Geometrické rozcvičky

V článku Matematické rozcvičky jsem rozebral, jak matematické rozcvičky provádíme - jejich organizaci a přínos pro výuku matematiky. Na tento obecný článek navazují i Geometrické rozcvičky, ve kterých uvádíme příklady a jejich stručný didaktický komentář.

K zadání geometrických rozcviček je často třeba připojit obrázek. Obrázky je možno kreslit na otočenou tabuli (jak jsem popsal v článku Matematické rozcvičky), někdy je tím však narušena plynulost a kompaktnost celé rozcvičky a žáci ztrácejí koncentraci - kreslení obrázků trvá déle. Je-li k dispozici počítač s dataprojektorem, je velmi účelné obrázky nakreslit nějakým grafickým editorem (jako velmi vhodný se ukazuje program Cabri geometrie, možné je však použít i např. Corel nebo editor obrázků integrovaný v textovém editoru Word), vložit do Power-pointové prezentace a zadání promítat.

Obrázky v tomto článku jsou nakresleny v programu Cabri geometrie 2+ a vloženy do textu.

Rozcvička 1

Můžeme ji zařadit při probírání a procvičování látky o úhlech. Jde o procvičování vlastností vrcholových úhlů a žáci ji vždy řeší bez problémů.

1. Vypočtěte velikost úhlu γ, jsou-li dány velikosti úhlů α a β:

a) α = 135°, β = 115°	b) α = 200°, β = 210°		c) α = 52°, β = 90°
d) α = 305°, β = 112°		e) α = 228°, β = 231°

Výsledky: a) 250°; b) 130°; c) 218°; d) 237°; e) 313°.

Rozcvička 2

Může být, podobně jako rozcvička 1, zařazena při probírání a procvičování látky o úhlech. Na rozdíl od ní je však, aspoň při zadání prvních úloh, pro žáky dosti obtížná. Její náročnost spočívá v tom, že ačkoli většina žáků ovládá konstrukci úhlu velikosti 60° a konstrukci osy úhlu, je "obrácený pohled" na tuto problematiku pro žáky mnohem náročnější.

2. Určete velikost úhlu α, jestliže jsou kružnice k se středem A, l se středem B a m se středem C shodné a jestliže dále platí:

1. Body A, B a C leží v jedné přímce.

2. Přímky p a q jsou k sobě kolmé.

3. Přímka o je osou úhlu BAX.

4. Přímky AB a AC jsou k sobě kolmé.

5. Přímky p a q jsou k sobě kolmé, přímka p je kolmá k přímce AX, přímky r a s obsahují osy úhlů ZAY a BAX.

a)	b)
c)	d)
e)

Výsledky: a) 60°; b) 150°; c) 150°; d) 150°; e) 165°.

Rozcvička 3

Můžeme ji zařadit při probírání vlastností trojúhelníku - při řešení lze využít součet velikostí jeho vnitřních úhlů - nebo při procvičování vlastností střídavých úhlů. Můžeme totiž vrcholem úhlu γ (v úloze c vrcholem úhlu β) vést rovnoběžku s přímkou a a najít úhly střídavé s úhly α a β (v úloze c s úhly α a γ). Přínosem této rozcvičky je právě tato "nepřímočarost" řešení a demonstrace užitečnosti pojmu střídavé úhly. První úlohu žáci většinou nevyřeší správně, po rozboru ale nemají s dalšími potíže.

3. Určete velikost úhlu γ na obrázcích, jestliže jsou dány velikosti úhlů α a β:

a) α = 135°, β = 115°	b) α = 60°, β = 47°
c) α = 52°, β = 75°	d) α = 305°, β = 317°
e) α = 228°, β = 231°

Výsledky: a) 110°; b) 253°; c) 307°; d) 98°; e) 279°.

Rozcvička 4

Poslouží při procvičování výpočtů délky kružnice. Jde o obtížné úlohy, kdy je třeba vlastnosti čtverce a rovnostranného trojúhelníku použít jako aparát potřebný pro jejich vyřešení. Tato rozcvička je časově náročnější, zejména kvůli potřebě podrobných rozborů řešení úloh.

4. Vypočtěte délku kružnice l, jestliže platí:

1. Délka kružnice k je 5π cm a ABCD je čtverec.

2. Délka kružnice k je 8π cm a ABC je rovnostranný trojúhelník.

3. Délka kružnice k je 6π cm, BC je její průměr a ABC je rovnostranný trojúhelník.

4. Délka kružnice k je π . 2√3 cm, bod B je střed kružnice l, ABC je rovnostranný trojúhelník.

5. Délka kružnice k je π . √10 cm a ABCD i BEFC jsou čtverce.

a)	b)		c)
d)		e)

Výsledky: a) 5√2 . π cm; b) ³²/₃π cm; c) 2√3 . π cm; d) 6π cm; e) 5π cm.

Rozcvička 5

Je lehčí, spíše pro pobavení, i když pro vyřešení daných úloh je třeba použít znalosti pro výpočty obsahů. Úlohy jsou sestaveny tak, že po vhodném "přeskládání" útvarů, jejichž obsahy máme počítat, získáme útvary sestavené z čtverců. Jisté obtíže také může činit počítání s obecnou délkou a.

5. Vypočtěte obsah útvaru na obrázku v závislosti na hodnotě a:

a)	b)		c)
d)		e)

Výsledky: a) 4a²; b) 7a²; c) 3a²; d) 12a²; e) 4a².

Rozcvička 6

Je zaměřená na geometrická tělesa. Navíc při jejím zadávání není třeba kreslit obrázky. Úlohy jsou zaměřeny na práci se vzorcem pro výpočet povrchu válce. Početně jde o pracnější úlohy.

6. Vypočtěte povrch válce, jestliže platí:

1. r = 4 cm, v = 3 cm.

2. Obvod podstavy o = 12π cm, v = 4 cm.

3. Obsah podstavy S_P = 16,81π cm², v = 1,1 cm.

4. Obsah pláště S_Pl = 10π cm² , průměr podstavy d = 5 cm.

5. S_Pl = 1,44π cm², S_P = 0,36π cm².

Výsledky: a) 56π cm²; b) 120π cm²; c) 42,64π cm²; d) 22,5π cm²; e) 2,16π cm².

Vážení kolegové, vážení přátelé. Geometrie je partie matematiky, ve které snadno sestavíme úlohy, které nejsou typové, rozvíjejí myšlení žáků a k jejichž vyřešení je třeba sáhnout pro nejrůznější znalosti.

Příprava na dobrou hodinu geometrie je náročná, což platí i o přípravě rozcviček. Jak je uvedeno v úvodu tohoto článku, doporučuji používat pro zadávání rozcviček dataprojektor - snad již na řadě škol jde o dostupnou didaktickou pomůcku. Čas, který věnujeme přípravě rozcviček - kreslení obrázků a případně tvorbě prezentace z těchto obrázků sestavené - se velmi vyplatí: vyučovací hodiny jsou nabité činností, mají spád, žáci jsou soustředění a zaujatí problematikou. Při jejich zařazování brzy poznáte, jak může být matematika oblíbená.

Zvládnout některý z grafických editorů, který nám poslouží pro nakreslení obrázků, je otázka krátkého času - každý brzy získá potřebnou zručnost. Zejména doporučuji seznámit se s programem Cabri geometrie, který, přes své některé nedostatky, je velmi jednoduchý na ovládání a skýtá obrovské možnosti nejen jako geometrický náčrtník.

Geometrické rozcvičky je možné s úspěchem zadávat i bez použití didaktické techniky, stačí si obrázky připravit fixem na velké listy papíru.

Ukázky rozcviček v tomto článku ani v nejmenším neměly pokrývat všechny geometrické partie. Spíše měly za cíl ukázat rozmanitost jejich použití - vždyť první tři rozcvičky se věnují pojmu úhel a rozebírají jej z více stran, obsahům a povrchům je zde věnována pouze jedna rozcvička, např. na geometrická zobrazení zde nebylo pamatováno vůbec.

Budete-li chtít načerpat další inspiraci, dovolím si vás odkázat na krátký seznam literatury, který je uveden na závěr úvodního článku této série - článku Matematické rozcvičky. Jistě však lze čerpat inspiraci z kterékoli učebnice. Ovšem nejlepší úlohy jsou úlohy přímo "šité na míru" potřebám a situacím, ve kterých se vyučování právě nachází.