porovnává vzájemný vztah hovorového jazyka a výrokové logiky významný logik G. Frege (1848 - 1925) se vztahem oka a mikroskopu. „Zatímco oko je pohyblivé, avšak pro vědecké požadavky vyžadující ostré rozlišování, opticky nedokonalé, je mikroskop těmto účelům dokonale přizpůsoben, na základě této specializace je však pro jiné účely nevhodný. Celé bohatství přirozeného jazyka nelze pohledem skrze mikroskop výrokové logiky obsáhnout."
Přesto se pokusme přepsat některé vybrané citáty do symbolického jazyka výrokové logiky. Abychom se „po cestě neztratili", domluvme se na určitých pravidlech postupu zpracování daného citátu.
Tento postup „zpracování" dané věty si budeme ilustrovat na dvou příkladech, které si vypůjčíme z článku J. Robové. Nejprve věta s matematickým obsahem.
Dva kruhy jsou shodné právě tehdy, když mají stejné poloměry.
Při označení jednotlivých jednoduchých výroků
A ... dva kruhy jsou shodné
B ... dva kruhy mají stejné poloměry
lze chápat uvedenou větu jako
ekvivalenci s logickou spojkou právě tehdy když ⇔
a lze ji symbolicky přepsat.
A ⇔ B
Druhá věta již nemá matematický obsah.
Hlupák, který nás pochválí, nám nepřipadá tak hloupý.
Při označení jednotlivých jednoduchých výroků
A ... hlupák nás pochválí
B ... hlupák nám nepřipadá tak hloupý
lze chápat uvedenou větu jako
implikaci s logickou spojkou jestliže...pak...⇒
a lze ji symbolicky přepsat.
A ⇒ B
Uvedený postup „zpracování" dané věty budeme pro přehlednost dodržovat v průběhu celého článku i v pracovních listech, se kterými by v hodině mohli pracovat po krátkém úvodu žáci samostatně. Rozeberme popsaným způsobem citát Platóna z Athén, řeckého filozofa, který žil 428 - 347 př. n. l.
Jinoch se stává mužem, když obejde kaluž, místo aby do ní vstoupil.
Při označení jednotlivých jednoduchých výroků
A ... jinoch se stává mužem2
B ... jinoch obejde kaluž
C ... jinoch vstoupí do kaluže
lze chápat uvedený citát jako
složený výrok, ve kterém se vyskytuje víc než jedna logická spojka
a lze jej symbolicky přepsat
(B∧¬C) ⇒ A
Pracovní list, který by mohli žáci při hodině vyplňovat, obsahuje několik citátů. Je ponecháno místo pro zápis jednoduchých výroků, pro zápis o jaký složený výrok se jedná a nakonec pro symbolický přepis citátu.
Pro zajímavost jsme připravený Pracovní list předložili 14 dobrovolníkům. Většinou se jednalo o učitele matematiky, pouze jeden respondent byl humanitně zaměřen. Jak přepis výroků dopadl? Volili respondenti shodně jednoduché výroky? Shodla se většina na jednom zápisu pomocí symbolů výrokové logiky? Podívejme se na výsledky.
Při čtení těchto výsledků vás určitě napadá, že k podobné různosti zápisů samozřejmě může dojít i ve třídě. Využijme této „různosti" k tomu, abychom žákům vysvětlili důležitost jednoznačnosti zápisu vět matematických a jednoznačnosti zápisů jejich důkazů.
1 Viz článek Argumentace a ověřování v hodinách matematiky na gymnáziu
2 Při formulaci jednoduchých výroků, ze kterých se citát skládá, může nastat problém v různém pohledu jednotlivých žáků na obsah sdělení. Většinou k tomu přispívá forma, kterou je citát zapsán (i ona ovšem dělá citát citátem!). Problémy by asi nenastaly, kdyby věta byla formulována např. takto: "Jinoch je mužem, když obejde kaluž a nevstoupí do ní". Chápejme tedy uvedené jednoduché výroky v tomto smyslu.
Všechny články jsou publikovány pod licencí Creative Commons BY-NC-ND.
Článek nebyl prozatím komentován.
Pro vložení komentáře je nutné se nejprve přihlásit.
Článek není zařazen do žádného seriálu.
