Užití exponenciální rovnice ve středoškolské praxi

Úvod

Při teorii řešení exponenciálních rovnic se často setkáváme s problémem jejich praktické aplikace. Učebnice uvedená v použité literatuře nabízí několik zajímavých příkladů, které mohou zaujmout i žáky, jejichž prioritním oborem matematika není. Níže uvedená úloha je příspěvkem k řešení tohoto zdánlivého rozporu. Tentokrát se týká propojení matematiky s významnou geografickou disciplínou - demografií. Odborníci této vědy snad odpustí určitá zjednodušení, ale v tuto chvíli jde o matematickou podstatu věci.

Zadání úkolu

Ve kterém roce (odhadněte i měsíc a den) dosáhne Turecká republika 82 411 460 obyvatel (tj. odhadnutému počtu obyvatel Spolkové republiky Německo ke dni 26. 2. 2007; růst počtu obyvatel této země je v podstatě nulový)? Dostupné informace získáte na www.geohive.com.

Zápis slovní úlohy

Řešení

Základní rovnice: , kde
P_n je (odhadovaný) počet obyvatel v roce n;
P_m je (zjištěný) počet obyvatel v roce m;
P.P. je přírůstek obyvatel státu za dané předešlé období, které použijeme pro další projekci vývoje počtu obyvatel [%] (tento údaj je poněkud relativní, neboť se úplně neopírá o přesnější demografické parametry, to by však ve středoškolském prostředí neměl být problém - pozn. aut.).

Vlastní řešení

Předem je provedena jednoduchá substituce q = n - m, resp. q = n - 2007, 156 (neboť doba uplynulého roku do 26. února - takového relativně přesného odhadu jsme schopni dle informací na www.geohive.com - je přibližně roku celého):

Provedeme opět jednoduchou desubstitubci (viz Vlastní řešení)
q = n - m ⇒ n = q + m ⇒ n = 14,291 + 2007,156 ⇒ n = 2021,447 (⇒ 12. června 2021¹)

Odpověď

Za stávajícího přírůstku dosáhne počet obyvatel Turecké republiky dnešní hodnoty počtu obyvatel Spolkové republiky Německo 12. června 2021¹.

Další možné variace podobných úloh jsou celkem zřetelné jak vertikálně, tak horizontálně.

¹ Vypočtené datum se může v jednotlivých postupech poněkud lišit. Roli hraje stupeň zakrouhlování.