Zobrazit na úvodní stránce článků

Na začátek článku
Titulka > Modul články > Základní vzdělávání > Multikulturní výchova > Multikulturní společnost > Největší společný dělitel a nejmenší společný...

Ikona prakticky

Největší společný dělitel a nejmenší společný násobek

Ikona inspiraceIkona blok
Autor: Antonín Jančařík
Anotace: Rozšíření tématu „Největší společný dělitel a nejmenší společný násobek” s využitím volně dostupných interaktivních ukázek.
Podpora výuky jazyka:
Klíčové kompetence:
  1. Základní vzdělávání » Kompetence k řešení problémů » samostatně řeší problémy; volí vhodné způsoby řešení; užívá při řešení problémů logické, matematické a empirické postupy
Očekávaný výstup:
  1. základní vzdělávání » Matematika a její aplikace » 2. stupeň » Matematika a její aplikace » Číslo a proměnná » modeluje a řeší situace s využitím dělitelnosti v oboru přirozených čísel
Mezioborové přesahy a vazby:
  1. Základní vzdělávání -> Informační a komunikační technologie 2. stupeň
  2. Základní vzdělávání -> Dějepis
  3. Základní vzdělávání -> Zeměpis (geografie)
Průřezová témata:
  1. Základní vzdělávání » Multikulturní výchova » Multikulturní společnost
Organizace řízení učební činnosti: Frontální, Individuální
Organizace prostorová: Specializovaná učebna
Nutné pomůcky: PC, dataprojektor
Klíčová slova: největší společný dělitel, nejmenší společný násobek, Euklidův algoritmus, interaktivní ukázky

Výpočet nejmenšího společného násobku (NSN) a největšího společného dělitele (NSD) patří mezi základní postupy, se kterými se žáci seznamují v rámci tematického okruhu Číslo a proměnná.

Cílem tohoto příspěvku je ukázat možnosti využití interaktivních ukázek dostupných na serveru projektu Wolfram Demonstration Project (http://demonstrations.wolfram.com/) pro rozšíření výuky tohoto klasického tématu.

Výpočet největšího společného dělitele a nejmenšího společného násobku zpravidla navazuje na téma rozkladu čísla na prvočísla. Pokud máme spočítat největšího společného dělitele dvou čísel, provedeme nejprve rozklad obou čísel na prvočísla a následně vybereme ty dělitele, které nacházíme v obou rozkladech. Rozklad na prvočísla je poměrně jednoduchou záležitostí pro malá čísla, pokud ale pracujeme s čísly v řádu stovek, nemusí být již nalezení prvočíselného rozkladu triviální. Pro demonstraci celého procesu hledání největšího společného dělitele pomocí prvočíselného rozkladu je možné použít interaktivní ukázku Finding the Greatest Common Divisor of Two Numbers by Factoring (obrázek 1). (http://demonstrations.wolfram.com/FindingTheGreatestCommonDivisorOfTwoNumbersByFactoring/)

Rozklad na prvočísla
1. Rozklad na prvočísla
http://demonstrations.wolfram.com/FindingTheGreatestCommonDivisorOfTwoNumbersByFactoring/

Použití ukázky je velice jednoduché, na posuvníku Number 1 zvolíte první číslo, na posuvníku Number 2 druhé. Program sám grafickou formou znázorní postup rozkladu na prvočísla, červeně označí společné faktory a vypočte největšího společného dělitele.

V této ukázce lze zadávat čísla od jedné do tisíce, výpočet je prováděn takřka okamžitě.

Obdobným způsobem jako je počítán největší společný dělitel, lze počítat i nejmenší společný násobek dvou čísel. Jediný rozdíl je v tom, že z každého prvočíselného rozkladu vybíráme do nejmenšího společného násobku ten faktor, ve kterém se nachází příslušné prvočíslo v nejvyšší mocnině. Tento postup je možné opět demonstrovat interaktivní ukázkou:

Nejmenší společný násobek
2. Nejmenší společný násobek
http://demonstrations.wolfram.com/FindingTheLeastCommonMultipleOfTwoNumbersByFactoring/

Finding the Least Common Multiple of Two Numbers by Factoring – obrázek 2 (http://demonstrations.wolfram.com/FindingTheLeastCommonMultipleOfTwoNumbersByFactoring/).

Obě interaktivní ukázky lze použít při využití interaktivní tabule, nebo pouze s pomocí počítače a dataprojektoru. Pokud to vybavení školy umožňuje, je možné dát žákům prostor, aby si sami několik úloh s pomocí těchto ukázek vypočítali. Odkazy na ukázky je také možné zveřejnit na webových stránkách školy a žáci mohou obě ukázky používat pro procvičení probírané látky a při počítání domácích úkolů.

Pokud vám přijde zadávání čísel pomocí posuvníku nepřesné nebo málo citlivé, můžete klepnutím na malé plus za posuvníkem rozbalit menu na podrobnější zadávání, které umožňuje i zadat číslo přímo z klávesnice (viz obrázek 3).

Nastavení přesných hodnot
3. Nastavení přesných hodnot

Doporučené aktivity

Využití 1 – Výklad – rozklad na prvočísla

Ukázka 1 je využita pro výklad a procvičování rozkladu čísla na prvočísla. Učitel demonstruje v průběhu výkladu rozklad čísla na prvočísla tak, že druhé číslo (Number 2) je nastaveno na nulu a nastavuje pouze první číslo. Učitel může vyzvat žáky, aby sami zadávali čísla, jejichž rozklad je následně demonstrován s pomocí interaktivní ukázky. V dalším kroku je ukázka 1 využita pro kontrolu výsledků úloh, které učitel zadává žákům.

Využití 2 – Netradiční úlohy spojené s rozkladem na prvočísla

Tato aktivita opět využívá ukázku 1 tak, že druhé číslo je nastavené na nulu. V průběhu této aktivity je vhodné, aby žáci pracovali přímo s počítačem. Učitel postupně zadává žákům úlohy typu:

a)    Nalezněte trojmístné číslo, které má alespoň tři různé dělitele.
b)    Nalezněte trojmístné číslo, které má právě tři různé prvočíselné dělitele.
c)    Nalezněte trojmístné číslo, které je součinem tří různých prvočísel.

U každé z těchto úloh je možné zadání modifikovat jak změnou počtu dělitelů, tak upřesněním intervalu, ve kterém se má požadované číslo nacházet – např. nalezněte číslo v intervalu <200,300>, které je součinem právě čtyř různých prvočísel.

Správný výsledek je třídě vždy demonstrován pomocí dataprojektoru. Žáci mohou být vyzváni, aby hledali další řešení, případně soutěžit, kdo nalezne v předem daném časovém intervalu nejvíce správných řešení.

Cílem této aktivity je přivést žáky k poznání, že požadované čísla lze sestrojit pomocí vhodné volby dělitelů. Proto je vhodné, zkusit následně žákům zadat stejné, nebo obdobné úlohy bez možnosti využít počítač.

Využití 3 – Výklad – hledání největšího společného dělitele

Ukázka 1 je využita v průběhu výkladu algoritmu hledání největšího společného dělitele. Vizualizace celého procesu umožňuje lepší pochopení a zapamatování. Využití výpočetní techniky také zvyšuje pozornost žáků. Interaktivní ukázku lze také použít pro okamžité nalezení NSD u dvojic čísel, které zadávají přímo žáci a pro kontrolu řešení úloh, zadaných vyučujícím.

Využití 4 – Netradiční úlohy spojené s NSD a NSN

Aktivita opět využívá ukázku 1 a ukázku 2. V průběhu aktivity je vhodné, aby žáci pracovali přímo s počítačem. Učitel postupně zadává žákům úlohy typu:

a)    Nalezněte dvě různá přirozená čísla menší než tisíc, jejichž největší společný dělitel je co největší.
b)    Nalezněte dvě různá čísla větší než 500, jejichž nejmenší násobek je co nejmenší.
c)    Nalezněte dvě různá čísla v intervalu <300,500>, jejichž největší společný dělitel je součinem tří různých prvočísel.
d)    Nalezněte dvě různá čísla v intervalu <300,500>, jejichž nejmenší společný násobek je součinem pěti různých prvočísel.

Správný výsledek je třídě vždy demonstrován pomocí dataprojektoru. Žáci mohou být opět vyzváni, aby hledali další řešení, případně soutěžili, kdo nalezne v předem daném časovém intervalu nejvíce správných řešení.

Euklidův algoritmus

Pro výpočet největšího společného dělitele lze kromě rozkladu na prvočísla použít také jeden z nejstarších algoritmů, které lidstvo zná – Euklidův algoritmus. Zařazení Euklidova algoritmu do výuky lze využít jak pro rozšíření tématu dělitelnosti, tak pro ukázání interdisciplinárních vazeb mezi matematikou a dalšími předměty – především vzdělávacími obory Dějepis a Zeměpis.

Euklidův algoritmus je pojmenován po řeckém filozofovi, matematikovi a geometrovi Euklidovi (řecky Εὐκλείδης, žil asi 325 př. n. l. – asi 260 př. n. l). Tento Řek s egyptskými kořeny žil v Alexandrii v Egyptě a do dějin matematiky se zapsal především svým třináctidílným pojednáním Základy, které shrnuje práci mnoha dřívějších matematiků a filozofů. Jde o zdaleka nejúspěšnější matematickou knihu všech dob, která se používala více než 2 000 let. Jejím hlavním přínosem je axiomatický pohled na matematiku. Euklides nejprve stanovil deset základních postulátů či axiomů geometrie a pak postupoval systémem „věta – důkaz” ke stále složitějším konstrukcím až po tzv. Platónská tělesa. (Na Euklidovu památku byl nazván kráter na měsíci a jedna malá planetka.)

Euklidův algoritmus nalezneme v sedmé knize a Euklides pomocí něj řeší úlohu, jak nalézt největší společnou „míru” dvou úseček.

Využití 5

Cílem aktivity je demonstrovat Euklidův postup hledání největšího společného dělitele pomocí řešení následující úlohy. Postup řešení demonstruje učitel.

Úloha

Potřebujeme oplotit zahradu obdélníkového tvaru o rozměrech 13 x 8 metrů. Naším cílem je rozmístit kůly po obvodu zahrady v pravidelných rozestupech tak, aby v každém rohu zahrady byl kůl. Cílem je nalézt co největší rozestup mezi kůly (a tedy nejmenší počet kůlů), který toto umožňuje.

Úloha je zaměřena na hledání největší společného dělitele délek stran zahrady. Kromě klasického rozkladu na prvočísla lze úlohu řešit geometricky.

Oplocení zahrady – krok 1
4. Oplocení zahrady – krok 1

V očekávaném řešení kůly vyjdou přesně do rohů zahrady. Musí se tedy nacházet i v rozích vyznačeného čtverce.

Oplocení zahrady – krok 2
5. Oplocení zahrady – krok 2

Nyní se kůly nacházejí v rozích vyznačeného čtverce, ale také v rozích nevyznačeného zbytku obdélníku.

Úvahu se čtvercovým pozemkem můžeme použít opakovaně a postupně dostáváme „zbylé” obdélníky o rozměrech 3 x 5 metrů, 3 x 2 metry a 1 x 2 metry.

Oplocení zahrady – krok 3
6. Oplocení zahrady – krok 3

 

Oplocení zahrady – krok 4
7. Oplocení zahrady – krok 4

 

Oplocení zahrady – krok 5
8. Oplocení zahrady – krok 5

Zahradu o rozměrech 2 x 1 metr lze dle požadavků oplotit kůly o vzdálenosti jeden metr. Tato vzdálenost je současně řešením i původní úlohy a zahradu o rozměrech 13 x 8 lze dle požadavků zadání oplotit kůly o vzdálenosti jeden metr a tato vzdálenost je největší možná. Což znamená, že NSD (13,8) = 1.

Následně učitel vyzve žáky, aby sami zadali dvojice čísel z intervalu 1 až 15 a demonstruje hledání největšího společného dělitele pomocí „dělení zahrady” s využitím interaktivní aplikace The Euclidean Algorithm (http://demonstrations.wolfram.com/TheEuclideanAlgorithm/). Postupné kroky se zadávají pomocí posuvníku Step In Algorithm.

Ukázka The Euclidean Algorithm
9. Ukázka The Euclidean Algorithm
http://demonstrations.wolfram.com/TheEuclideanAlgorithm/)

Výsledky dosažené pomocí „dělení zahrady” mohou žáci porovnávat s výsledky dosaženými pomocí rozkladu na prvočísla.

Využití 6

Algoritmus představený v předchozí aktivitě je naprosto obecný. Největší společný dělitel dvou čísel lze vždy spočítat tak, že od většího čísla vždy odečteme číslo menší a tento postup opakujeme do té doby, dokud jedno z čísel není nula. Druhé číslo je největším společným dělitelem zadaných čísel.

Seznámení s tímto algoritmem lze také využít k prohloubení interdisciplinárních vazeb a připomenou žákům řeckou kulturu.

Euklidův algoritmus je sice pojmenován po Euklidovi, ale byl znám mnohem dříve (odhadem cca 300 let). Zcela jistě jej znali Eudoxos z Knidu (* asi 408 př. n. l. – † 355 př. n. l.) a Aristotelés ze Stageiry  (* asi 384 př. n. l. – † 322 př. n. l.).

(Kontrolní otázka pro žáky: „Kdo žil dříve?”)

Využití 7

Euklidův algoritmus je velice efektivní. V praxi jej lze urychlit tak, že místo opakovaného odčítání menšího čísla od většího, v každém kroku spočteme zbytek po dělení většího čísla menším. Efektivnost takového algoritmu jasně ukazuje následující interaktivní ukázka, v níž lze zadávat čísla od jedné do milionu:

Ukázka Euclidean Algorithm Steps
10. Ukázka Euclidean Algorithm Steps
http://demonstrations.wolfram.com/EuclideanAlgorithmSteps/

Ve třídě učitel nejprve vysvětlí celý postup a vyzve žáky, aby sami volili „velká” čísla, pro něž chtějí NSD pomocí interaktivní aplikace spočítat.

Následně učitel sám zadá žákům několik úloh, které nelze efektivně řešit pomocí rozkladu na prvočísla a vyzve žáky, aby se pokusili NSD nalézt pomocí Euklidova algoritmu.

Využití 8

V rámci této aktivity žáci přímo pracují s interaktivní aplikací. Pomocí aplikací se pokouší řešit úlohu typu:
Nalezněte dvě čísla menší než tisíc (deset tisíc, …), pro něž Euklidův algoritmus skončí v největším počtu kroků.
Je možné se pokusit s žáky nalézt i odpověď na otázku, jak maximální počet kroků souvisí s délkou zadaných čísel.

Základní technické informace o využívání použitých ukázek

Všechny ukázky lze nalézt na webových stránkách programu Wolfram Demonstration Project. Na stránkách tohoto projektu se v současnosti nachází několik tisíc interaktivních ukázek (projekt byl spuštěn v polovině roku 2008). Pro jejich spuštění je potřeba nainstalovat buď program Mathematica, verze minimálně 6.0 (komerční produkt) nebo program Mathematica Player, který je dostupný po bezplatné registraci na adrese http://www.wolfram.com/products/player/download.cgi.

(Pozor, soubor ke stažení má cca 80 MB, jednotlivé ukázky pak již mají velikost pouhých několik kilobajtů.)

Všechny uvedené ukázky jsou v anglickém jazyce, lze je proto použít i pro propojení výuky matematiky a anglického jazyka. Na lokalizaci do jednotlivých jazyků se v současnosti pracuje.

Anotované odkazy:
Mathematica PlayerBezplatně dostupný nástroj pro přehrávání matematických interaktivních ukázek z otevřeného portálu Wolfram Demonstrations Project.
Přiřazené DUM:
Příspěvek nemá přiřazeny žádné DUM.
Přiřazené aktivity:
Příspěvek nemá přiřazeny žádné aktivity.
 
INFO
Publikován: 26. 02. 2010
Zobrazeno: 32774krát
Hodnocení příspěvku
Hodnocení týmu RVP:
Hodnocení článku : 3

Hodnocení uživatelů:
Hodnocení článku : 5
Hodnotit články mohou pouze registrovaní uživatelé.

1 uživatel Hodnocení článku : 5
zatím nikdo Hodnocení článku : 4
zatím nikdo Hodnocení článku : 3
zatím nikdo Hodnocení článku : 2
zatím nikdo Hodnocení článku : 1
Jak citovat tento materiál
JANČAŘÍK, Antonín. Největší společný dělitel a nejmenší společný násobek. Metodický portál: Články [online]. 26. 02. 2010, [cit. 2019-11-22]. Dostupný z WWW: <https://clanky.rvp.cz/clanek/c/ZND/7341/NEJVETSI-SPOLECNY-DELITEL-A-NEJMENSI-SPOLECNY-NASOBEK.html>. ISSN 1802-4785.
Licence Licence Creative Commons

Všechny články jsou publikovány pod licencí Creative Commons.


Komentáře
Příspěvek nebyl zatím komentován.
Vložit komentář:

Pro vložení komentáře je nutné se přihlásit.