Druháci a matematika VI. Úsečka

Základními pojmy geometrie jsou pojmy bod a přímka. Úsečka pak je vymezována jako část přímky. Protože jsou žákům bližší a pochopitelnější útvary omezené než neomezené, jsou ve školské geometrii základními pojmy bod a úsečka. Tak žáci postupně názorně a zkušeností poznávají vymezující vlastnosti bodů a úsečky:

Každými dvěma body A, B je určena jediná úsečka AB. Značíme ji AB. Platí AB=BA a zároveň body A, B jsou body úsečky AB – náleží úsečce AB (A ∊ AB, B ∊ AB). Body A, B se nazývají krajní body úsečky AB. Úsečku jako množinu bodů žáci postupně poznávají žáci tím, že vyznačují další a další body dané úsečky – body, které dané úsečce náleží/nenáleží, aniž by se mluvilo o tom, že úsečka je množina bodů.

Je-li bod C bodem úsečky AB – náleží-li bod C úsečce AB, pak je úsečka AB sjednocením úseček AC a BC. Bod C je společným bodem úseček AC a BC – je průnikem úseček AC a BC. Právě když existuje alespoň jedna taková úsečka, že jí body A, B, C náleží, říkáme, že body A, B, C leží v úsečce.

Právě když bod C náleží úsečce AB a je různý od jejích krajních bodů, říkáme, že bod C leží mezi body A, B. Vztah „mezi“ je potřeba žákům upřesnit, neboť obecně chápaný vztah „mezi“ znamená, že něco je prostě ve skupině, např. Jirka je mezi dětmi na hřišti, mezi modrými kruhovými destičkami je jedna červená.

Jestliže např. bod C leží mezi body A, B, je zřejmé, že body A, B, C leží v úsečce.

Pro každé dva body A, B – úsečku AB, existuje alespoň jeden takový bod C, že bod B leží mezi body A, C. O tento vztah se opírá objasnění polopřímky a přímky.

Další vlastností bodů a úseček je vlastnost, že existuje alespoň jedna taková trojice bodů A, B, C, že body A, B, C neleží v úsečce.

1. Úsečka, krajní body úsečky

Objasnění úsečky je opět dobré připravit při dětských hrách, např. kdy se dva žáci přetahují. Ideální pomůckou tu pak je opět promítání na tabuli (prezentace, snímek 2). Na bílou tabuli se promítnou obrázky dvou přetahujících se dětí. Podle pravítka se obtáhne napjaté švihadlo a jako body se vyznačí místa, kde Adam a Borek drží švihadlo.

Narýsovali jsme úsečku AB. Toto jsou její krajní body. Označili jsme je písmeny A, B. Tato úsečka se jmenuje úsečka AB nebo také BA. (Tak jako můžeme říci, že se dívka jmenuje Alena Barešová nebo Barešová Alena.) Body A, B jsou jejími krajními body. Úsečka je přímá a má dva krajní body.      

Na tabuli jsou narýsovány úsečky v nejrůznějších polohách i jako strany různých n-úhelníků (obr. 1).

Obr. 1.

Podle pokynů učitele žáci ukazují narýsované úsečky. Vyučující vyžaduje, aby při tom žáci táhli ukazovátkem po přímé čáře od jednoho krajního bodu k druhému. Žáci tak ukazují i strany trojúhelníků, obdélníků apod. Pak mohou dostat i pokyn, aby ukázali pouze krajní body dané úsečky.

Na tabuli je opět narýsováno několik úseček. Tyto úsečky nám říkají, kdo se s kým bude přetahovat. Úsečka RT nám říká, že se Ruda bude přetahovat s Tomášem. Žáci se pak přetahují tak, jak určují na tabuli vyznačené úsečky.

Úsečku může představovat i okraj sešitu, učebnice, hrana desky stolu apod. Žáci ukazují a jmenují věci, které mohou představovat úsečky, ukazují jejich krajní body - roh stolu, roh sešitu apod. Okraj sešitu je přímý – rohy sešitu jsou krajními body úsečky – okraje sešitu.

Cvičení

1. Tabule - prezentace, snímek 2, pracovní listy, cv. 1: Po tom, co se žáci venku přetahovali (ať již jednotlivci nebo družstva), se žákům promítne obrázek přetahujících se dětí. Žáci obtáhnou napjatou část lana a vyznačí místa, kde děti lano drží. Po vypnutí obrázku zůstane na tabuli narýsovaná úsečka. Narýsovali jsme úsečku. Místa, kde chlapci lano drželi, jsou krajními body úsečky. Přetahoval se Adam s Borkem, proto krajní body úsečky označíme písmeny A, B. Narýsovali jsme úsečku AB. Úsečka je přímá a má dva krajní body.          
2. Tabule - prezentace, snímek 3, pracovní listy, cv. 2: Na tabuli jsou narýsovány úsečky a zapsána jména dětí odpovídající označení krajních bodů narýsovaných úseček. Narýsované úsečky nám říkají, kdo se s kým přetahoval. Žáci ukazují úsečky a říkají, kdo se s kým přetahoval, popř. situaci předvádějí.
3. Tabule - prezentace, snímek 4: Žáci ukazují modely úseček – úsečky na předmětech ve třídě. Hrana desky lavice, tabule … je přímá; rohy desky lavice, tabule jsou krajní body těchto úseček.
4. Tabule - prezentace, snímek 5, cv. 1, 2, 3, pracovní listy, cv. 3, 4, 5: Na tabuli jsou narýsovány úsečky a na stole vymodelovány úsečky pomocí špejlí a kousků modelíny, přičemž jsou zde i úsečky, které jsou stranami n-úhelníků, hranami narýsovaných těles. Žáci ukazují úsečky podle pokynů učitele. Při tom je důležité, aby táhli ukazovátkem po přímé čáře od jednoho krajního bodu k druhému. Žáci postupně ukazované úsečky i zapisují (AB, OP...). Toto cvičení je možno doplnit i otázkami jako: „Mají úsečky PO a ON nějaký společný bod? Bod O je krajním bodem úsečky PO i úsečky ON.“

2. Vyznačování úseček na přímé čáře

- je dobré opět motivovat dětskou činností, např. u tabule mohou být dvě dvojice žáků, které se přetahují. Úkolem žáků je geometricky zaznamenat, kdo se s kým přetahoval. Pavel se přetahoval se Zdeňkem: narýsujeme úsečku PZ. Narýsujeme přímou čáru a vyznačíme na ní body P, Z. Narýsujte úsečku LV, která nám říká, že se Lída přetahovala s Věrou apod.

Úsečky je také možno modelovat pomocí špejlí a kousků modelíny. To je vhodné žákům ukázat v hodinách praktických činností při pracích montážních a demontážních, např. při modelování lešení nebo rozhledny apod.

Cvičení

1. Tabule - prezentace, snímek 6, cv. 1, 2, 3, pracovní listy, cv. 6, 7: Žáci vyznačují úsečky na narýsovaných přímých čarách. Pak čáru sami narýsují do sešitu a úsečku vyznačí.
2. Diktát: Narýsujte úsečku AB. Narýsujte přímou čáru. Vyznačte na ni krajní bod A , pak krajní bod B apod.
3. Na tabuli jsou narýsovány trojúhelníky a další různé mnohoúhelníky, nebo jsou na magnetické tabuli připevněny lístky tvarů různých mnohoúhelníků. I na lístcích tvarů různých mnohoúhelníků můžeme vidět úsečky – hrana lístku, destičky představuje úsečku. Říkáme, že tyto úsečky jsou strany trojúhelníku, čtverce a jejich krajní body jsou vrcholy trojúhelníku, čtverce apod.
4. V návaznosti na cvičení 7 pak žáci ukazují i úsečky na modelech těles. Říkáme, že tyto úsečky jsou hrany těles a jejich krajní body jsou vrcholy těles.

3. Rýsování úseček

- daných dvěma body je možno připravit v hodině tělesné výchovy hrou, kdy děti sedí na zemi a koulejí si míč. V hodině geometrie pak žáci zaznamenávají tuto činnost geometricky. Zaznamenáme, že Marta kulila míč Aleně. Vyznačíme body M, A, místa, kde seděla Marta a kde Alena, a pak narýsujeme dráhu míče – narýsujeme úsečku AM (obr. 2).

Obr. 2

Úsečka AM je určena svými krajními body. Narýsujeme další úsečky a zaznamenáme, že Zdeněk kulil míč Lídě. Žáci opět vyznačí body Z, L, a pak narýsují úsečku těmito body určenou. Při nácviku rýsování úseček daných jejich krajními body je důležité s žáky nacvičit přikládání pravítka tak, aby rýsovaná čára skutečně procházela vyznačenými body. Nácvik rýsování úseček daných jejich krajními body je možno provádět i ve složitějších situacích, např. že děti seděly v kroužku a míč si posílaly (obr. 3).

Obr. 3

Vyučující pak s žáky porovná oba způsoby rýsování úseček, které se naučili. Jednak rýsovali úsečky tak, že narýsovali přímou čáru a na ní vyznačili krajní body úsečky – to je snazší, ale někdy je třeba rýsovat úsečku i tak, že nejdříve vyznačíme její krajní body, a teprve potom narýsujeme přímou čáru, která těmito body prochází.

Cvičení

1. Tabule - prezentace, snímek 7, cv. 1, 2, 3, pracovní listy, cv . 8, 9, 10, 11: Nácvik rýsování úseček, je-li dán jeden její krajní bod. Žáci vyznačí bod, a pak rýsují úsečku tak, aby tento bod byl jejím krajním bodem. Nácvik rýsování úseček daných dvěma krajními body.  
2. Náročnějším cvičením je situace, kdy děti seděly v řadách proti sobě a koulely si míč tak, že Zdena kulila míč Evě, Eva Milanovi, Milan Radkovi atd. (nebo je možno děti rozmístit v kruhu). V tom případě je vhodné, aby žáci měli body předem vyznačeny na tabuli i v sešitech. Toto cvičení je vhodné doplnit požadavkem na to, aby žáci ukazovali a jmenovali dvojice úseček, které mají společný krajní bod.

4. Vyznačování bodů, které dané úsečce náleží - nenáleží

- a poznávání vztahu „mezi“ je možno rovněž motivovat činností koulení míčů, např. Hana si koulela míč s Jitkou. Nejdříve koulela míč Jitka Haně, pak Hana Jitce, ale míč se zastavil na cestě, nedokulil se až k Jitce, protože Hana neodrazila míč dost silně (tabule, snímek 8.). Zaznamenáme geometricky, co se stalo. Vyznačíme body H, J a narýsujeme úsečku HJ – dráhu, kudy se míč koulel. Pak vyznačíme místo, kde se míč zastavil na cestě od Hany k Jitce. Vyznačili jsme bod úsečky HJ a označíme ho písmenem M – míč. Bod M je bodem úsečky HJ – náleží úsečce HJ, také říkáme, že bod M leží mezi body H, J.

Žáci pak vyznačují další a další body narýsovaných úseček, nebo úseček, které sami narýsovali. Dostávají za úkol vyznačit i body, které dané úsečce nenáleží. Důležitým úkolem je vyznačení bodu např. E, je-li dána úsečka AB tak, aby bod B ležel mezi body A, E. Tuto činnost vyučující popisuje: Prodloužíme přímou čáru, která prochází body A, B, a pak na ni vyznačíme bod E (obr. 4).

Pozor! nNříkáme „prodloužíme úsečku“, což se někdy stává. Úsečka je dána a nelze ji prodloužit – není gumová.

Obr. 4

Cvičení

• Tabule - prezentace, snímek 8, pracovní listy, cv. 12, 13: Hana si koulela míč s Jitkou. Když Hana kulila míč Jitce, míč se k Jitce nedokulil, zastavil se na cestě mezi Hanou a Jitkou, protože Hana nestrčila do míče dost silně. Žáci narýsují, co se stalo. Narýsují úsečku HJ a vyznačí bod M mezi body H, J. Žáci pak mohou ještě vyznačovat další a další body – místa , kde se míč mohl zastavit.
• Tabule - prezentace, snímek 9, cv. 1, 2, pracovní listy, cv. 14: Na tabuli a v sešitech jsou narýsovány úsečky. Žáci vyznačují body těchto úseček – body, které leží mezi krajními body těchto úseček. Jestliže vyznačíme mezi krajními body úsečky další bod úsečky, např. C, říkáme, že tři body A, C, B leží v úsečce. Kolik úseček jsme takto vyznačili? (tři – AC, AB, CB) Dříve než budou žáci pracovat samostatně, je vhodné jim zadávat úkoly: "Vyznačte tři body A, B, C. Narýsujte všechny úsečky určené těmito body. Kolik úseček jste takto narýsovali?" (3) "Vyznačte čtyři body P, R, S, T. Narýsujte všechny úsečky těmito body určené. Kolik úseček je dáno čtyřmi body?" (6, PR, PS, PT, RS, RT, ST)
• Vyznačíme tři body A, B, C, které neleží v úsečce. Narýsujeme všechny úsečky těmito body určené. (AB, AC, BC) Narýsovali jsme trojúhelník ABC. Úsečky AB, AC, BC jsou strany trojúhelníku ABC. Body A, B, C jsou vrcholy trojúhelníku ABC .
• Tabule - prezentace, snímek 10, cv. 1, 2, 3, pracovní listy, cv. 15, 16, 17: Při řešení úkolů, v nichž mají žáci určovat body, které neleží mezi danými body, je potřeba připomenout, že např. body A, B neleží mezi body A, B
• Tabule - prezentace, snímek 11, cv. 1, 2, pracovní listy, cv. 18, 19: Procvičování vztahu "mezi" ve složitějších situacích. Žáci zjišťují, které tři z vyznačených bodů leží v úsečce. Jak to zjistíme? (Budeme zkoušet pravítkem, jestli se nám podaří najít takové dva body, mezi kterými leží další bod.)          
• *Tabule - prezentace, snímek 12, cv. 1, pracovní listy, cv. 20: N.a tabuli, v pracovních listech žáků jsou vyznačeny body a úkolem žáků je narýsovat trojúhelník ABC, čtyřúhelník DEFG, pětiúhelník HKLMN.
• *Tabule - prezentace, snímek 12, cv. 2, pracovní listy, cv 21: Úkolem žáků je rýsovat trojúhelníky ABC, BCD, BDE, BEF, EFG, FGH, FHJ, a pak určit kolik úseček celkem narýsovali.
• Bystřejší žáky je možno zaměstnat úkolem uvažování o tom, kolik úseček je určeno čtyřmi body. Řešení: Čtyřmi body je určeno 6 úseček (obr.5), 4 body A, B, C, D ... 6 úseček AB, AC, AD, BC, BD, CD.

Obr. 5

• Úkolem žáků je vyznačit čtyři body A,B,C,D tak, aby bylo možno narýsovat čtyřúhelník ABCD – žádné tři body nesmí ležet v úsečce; a čtyřúhelník narýsovat. Různá řešení je pak dobré předvést na tabuli a porovnat (obr.6).

Obr. 6

• *Tabule - prezentace, snímek 12, cv. 3, pracovní listy, cv. 22.: Žáci ukazují narýsované úsečky AB, CD, a pak dostávají za úkol vyznačit bod E, který náleží úsečce AB i úsečce CD.
• *Tabule - prezentace, snímek 13, pracovní listy, cv. 23: Cvičení se provádí nejdříve společně na tabuli, a pak samostatně, nebo pouze pod vedením vyučujícího, v pracovních sešitech: Děti hrály hru Škatulata, hejbejte se. Stály tak, jak jsou vyznačeny body na obrázku. Úsečkami a šipkami vyznačte, jak si děti vyměňovaly místa. Aleš běžel na místo Jirky, Jirka na místo Honzy, Míša na místo Aleše, Honza na místo Míši, Eva na místo Lídy a Lída na místo Evy. Ola to nestihla a musela se vrátit na svoje místo.
• *Tabule - prezentace, snímek 14, pracovní listy, cv. 24: Žáci mohou dostat za úkol narýsovat (vymodelovat) úsečky AB a CD tak, aby měly aspoň jeden společný bod. Při tom je důležité žákům připomenout význam slova alespoň. Žáci pak porovnají své řešení úlohy s řešeními na tabuli, a rozhodují, která z řešení na tabuli jsou správná, která chybná, a proč.