Jak učit sčítání a odčítání

Motto: Nikdo nezačíná dílo od prvopočátku, nýbrž se chápe nitky z minulosti a spřádá ji dál. (Dygasiňski)

Podívejme se na minulost, poučme se z ní, abychom nitku sčítání a odčítání ve škole dokázali spřádat dál tak, abychom dosahovali zvyšování úrovně v této oblasti, a ne její snižování. Mám z minulosti bohaté zkušenosti s vyučováním matematice, jak osobní, tak získané z literatury i od dalších učitelů.

Na pedagogické fakultě jsem vystudovala  učitelství 1. stupně a dálkově dostudovala vyučování matematice. Řadu let jsem učila, pak jsem pracovala ve Výzkumném ústavu pedagogickém, kde jsem se podílela na výzkumu vyučování matematice na 1. stupni,  byla jsem spoluautorkou pokusných i později celostátně vydávaných učebních materiálů (učebnice, pracovní sešity, metodiky pro učitele) k vyučování matematice na 1. stupni, vedla jsem i seminář Metodiky vyučování matematice na ústecké pedagogické fakultě.  Po odchodu do důchodu jsem měla to štěstí, že jsem mohla ještě deset let učit, dosud jsem stále v kontaktu s dětmi, které doučuji matematiku jak na 1., tak na 2. stupni. Mám zkušenosti i s jejich přípravou na přijímací zkoušky na víceletá gymnázia. Všichni mí žáci při těchto zkouškách uspěli.

I taková zdánlivě jednoduchá záležitost, jako je vyučování sčítání a odčítání, prodělala svůj historický vývoj již od dob J. A. Komenského. V prvních osnovách z r. 1874 bylo požadováno, aby se v 1. ročníku probírala čísla do 20 a všechny čtyři početní výkony, tj. sčítání, odčítání, násobení a dělení. V metodice Fr. Močnika „Vyučování počtům ve škole obecné“ (Vídeň, 1874) se při probírání každého čísla do 20 k témuž schématu sestavovaly příklady sčítání, odčítání, násobení a dělení, viz příloha, obr. 1. Projevovala se tu snaha naučit žáky od samého počátku vše nejdůležitější z počtů, co budou v životě nutně potřebovat, protože v té době nebylo výjimkou, že děti navštěvovaly školu velmi nepravidelně a často povinnou školní docházku nesplnily. Tento přístup ovlivnil vyučování počtům v 1. ročníku až do r. 1915, kdy došlo k výraznějším změnám v osnovách (násobení a dělení bylo posunuto do 2. ročníku a do 1. ročníku bylo zařazeno poznávání čísel do 100).

V učebnicích vydávaných  v těchto letech až do konce padesátých let bylo sčítání a odčítání probíráno odděleně. Např. v početnici z r. 1949 se po seznámení žáků s čísly 1 až 100 probírá sčítání a odčítání tak, že se nacvičuje přičítání čísla 1, pak odčítání  1, přičítání k 1, přičítání 2, odčítání 2, přičítání ke 2 atd. Až v početnici vydané v r. 1960 (G. Kníže, M. Reitmayerová , V. Hornofová: Početnice pro první ročník, Státní pedagogické nakladatelství, 1960) dochází k propojení sčítání a odčítání tak, že se postupně s jednotlivými probíranými čísly objasňuje sčítání a odčítání, přičemž se vychází z přirozených činností přidávání  a ubírání: např. hrneček se na poličku přidá, hrneček se z poličky sundá,  ptáček do krmítka přiletí, ptáček z krmítka odletí.

Grafickým znázorněním činnosti přidávání bývalo schéma, v němž jsou sčítanci znázorněny kroužky a zařazením znaménka plus mezi ně (viz příloha, obr. 2), což je nevhodné, neboť znaménko odčítání mezi konkrétní obrázky již zařadit nelze. Tady se projevuje nelogičnost směšování symboliky se schématy. Při objasňování odčítání bývala činnost ubírání graficky znázorňována škrtáním (viz příloha, obr. 3). Dalším problémem je, že tímto způsobem nelze schematicky znázornit přičítání a odčítání čísla 0. To vedlo k tomu, že se soudilo, že žákům v 1. ročníku číslo 0 nelze vůbec objasnit. Tak se v dřívějších dobách číslo 0 v početnicích pro 1. ročník vyskytovalo pouze v zápisech dvouciferných čísel (násobků 10).

Učitelům se podle těchto učebnic učilo dobře, ale po čase se ukázalo, že metodické zpracování učiva o sčítání a odčítání, které se opírá  pouze o činnosti přidávání a ubírání, nebo dokonce jen o verbální popis těchto činností, vede u žáků k vytváření nesprávných představ o sčítání a odčítání.

Spojení sčítání s představou přidávání a odčítání s představou ubírání je pro mnohé žáky téměř nepřekonatelnou bariérou, která jim brání vytvoření nejnutnějších abstrakcí. Důsledkem nedostatečné abstrakce pak bývá vytvoření mechanických vazeb mezi rčením použitým v úloze a volbou početního výkonu při jejím řešení. Tak např. jestliže se v úloze popisuje přidávání nebo je použito slova „celkem“, popř. rčení „o více“, řeší žáci úlohu sčítáním, a jestliže se v úloze popisuje ubírání nebo je použito slov „zbylo“, popř. rčení „o méně“, řeší žáci úlohu odčítáním.

První nesnáze nastávají, jestliže těchto rčení použito nebylo. (Např. I. má 10 kuliček. Tři jsou červené, ostatní modré. Kolik má modrých kuliček?) Ještě větší nesnáze pak nastávají při řešení takových úloh, v nichž  je třeba popisována činnost ubírání, přičemž se úloha řeší sčítáním. (Maminka dala na mísu koláče. Děti tři koláče snědly a na míse dva koláče zůstaly. Kolik koláčů dala maminka na mísu?) Řada žáků téměř není schopna se vymanit z původně vytvořené představy o sčítání jako přidávání a odčítání jako ubírání a není schopna takovou úlohu vyřešit.

Tento stav vyvolal nutnost věnovat zvláštní pozornost úlohám nepřímým. Např. v publikaci „Metodika matematiky na národní škole“(Kníže; Kurfirst, SPN 1957) se píše: „Jednoduché úlohy jsou podle formy buď přímé, nebo nepřímé. Úlohy přímé jsou ty, jejichž  text naznačuje výkon, kterým se úloha řeší. Úlohy nepřímé jsou ty úlohy, jejichž formulace naznačuje jiný výkon než ten, kterým se úloha řeší.“

Já sama mám dosud v paměti šok, který jsem měla na počátku své učitelské praxe v 1. ročníku. Byla jsem přesvědčena o tom, že žáci bezpečně zvládají sčítání a odčítání do sedmi včetně řešení příslušných slovních úloh, a tehdy se v učebnici poprvé vyskytla úloha, v níž se nic neubíralo a nic nezbývalo a přece se řešila odčítáním. Nikdo z žáků nebyl schopen úlohu vyřešit.

Na jednom metodickém sdružení učitelů prvních ročníků jsme se domluvili, že stejné problémy má více vyučujících, a hledali jsme příčiny tohoto problému. Tehdy nás jedna zkušená kolegyně pozvala k sobě do třídy na hospitaci a předvedla nám, jak ona tuto situaci řeší. Vysvětlila nám, že se snaží dát žákům hned od počátku obecnější pohled na sčítání a odčítání. Proto využívá při objasňování sčítání a odčítání dominové karty. Žáci měli kartu rozdělenou na dvě pole, do nichž kladli knoflíky (viz příloha, obr. 4) a poznávali, že se počet všech teček na kartě určí sečtením počtů teček ve dvou polích a že se počet teček v jednom poli určí odečtením počtu teček v druhém poli od počtu všech teček na kartě.

Žáci k takové dominové kartě tvořili příklady sčítání i odčítání, tj.2 + 4 = 6, 4 + 2 =6 , 6 - 2 = 4, 6 - 4 = 2. Tento postup se nám osvědčil a ušetřili jsme hodně času, neboť si žáci probírané příklady snadněji zapamatovali. Postupně jsme práci s dominovými kartami propojovali s hrou, tzv. třepanou, kdy žáci brali do spojených dlaní daný počet knoflíků, zatřepali a dlaně oddělili, jednu dlaň rozevřeli a počítali, kolik knoflíků je v druhé dlani, a také brali do každé dlaně daný počet knoflíků a počítali, kolik knoflíků je ve spojených dlaních, a opět tvořili všechny odpovídající příklady sčítání a odčítání.

Nutnost dát žákům obecnější pohled na početní výkony sčítání a odčítání si uvědomovali i někteří naši metodici a autoři početnic. Ve výše citované metodice se ukazuje objasňování  sčítání a odčítání pomocí úloh a říká se zde, že se „sčítáním řeší úlohy na určení celku z jeho částí“ a  „úlohy na zvětšení čísla o několik jednotek“ (Kníže, Kurfirst, SPN 1957).

Odčítání se zde uvádí jako inverzní operace ke sčítání. Je zde řečeno: „Odčítání je početní výkon, v němž se ze známého součtu a jednoho sčítance hledáme druhého sčítance. Odčítáním řešíme úlohy:

a) na určení části ze známého celku a části
b) na zmenšení čísla o několik jednotek
c) na porovnávání rozdílem.“ (Tamtéž).

V této době (1954) je již i v naší didaktické literatuře uváděn množinový přístup k objasňování sčítání a odčítání. Akademik E. Čech v publikaci „Čísla a početní výkony určené učitelům matematiky“ (Praha 1954) objasňuje  sjednocení dvou množin a pak zavádí součet a sčítání pomocí sjednocení dvou disjunktních souborů. Odčítání pak zavádí pomocí řešení rovnice a + x = b , x + a = b. Tato situace vede k tomu, že je důležité, aby objasňování učiva bylo v souladu s teorií tak, aby se žáci nemuseli nic přeučovat, aby postupně dosahovali vyšší abstrakce, která je v souladu s teoretickými východisky, s nimiž se seznamují studenti pedagogických fakult.

Z uvedených zkušeností se vycházelo při zpracování učiva matematiky v pracovních sešitech a metodických příručkách vydávaných v sedmdesátých a osmdesátých letech, tzv. množinová matematika. Při objasňování sčítání a odčítání se zde vycházelo z různých manipulativních činností s knoflíky a jiným drobným materiálem, které se pak graficky zaznamenaly diagramem sjednocení dvou množin. Po objasnění sčítání a pak odčítání se k témuž diagramu sestavovaly příklady sčítání i odčítání (viz příloha, obr. 5.). Žáci pak dostávali za úkol daný příklad sčítání nebo odčítání znázornit diagramem a zapsat další znázorněné příklady sčítání a odčítání. Diagramy se vyznačovaly i různé obrázky (viz příloha, obr. 6), k nimž se pak sestavovaly slovní – aplikační úlohy.  Pomocí těchto diagramů bylo zavedeno i řešení jednoduchých rovnic, v nichž byl zpočátku znakem neznámé prázdný rámeček a později i písmeno (viz příloha, obr. 7).

Proto, aby se předešlo komplikacím při řešení aplikačních (slovních) úloh, tvořívaly se k témuž obrázku tři úlohy (viz příloha, obr. č. 8). Jednalo se o úlohy:

a) Děti postavily sněhuláky. 2 sněhuláci roztáli, a 5 sněhuláků zůstalo stát. Kolik sněhuláků děti postavily?
b) Děti postavily 7 sněhuláků. 2 sněhuláci roztáli. Ostatní ještě stojí. Kolik sněhuláků stojí?
c) Děti postavily 7 sněhuláků. Svítilo sluníčko a sněhuláci začali tát. 5 sněhuláků ještě neroztálo. Kolik sněhuláků již roztálo?

Tento přístup k objasňování sčítání a odčítání bezpochyby příznivě ovlivnil i výsledky vyučování matematice, neboť žáci, kteří se učili z učebnic a pracovních sešitů, v nichž byl tento přístup ke sčítání a odčítání uplatněn, dosahovali v mezinárodních srovnávacích testech velmi dobrých výsledků. Umísťovali se na předních místech. V devadesátých letech se však s vypuštěním „množinového přístupu k vyučování matematice“ ustoupilo mimo jiné i od uvedeného přístupu k objasňování sčítání a odčítání. Prakticky ve všech učebnicích, pracovních sešitech, pracovních učebnicích vydávaných k vyučování matematice v 1. ročníku v těchto letech až dodnes je uplatňován přístup ke sčítání a odčítání, který odpovídá tomu, jak bylo objasňováno sčítání a odčítání v citované učebnici z roku 1960 (Kníže, Reitmayerová).

Vychází se z činností přidávání a ubírání, schématy znázorňujících sčítání jsou obvykle kroužky dvou barev nebo je použito i znaménka plus a odčítání bývá znázorňováno škrtáním (viz příloha, obr. 2,3).

Obecnější pohled na sčítání a odčítání, který by ukazoval souvislosti mezi těmito početními výkony, se v nich prakticky nevyskytuje, a navíc zde není věnována pozornost tzv. úlohám nepřímým (viz výše).

Ráda bych využila svých zkušeností z práce na učebnicích vydávaných v sedmdesátých a osmdesátých letech, kdy autorské kolektivy vedl dr. Jiří Kabele. Chtěla bych navázat na tu nitku z minulosti, která vedla k dobrým výsledkům ve vyučování matematice. Proto jsem zpracovala pro Metodický portál digitální učební materiály Prvňáci a matematika (prezentaci, kterou je možno promítat na tabuli nebo s ní mohou žáci pracovat přímo na počítači, a pracovní listy, které jsou těsně provázány s uvedenou prezentací a které může vyučující žákům vytisknout), v nichž jsem objasňování sčítání a odčítání zpracovala v těsné souvislosti.

Při objasňování sčítání a odčítání se zde vychází z činností žáků s drobným materiálem (knoflíky), které se pak graficky znázorní schématy a diagramy. Oba početní výkony se žákům na počátku objasní sice samostatně, dále pak se již při probírání jednotlivých čísel probírají oba početní výkony současně (viz příloha, obr. 9).

Žáci se naučí příklady sčítání a odčítání sestavovat jak ke konkrétním situacím a k různým schématům, tak i příklady sčítání a odčítání schematicky znázorňovat (viz příloha, obr. 10). Velmi důležitým schématem je diagram (sjednocení dvou množin). Ten má tu výhodu, že je v něm možno zapsat i čísla, popř. ponecháním jednoho rámečku prázdného vyjádřit, které číslo se má vypočítat, a později do některého rámečku zapsat  písmeno (viz příloha, obr. 6) a tak začít žáky seznamovat i s řešením jednoduchých rovnic na základě souvislostí mezi sčítáním a odčítáním. Další výhodou je, že není nutno do diagramu vždy zakreslovat jednotlivé prvky, ale stačí zapsat čísla a tak vyjádřit vztahy mezi jednotlivými čísly. Dále je toto schéma vhodným vyjádřením vztahů mezi údaji uvedenými v aplikační úloze (viz příloha, obr. 11).

Schematické  znázorňování sčítání a odčítání dvěma barvami knoflíků nebo dvěma barvami krychliček na krychličkovém počítadle (viz příloha, obr. 12)  je důležité především při znázorňování sčítání a odčítání jednociferných čísel s přechodem přes základ 10, čímž se dobře znázorní postup výpočtu pomocí vhodného rozložení sčítance – menšitele na sčítance.

Využití pohybu figurky po hrací dráze (viz příloha, obr. 13) ke znázornění sčítání a odčítání je přípravou pro práci s číselnou osou a výrazněji zde vystupuje to, že jsou početní výkony sčítání a odčítání navzájem k sobě opačné.

Využívat sčítání a odčítání při řešení problémů z praxe se žáci učí při řešení aplikačních – slovních úloh. V materiálech Prvňáci a matematika jsou aplikační úlohy zadávány formou konkrétních obrázků, k nimž vyučující, později i žáci, úlohu formulují.  Při jejich řešení by měli pochopit, že takové úlohy nejsou hádankami, ale že je třeba stanovit  vztahy mezi danými údaji a otázkou – neznámou.  Na základě toho pak určit a provést příslušný početní výkon. K hlubšímu pochopení vzájemných vztahů mezi údaji a otázkou slouží tvoření různých úloh, které je možno sestavit na základě dané konkrétní situace. Tento přístup napomáhá nejen k hlubšímu pochopení vztahů v přirozených situacích, ale přispívá i k rozvíjení tvořivosti dětí a zabraňuje mechanickému spojení mezi rčením použitým v úloze a volbou početního výkonu k jejímu řešení. V této fázi učení je rovněž důležité, aby se žáci učili vyjadřovat matematickou stránku různých reálných situací z praxe pomocí schémat, aby poznávali, že místo konkrétních předmětů je možno kreslit čárky, tečky, a tak zaznamenat jejich počet, a že vztahy mezi soubory (množinami) různých předmětů je možno vyjádřit schematicky pomocí diagramů.

Bylo by ideální, kdyby se na spřádání nitky z minulosti, a to nejen po stránce vyučování sčítání a odčítání, ale v celé oblasti vyučování matematice, podíleli učitelé tím, že by různé učební materiály ověřovali v praxi, předávali dál svoje zkušenosti, navrhovali úpravy, aby se tak podíleli na vytváření kompletních učebních materiálů, popř. jejich doplňků. To v současné době velice usnadňuje výpočetní technika. Není problémem ze dne na den materiály upravit a publikovat, nebo publikovat i více verzí.