Analytická geometrie v Excelu

Ve středoškolské matematice není obsáhlejších výpočtů, než v analytické geometrii - dopustíte-li se drobné chyby, obtížně se hledá. Některou úlohu přepočítáte třikrát, abyste si výsledek ověřili, ale pokaždé vám vyjde jiný. Možná to není váš případ, ale já se přiznávám, že když jsem analytiku učil poprvé, touto zkušeností jsem procházel - zvláště pak, když jsem vytvářel vlastní zadání úlohy a neměl proto možnost zkontrolovat výsledek v učebnici nebo ve sbírkách úloh. Tehdy mě napadlo vytvořit aplikace, které podle zvoleného zadání poskytnou výsledek a pokud možno i kompletní řešení, či alespoň dílčí výsledky.

Tyto aplikace vznikly v prostředí Excelu, v němž lze řešení úlohy zobrazit i graficky. Během výuky analytické geometrie jsem vytvořil kompletní soubor všech probíraných typů úloh, což mi velmi usnadnilo přípravu písemných prací, příkladů ke zkoušení a také, což považuji za velmi významné, opravy písemných prací. Všechny aplikace nabízím tímto k dispozici a lze je stáhnout z následujícího webu - www.svapet.wz.cz/vyuka.htm (soubory: úlohy.zip, útvary.zip).

Soupis zpracovaných typů úloh:

Úlohy:

1. Parametrické vyjádření přímky v rovině a v prostoru
2. Parametrické vyjádření a obecná rovnice roviny
3. Vektorový součin a jeho užití
4. Polohové úlohy v prostoru
   • průsečík přímek
   • průsečík přímky a roviny
   • průsečnice dvou rovin
5. Metrické úlohy
   1. odchylky
      • dvou přímek
      • přímky a roviny
      • dvou rovin
   2. vzdálenost
      • bodu od přímky
      • bodu od roviny

Útvary:

1. Trojúhelník
   • výšky
   • těžnice
2. Kružnice
   • zadání třemi různými způsoby
   • průsečíky dvou kružnic
3. Kružnice a přímka, tečny kružnice
4. Elipsa
   • rovnice elipsy
   • parametry elipsy
   • průsečík elipsy a přímky
   • tečna elipsy
5. Parabola
   • rovnice paraboly
   • tečna paraboly
6. Hyperbola
   • rovnice hyperboly
   • tečna hyperboly

Výpis témat není úplný. Aplikace poskytují různé varianty výpočtů parametrických i obecných rovnic útvarů, výpočty vrcholů, ohnisek apod. Stručně vyjádřeno, každá aplikace poskytuje kompletní výpočty všech prvků jednotlivých útvarů.

Ukázky ze souboru Úlohy

1. Obr.

2. Obr.

3. Obr.

4. Obr.

V daných příkladech jsou vstupními daty souřadnice bodů určujících daný útvar nebo koeficienty rovnic (viz obr. 2).

Je-li v řešení úlohy také soustava lineárních rovnic, bývá zápis redukován na koeficienty rovnic bez proměnných (obr. 3 ale výjimečně ilustruje kompletní zápis řešení soustavy).

Ukázky ze souboru Útvary

5. Řešení úloh v trojúhelníku

Vstupními daty jsou souřadnice vrcholů - modré hodnoty v bílých buňkách. U rovnic přímek obsahujících jednotlivé strany trojúhelníka jsou zobrazeny jen koeficienty a, b, c, totéž u těžnic. Považuji to za dostačující a hlavně úsporný zápis řešení.

6. Řešení úloh v trojúhelníku

7. Obr.

Jistě si všimnete, že bílým písmem psaný výpočet je poněkud "roztažený". Za to se omlouvám. Soubor aplikací vznikl před pěti lety a byly to mé první pokusy tohoto typu v prostředí Excelu. Také jsem neřešil nezkrácené koeficienty výsledných rovnic útvarů. Domnívám se, že to není problém, který by výsledek znehodnotil.

Využití aplikací k opravám písemných prací - simulace žákových chyb

Opravy písemných prací v analytické geometrii byly vždy velmi náročné. Pokud se žák dopustil jediné chybičky v počáteční fázi svých výpočtů, bylo nutné celý jeho příklad přepočítat, aby se zjistilo, zda se jedná o jedinou chybu, či řetězec dalších chyb a výkon žáka mohl být spravedlivě klasifikován. Mají-li například dvě třetiny žáků chybný výsledek, vystačíme si s tím na dost dlouhou dobu.

Našel jsem řešení - simulace chyb. Jednoduše na patřičné místo v příslušné aplikaci vložíme žákův chybný výsledek a porovnáme výsledky. Pokud se jednalo o jedinou chybu, bude výsledek shodný s přepočteným výsledkem v aplikaci. Pokud se výsledky opět neshodují, lokalizujeme další chybu a tu opět vložíme do aplikace a znovu porovnáme výsledky, případně opakujeme postup s další zjištěnou chybou.

Simulace chyb má jeden "nepraktický háček". Jednotlivé listy aplikací jsou zamčené. To znamená, že uživatelům jsou přístupné jen buňky určené pro vkládání vstupních hodnot (zadání úlohy). Abychom mohli provádět simulaci chyb, je nutné aktuální list odemknout (v hlavním menu vybereme NÁSTROJE - ZÁMEK - odemknout list). Při simulaci chyb algoritmy v buňkách měníme a pro opravu další písemné práce je takto upravená aplikace nepoužitelná. Proto pokaždé po opravě jedné písemné práce aplikaci zavřeme, neuložíme!!! a otevřeme ji znovu v původní verzi. Možná se to zdá komplikované, ale ve výsledném efektu jde o velmi komfortní činnost.

Využití aplikací k samostudiu žáků

Je otázkou, zda aplikacežákům zveřejnit. Asi bychom jim tímto splnili sen, neboť bezpracně získají řešení kterékoli analytické úlohy. Má pak smysl žákům zadávat domácí úkoly? Na tyto otázky se dívám z opačného konce. Tak jako analytická geometrie v Excelu může usnadnit práci pedagogům, mohou být nepřebernou sbírkou řešených úloh pro samostudium žáků. Samozřejmě lze toho zneužívat, což je však v konečném důsledku kontraproduktivní, stejně jako opisování domácích úkolů od spolužáka (to kontrolní práce vždy bezpečně odhalí). Aplikace prospějí těm žákům, kteří je použijí ke kontrole vlastních výpočtů. V každé fázi řešení úlohy mohou porovnat mezivýsledky a ujistit se, že zvolili správnou strategii výpočtů. Současně mají k dispozici grafické řešení, a to významnou měrou prospívá k pochopení látky i k orientaci v dané úloze.

Všem, kteří se rozhodnou vyzkoušet a používat nabízené aplikace, chci předem poděkovat za případné připomínky i sdělení svých zkušenosti, pozitivních i negativních, na adrese: sva.pet@seznam.cz.