Příklady z finanční matematiky v základních a středních školách

Řešení úloh v základních školách

V základních školách jsou především řešeny příklady týkající se procentového počtu [2, 5]. Kromě jednoduchých úloh na výpočet původní ceny zboží (procentového základu) je možno použít i komplikovanější zadání.

Příklad 1.

Cena jednoho kilogramu rýže je 25 Kč. Tato cena byla snížena o 5 %. Poté byla cena rýže zvýšena o 8 %. O kolik procent se po těchto úpravách změnila původní cena rýže? Je koncová cena vyšší nebo nižší než cena původní?

Řešení:

zlevnění
100 %  .....  25 Kč
1 %  .....  0,25 Kč
5 %  ......  1,25 Kč

nová cena:  25 Kč - 1,25 Kč = 23,75 Kč

zdražení
100 % ..... 23,75 Kč
1 % ..... 0,237 5 Kč
8 % ..... 1,90 Kč

výsledná cena: 23,75 Kč + 1,90 Kč = 25,65 Kč

původní cena     100 % ... 25 Kč
výsledná cena       x % ... 25,65 Kč
x = (25,65 · 100) : 25 = 102,6 (%)

Původní cena rýže se změnila o 2,6 %. Koncová cena rýže je vyšší o 2,6 % než cena původní.

Dalším typem úloh je výpočet úroku připsaného za jeden rok, s případným zdaněním úroku. Setkáme se i úlohami, kdy se vklad nechá úročit i dva roky [3, 5].

Příklad 2. (ZŠ)

Do banky uložíme na počátku roku částku 8 000 Kč. Jaký úrok nám vyplatí banka na konci druhého úrokovacího období při 2% úrokové míře, která zůstává po celou dobu neměnná?

Během celé doby žádné peníze nevybíráme ani další nevkládáme. Úrok je zdaněn 15 % a banka úročí jednou ročně. Úrok je  za první rok se po zdanění přičítá ke vložené částce a spolu s ní se dále úročí (jedná se tedy o složené úročení) .

Řešení:                      

1. rok
100 % ..... 8 000 Kč
1 % ..... 80 Kč

Úrok:               2 % ........ 160 Kč
Daň:               15 % ze 160 Kč ... 24 Kč

Zvýšení vkladu:  (8 000 + 160 - 24) Kč = 8 136 Kč

2. rok
100 % ..... 8 136 Kč
1 % ..... 81,36 Kč

Úrok:               2 % ........ 162,72 Kč
Daň:               15 % ze 162,72 Kč ... 24,408 Kč
Zvýšení vkladu:   (8 136 + 162,72  – 24,408) Kč  = 8 274,312 Kč

Rozdíl stavu na konci druhého roku a vkladu:  (8 274,312 - 8 000) Kč = 274, 312 Kč

Banka nám vyplatí za 2 roky úrok v částce (po zaokrouhlení na celé koruny) 274 Kč.

Řešení úloh je většinou popisné, názorné, odpovídá "matematické zručnosti" žáků. Avšak již i na této úrovni se setkáme hledáním „obecného řešení“ reprezentovaného vzorci, minimálně jsou příslušné vzorce pro hledání úroku uvedeny v učebnici.

Řešení úloh ve středních školách

Ve středních školách jsou již žáci schopni abstraktnějších úvah, takže Příklad 1. může být přeformulován na Příklad 1a.

Příklad 1a.

Cena rýže byla snížena o 5 %. Poté byla cena rýže zvýšena o 8 %. O kolik procent se po těchto úpravách změnila původní cena rýže? Je koncová cena vyšší nebo nižší než cena původní?

Řešení:

původní cena  ......... c₀
cena po zlevnění ..... c₁ = c₀ - 0,05 c₀ = 0,95 c₀
cena po zdražení ..... c₂ = c₁ + 0,08 c₁ = 1,08 c₁ = 1,08 · 0,95 c₀ = 1,026 c₀

Původní cena rýže se změnila o 2,6 %. Koncová cena rýže je vyšší o 2,6 % než cena původní.

Žáci se mohou přesvědčit, že procentové zvýšení či snížení ceny nezávisí na počáteční ceně. Mohou si tak sami odvodit obecný vzorec

∆c  = c₂ - c₀ = 1, 026 c₀ - c₀ = 0, 026 c_{0 ,} což odpovídá 2,6 % výchozí ceny.

Praxe z působení v SŠ a z opravy podobných úloh z přijímacích testů ukazuje, že počítání s neznámou vstupní hodnotou činí velké většině žáků potíže, pokud se nejedná jen o dosazení do vzorce.

Úlohy spojené s finanční matematikou se objevují jako úlohy demonstrující praktické využití geometrické posloupnosti. Jedná se opět o úlohy na složené úročení, případně rozšířené o započítání daně z úroku.  Žáci pak řeší Příklad 2. rychleji, přičemž se opět snaží najít obecný algoritmus výpočtu.

Příklad 2 a. (SŠ) Složené úročení

Do banky uložíme na počátku roku částku 8 000 Kč. Jaký úrok nám vyplatí banka na konci druhého úrokovacího období při 2% úrokové míře, která zůstává po celou dobu neměnná?

Během celé doby žádné peníze nevybíráme ani další nevkládáme. Úrok je zdaněn 15 % a banka úročí jednou ročně. Úrok je za první rok se po zdanění přičítá ke vložené částce a spolu s ní se dále úročí (jedná se tedy o složené úročení).

Řešení:

1. rok

vklad  K₀ = 8 000 Kč

zůstatek na konci 1. roku po připsání zdaněného úroku

K₁ = K₀ + 0,02 K₀ - 0,15 (0,02 K₀) = 1,017 K₀

2. rok

vklad  K₁ = 1,017 K₀

zůstatek na konci 2. roku po připsání zdaněného úroku

K₂ = K₁+ 0,02 K₁ - 0,15 (0,02 K₁) = 1,017 K₁= 1,017² K₀

K₂ = 1,017² · 8000 Kč = 8 274,312 Kč

Úrok vyplacený bankou za dva roky je (po zaokrouhlení na celé koruny) 274 Kč.

Žáci si tak sami odvodí vzorce pro kapitál K_n a úrok U_n po n letech složeného úročení, kdy se předpokládá, že se po celou dobu žádné částky z vloženého kapitálu ani úroku nevybírají [1]:

(1)       K_n= K₀ (1 + k i )ⁿ

(2)       U_n = K₀ [(1 + k i )ⁿ -1]

kde k je zdaňovací koeficient vyjádřený desetinným číslem,  i je úroková míra vyjádřená desetinným číslem, K₀ je počáteční kapitál, n je počet let, po který se kapitál úročí.  Vzorce (1) a (2) platí jen v případě, kdy úrokovací období je jeden rok.

Řešení složitějších úloh pro seminář

Úlohy z finanční matematiky zadávané v rámci výběrových seminářů se z hlediska matematiky příliš neliší od úloh řešených v klasických hodinách ve středních školách. Přirozeně se zde klade větší důraz na používání obecných vztahů. Příklady více kopírují praxi (např. úroková míra není během roku konstantní, může docházet v průběhu roku k výběrům, i ke vkladům), čímž se stávají složitějšími pro konkrétní numerické výpočty. Matematická gramotnost již žákům umožňuje vyjádřit libovolnou neznámou ze základních vzorců (1) a (2), takže se rozšiřuje i oblast řešených úloh. Důslednými úpravami obecných vztahů jsou žáci schopni rozlišit nutné a nadbytečné vstupní údaje pro konkrétní zadání.

Příklad 3.

Jaké čisté míry výnosnosti kapitálu dosáhne klient, jestliže uložil na počátku roku částku 100 000 Kč na šestiměsíční termínovaný vklad při 2% roční úrokové míře a v polovině roku kapitál včetně vyplacených úroků znovu okamžitě uložil na šestiměsíční termínovaný vklad při 2,5% roční úrokové míře? Úroky z vkladů podléhají dani z příjmů, vybírané srážkou ve výši 15 % [4].

Čistá míra výnosnosti je procentní zhodnocení kapitálu při započítání zdanění za dané období neboli o kolik procent se nám kapitál skutečně zhodnotí za dané období.

Řešení:

Vypočet navržený autorkou publikace [4] (poupraveno, zkráceno):

Výše zhodnoceného kapitálu na konci prvního pololetí

K₀ = 100 000, i₁ = 0,02, n₁ = 1/2, k = 0,15

K_1/2 = K₀ . [1 + i₁· (1 - k) · n₁] = 100 000 (Kč) · [1 + 0,02 · (1 - 0,15) · 0,5] = 100 850 (Kč)

Výše celkového zhodnoceného kapitálu na konci druhého pololetí

i₂ = 0,025, n₂ = n₁ =1/2, n = 1

K₁ = K_1/2 . [1 + i₂ · (1 - k) · n₂] = 100 850 (Kč) · [1 + 0,025 · (1 - 0,15) · 0,5] =

= 101 921,531 3 (Kč)

nebo

K₁ = K₀ . [1 + (1 - k) · i₁ · n₁] · [1 + (1 - k ) · i₂ · n₂] =

=100 000 (Kč) · (1 + 0,85 · 0,02 · 0,5) · (1 + 0,85 · 0,025 · 0,5) = 101 921,531 3 (Kč)

Čistou míru výnosu vypočítáme:

i = [(K₁ – K₀) : (K₀ · n)]= [(101 921,53 – 100 000) : (100 000 · 1)] = 0,019 215 3

Čistá míra výnosnosti za rok činila po zaokrouhlení na dvě desetinná místa 1,92 %.

Pokud bychom důsledně pracovali s obecnými vztahy, dostali bychom

i = [(K₁ – K₀) : (K₀ · n)] =

= {K₀ · [1 + (1 – k) · i₁ · n₁] · [1 + (1 – k) · i₂ · n₂] - K₀} : (K₀ · n) =

= {[1 + (1 – k) · i₁ · n₁] · [1 + (1 – k) · i₂ · n₂] - 1} : n = 0,019 215 3

Z tohoto vztahu lze soudit, že pokud budeme počítat čistou míru výnosnosti, tak zjistíme, že tato veličina nezávisí na výši počátečního vkladu.

Závěr

Konkrétní způsob řešení identických úloh z finanční matematiky závisí na stupni matematické gramotnosti řešitele. Ze zkušenosti můžeme uvést fakt, že žáci z obchodních akademií obvykle nemají až takovou zručnost v úpravě algebraických výrazů. Zanedbatelnou také není příprava žáků ve středních školách v „inteligentním“ používání kalkulaček. Neustále se setkáváme s jejich potížemi kvalitně využívat kalkulačky při běžných výpočtech. Je s politováním, že nemají schopnost řešení složitějších výpočtů pomocí kalkulaček s jednoduchými funkcemi.