Obsahy ploch a programový systém Mathematica

Žáci střední školy by měli pochopit matematiku na té úrovni, aby byli schopni řešit úlohy odpovídající náročnosti daného tematického celku i zaměření školy. Žáci technicky zaměřených škol by měli mít jisté části matematiky zvládnuty tak, aby byly schopni aplikovat v matematice získané poznatky i při řešení úloh v odborných předmětech. K tomu (a nejen k tomu) je nutný jistý stupeň matematického drilu, který není možné zvládnout jinak než řešením desítek úloh. Po tomto pro žáky ne příliš oblíbeném období pak přichází období, kdy jsou žáci schopni řešit i komplexnější úlohy. A to třeba i takové, jejichž řešení není možné zvládnout analyticky, ale je nutné použít nějaký software, který řešení problému po jeho logickém rozboru usnadní.

Ve škole, kde již 12 let působím (Střední průmyslová škola sdělovací techniky Panská, Praha), učím také předmět Aplikovaná matematika. Tento předmět je určen pro ty žáky, kteří mají zájem o další studium na vysokých školách technického zaměření a kteří chtějí získat jakousi nadstavbu nad středoškolskou matematikou a fyzikou. V rámci tohoto předmětu se žáci seznamují jednak s axiomatickou výstavbou matematiky, různými strukturami, které se běžně ve vysokoškolské matematice používají, ale také s aplikacemi matematiky při řešení řady matematických, logických i fyzikálních úloh. Úlohy převážně řešíme a zejména jejich rozbor provádíme bez využití výpočetní techniky.

Pouze v případě, že úloha nemá analytické řešení nebo je postup řešení komplikovaný, numericky náročný..., používáme programový systém Mathematica, na který vlastní škola neomezenou licenci (tj. program si mohou nainstalovat všichni zaměstnanci i žáci školy).

Mathematica je velmi obsáhlý programový systém, který umožňuje řešit rovnice analyticky (pokud je to možné) i numericky, umožňuje symbolicky provádět úpravy algebraických, goniometrických, kombinačních a dalších typů výrazů, umožňuje graficky zobrazovat průběhy matematických funkcí nebo fyzikálních měření a řadu dalších operací. Na první pohled by se mohlo zdát, že práce s tímto systémem je náročná, ale pokud žáci znají několik základních slovíček v anglickém jazyce, mohou s tímto systémem pracovat velmi dobře a rychle. Navíc od verze 8 tohoto systému není nutné v případě jednoduchých příkazů tyto příkazy psát striktně podle syntaktických pravidel. Stačí znát anglický název příkazu a pak intuitivně zadat úlohu (rovnici, funkci, jejíž graf chceme vykreslit, …) a Mathematica ji ve většině případů vyřeší.

V případě řešení složitějších problémů se možné základní informace nalézt na internetu (např. [1]) nebo využít velmi kvalitní a rozsáhlou nápovědu systému.

Jednou z úloh, kterou lze se žáky logicky rozebrat a poté ji numericky řešit s využitím software Mathematica, je úloha vyskytující se v několika sbírkách logických úloh dostupných na internetu v různých obměnách: 

Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku zatlučenému v obvodu zahrady. Jakou délku musí mít provaz, aby koza spásla trávu právě z poloviny plochy zahrady? 

Tato úloha zní na první pohled jednoduše, ovšem při detailnějším rozboru zjistíme, že není tak triviální, jak se zdá. Se žáky lze tuto úlohu velmi dobře analyzovat, zopakovat si základní pojmy geometrie (ve většině případů základoškolské) a postupně sestavit rovnici pro hledanou neznámou. Pravda, sestavená rovnice není algebraická, vyskytují se v ní dokonce i cyklometrické funkce, ale s využitím systému Mathematica je možné tuto rovnici snadno vyřešit. Navíc je možné v tomto systému i vykreslit ve správném poměru obrázek zadané úlohy.

Řešením této úlohy je možné se žáky postupně zopakovat:

1. obsahy plošných útvarů (kruh, kruhová výseč, trojúhelník);
2. goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku;
3. Pythagorovu větu;
4. definiční obor funkcí (odmocninná funkce, cyklometrické funkce);
5. graf funkce a jeho vlastnosti;
6. numerické řešení rovnic. 

Rozbor i vlastní řešení úlohy je uvedeno v příloze. Tuto formu publikace jsem zvolil proto, že ve vytvořeném souboru bylo možné používat zápis rovnic, číslování obrázků a matematických vztahů, a je zaručeno, že se všem uživatelům zobrazí text správně.

Další přílohou je notebook systému Mathematica (soubor se zdrojovým kódem), v němž je uvedeno nejen numerické řešení rovnice, k níž je možné dospět rozborem úlohy, ale také vykreslení obrázku, na základě kterého byla úloha řešena.

Použití systému Mathematica má také tu výhodu, že lze velmi snadno modifikovat původní úlohu a po drobných změnách ve zdrojovém kódu opět získat rychle řešení úlohy.