Geometrie, GeoGebra a potřeba přesnosti

Anotace

Úvod

Geometrie jako součást matematiky byla v období starověkého Řecka povýšena z praktické disciplíny na umění. Geometrové se již nezabývali pouze řešením praktických konstrukcí, ale snažili se své úvahy dotáhnout k teoretické dokonalosti. Nestačilo pouze zkonstruovat nějaký objekt, bylo nutné také dokázat, že konstrukce je správná a že objekt má i požadované vlastnosti. Současná výuka geometrie na základních a středních školách staví na odkazu Platona, Euklida, Pythagora či Thalese. Také školní matematika vyžaduje absolutní přesnost konstrukcí, i když realizovanou nedokonalými prostředky. Z tohoto rozporu občas vzniká u žáků nepochopení.

Jaký smysl má konstruovat střed úsečky pomocí kružnic, když chyba vzniklá špatně ořezanou tužkou a nepřesností kružítka je často větší než u středu určeného pomocí měření vzdáleností? Podobné otázky si žáci kladou i při všech dalších konstrukcích – osy úsečky, osy úhly, kružnice vepsané a opsané, ... Vždyť kolik žáků dokáže narýsovat známou „kytičku“ vzniklou opakováním kružnic (viz obrázek 1) tak, aby se poslední kružnice protnula s první v jediném bodu? (Na vině nejsou pouze manuální schopnosti žáků, ale také „kvalita“ pomůcek, které používají.)

Obrázek 1 – Kružnice Autor díla: Antonín Jančařík

Cílem tohoto článku je představit jednu aktivitu spočívající ve využití výpočetní techniky, která může pomoci žákům porozumět, proč je vhodné nebo potřebné konstruovat úlohy právě tím způsobem, který po nich požaduje učitel, a proč není vhodné zjednodušovat pracovní postup pomocí měření.

Prostředí dynamické geometrie

Jednou z možností, jak využít výpočetní techniku ve vyučování, je použít prostředí dynamické geometrie. V současné době jsou nejznámějšími programy dynamické geometrie Cabri, GeoGebra, GeoNext a Cinderella. Existuje ovšem i mnoho dalších. Všechny tyto programy umožňují jak zaznamenávat dynamiku konstrukce, tak i následně měnit výsledek konstrukce pomocí změny zadání. Právě tato funkce nám umožňuje žáky upozornit na potřebu přesné konstrukce a ukázat jim potřebný rozdíl mezi měřením a rýsováním. Celý postup budu demonstrovat na základě autentických zkušeností z využití programu GeoGebra na druhém stupni ZŠ. (Program GeoGebra je dostupný na adrese http://www.GeoGebra.org/cms/cs/download.)

Kružnice opsaná trojúhelníku

Obrázek 2 – Kružnice opsaná Autor díla: Antonín Jančařík

Mezi základní konstrukce, které se žáci na druhém stupni ZŠ učí, patří konstrukce kružnice vepsané a opsané zadanému trojúhelníku. Obě konstrukce lze bez větších obtíží realizovat i v programu GeoGebra. Díky možnostem programu lze bez problémů rozlišit mezi hlavními myšlenkami konstrukce a technickými detaily jednotlivých kroků. Pro kružnici opsanou je potřeba sestrojit průsečík os stran. Díky tomu, že program GeoGebra přímo nabízí automatickou konstrukci osy strany, můžeme ukázat konstrukci kružnice opsané (viz obrázek 2) velmi snadno. Skutečnost, zda žáci umí zkonstruovat osu úsečky pouze s využitím kružítka a pravítka (resp. kružnic a přímek), lze následně prověřit v samostatné konstrukci v konstrukci (obrázek 3). Výhodou počítačové konstrukce je to, že můžeme snadno demonstrovat, že osy všech tří stran trojúhelníka se protínají vždy v jednom bodu, a to bez ohledu na to, jak je tento zvolený.

Obrázek 3 – Osa úsečky Autor díla: Antonín Jančařík

Kružnice vepsaná trojúhelníku

Hlavní bod ukázky však přichází při konstrukci kružnice vepsané. Opět můžeme nejprve vyzkoušet, zda žáci umí zkonstruovat osu úhlu a následně ji použít pro konstrukci středu kružnice vepsané. Dle mé osobní zkušenosti pak žáci navrhují zvolit poloměr kružnice tak, aby se dotýkala všech tří stran. To sice můžeme v Geogebře odhadnout, ale taková konstrukce „nevydrží“ změnu zadání. Po posunu jednoho z vrcholů se kružnice přestává dotýkat stran trojúhelníka. Tato chyba vede k diskuzi, kde vlastně se kružnice musí trojúhelníku dotýkat. Žáci také snadno vidí, že správná konstrukce je ta, která vydrží změnu zadání. Díky dynamickému prostředí si tak mohou každou konstrukci ověřit tím, že posunou některým bodem zadání a hned vidí, zda se náhodou řešení nezměnilo, resp. zda nezkonstruovali něco jiného.

Právě díky tomuto posunutí žáci ihned vidí, zda konstrukce byla správná. Na obrázcích 4 a 5 je vidět změna konstrukce při posunu bodu A.

Obrázek 4 – Kružnice procházející bodem na straně AB  Autor díla: Antonín Jančařík

Obrázek 5 – Změna polohy bodu A Autor díla: Antonín Jančařík

Tato dynamická změna vede žáky k diskuzi, kde přesně musí ležet bod D. V této diskuzi žáci sami došli k závěru, že bod D musí být v průsečíku kolmice k straně AB procházející bodem S a strany AB. Protože v okolí tohoto bodu se nachází více význačných bodů, vznikl problém bod D přesně umístit. Po opětovném posunutí bodu A tak došlo k situaci, že se opět nejednalo o kružnici vepsanou. Na tuto skutečnost žáci spontánně reagovali tím, že konstrukci označovali za nepřesnou. Tuto skutečnost považuji za potvrzení toho, že sami již pochopili nutnost přesné konstrukce (viz obrázek 6).

Obrázek 6 – Konstrukce kružnice vepsané Autor díla: Antonín Jančařík

Závěr

Prostředí dynamické geometrie je vhodným nástrojem pro podporu výuky geometrie na základních a středních školách. Cílem výše uvedeného příkladu bylo v prostředí dynamické geometrie přiblížit žákům potřebu konstrukcí bez nepřesného měření úhlů a vzdáleností. Dynamická geometrie však nabízí mnohem více. Umožňuje demonstrovat konstrukce pomocí interaktivní tabule, automaticky provádí zápis konstrukce a umožňuje se k jednotlivým krokům vracet a především dovoluje při konstrukci používat předpřipravené pomocné konstrukce (osa úsečky, osa úhlu, kolmice procházející bodem, ...), díky nimž se učitel i žáci mohou soustředit na to, co je v konstrukci podstatné, a výsledek je mnohem přehlednější než při podrobné konstrukci a zobrazení všech pomocných čar. Nepochybnou výhodou programu GeoGebra je i to, že je nabízen bezplatně a mohou s ním pracovat žáci i doma. Na internetu je také možné nalézt velké množství již předpřipravených konstrukcí  a k programu existují i akreditované kurzy dalšího vzdělávání pedagogických pracovníků a podpora jak pedagogických fakult, tak i Národních GeoGebra institutů.