Bernoulliho rovnice aneb Vodáci pod jezem

 `1/2``*rho*v_1^2+p_1= 1/2``*rho*v_2^2` `+p_2`

kde `rho` je hustota proudící kapaliny, `v_1` (resp. `v_2` ) je velikost rychlosti proudící kapaliny v širším (resp. v užším) místě potrubí a `p_1` (resp. `p_2` ) je tlak proudící tekutiny v širším (resp. v užším) místě potrubí.

1. Schematický řez zužujícím se potrubím Autor díla: Jaroslav Reichl

Z rovnice (1) tedy plyne, že v místě, kde proudí kapalina vyšší rychlostí, má menší tlak. Podle obr. 1 je zřejmé, že `S_1>S_2`. Na základě rovnice spojitosti (rovnice kontinuity), tedy pro velikosti rychlostí proudící kapaliny, platí `v_2>v_1` a tedy podle Bernoulliho rovnice je `p_1>p_2` .

Rovnice (1) platí v tomto tvaru pouze pro ideální kapalinu ve vodorovném potrubí. Pokud bychom uvažovali reálnou kapalinu nebo plyn, museli bychom uvažovat změnu jejich hustoty v závislosti na tlaku; reálná kapalina i plyn jsou totiž stlačitelné. Pokud bychom uvažovali potrubí s určitým sklonem vzhledem k vodorovné rovině, museli bychom do Bernoulliho rovnice přidat člen odpovídající hydrostatickému tlaku charakterizujícím převýšení jednoho konce trubice nad druhým.

I přes tato omezení ale platí kvalitativní závěry, tj. s rostoucí velikostí rychlosti proudící tekutiny klesá tlak, i pro reálnou kapalinu a pro plyny. Na středoškolské úrovni není možné obecně formulovat Bernoulliho rovnici pro tekutiny, ale kvalitativní závěry jsou platné.

Popis experimentu

K experimentu budeme potřebovat zdroj proudícího vzduchu, který fouká vzduch (např. dmychadlo ze starších učebních souprav pro molekulovou fyziku, fén, vysavač, ...), a míček na stolní tenis (viz obr. 1).

2. Průběh experimentu – první krok Autor díla: Jaroslav Reichl

Na koncové ústí hadice dmychadla (resp. na konec trubice fénu), kterou držíme ve svislé poloze, položíme míček na stolní tenis (viz obr. 3). Zapneme přístroj a opatrně zvyšujeme jeho výkon a pozorujeme, že míček se nad koncem trubice vznáší (viz obr. 4).

3. Průběh experimentu – druhý krok Autor díla: Jaroslav Reichl

Příčinou tohoto jevu je odporová síla, kterou vytváří vzduch proudící z trubice. Relativně stabilní polohu míčku v proudícím vzduchu pak zaručuje právě vzduch proudící kolem míčku. Vlivem relativně velké velikosti rychlosti proudění vzduchu v okolí míčku vzniká v tomto místě (ve shodě s Bernoulliho rovnicí) podtlak ve srovnání s okolním atmosférickým tlakem vzduchu. Vzduch proudí kolem míčku symetricky, a proto síla vznikající v důsledku podtlaku vzduchu v okolí míčku působí na míček symetricky ve vodorovném směru ze všech stran. Tím udržuje míček v rovnovážné stabilní poloze.

4. Průběh experimentu – třetí krok Autor díla: Jaroslav Reichl

Skutečnost, že právě popsaná poloha míčku je stabilní, lze ověřit tak, že trubici, nad kterou se vznáší míček, začneme postupně vychylovat ze svislé polohy (viz obr. 5). Míček se i v tomto případě drží v proudu vzduchu, který vytváří dmychadlo (resp. fén).

5. Průběh experimentu – čtvrtý krok Autor díla: Jaroslav Reichl

Míček se v proudu vzduchu udrží i při poměrně velkém odklonu trubice od svislého směru (viz obr. 6). To znamená, že síla vznikající jako důsledek podtlaku vytvořeného proudícím vzduchem má srovnatelně velkou velikost ve srovnání s velikostí tíhové síly míčku. Proto se míček v proudícím vzduchu udrží i v této poloze trubice.

Použijeme-li navíc k experimentu míček, na kterém budou nepravidelné nápisy nebo kresby (stačí vzít běžný míček na stolní tenis, na kterém jsou reklamní loga výrobce míčků, případně na jednobarevný míček namalovat nějaký symbol fixem), zjistíme, že míček v proudícím vzduchu rotuje. Po ustálení jeho rotace míček rotuje kolem vodorovné osy kolmé na směr proudícího vzduchu.

6. Průběh experimentu – čtvrtý krok Autor díla: Jaroslav Reichl

Praktické důsledky

Právě popsaný experiment lze také použít k vysvětlení faktu, proč i velmi zkušení vodáci často umírají právě pod jezy řek. Příčinu této smutné statistiky je nutné hledat v důsledcích, které způsobuje proudící voda. Dále se budeme zabývat popisem situace na jezech přírodního původu, tj. na jezech, které nejsou nijak regulovány, nejsou v nich stavěny žádné zábrany, nemají zpevněné dno, ...

Schematický řez takovým jezem je zobrazen na obr. 7. Tlaková energie rychle proudící vody pod jezem je částečně využita na konání práce nutné k odplavení části materiálu. Tak vznikne pod jezem ve dně řeky dolík, ve kterém proudí voda relativně velkou rychlostí. Pokud se dostane do tohoto víru vodák, jehož loď se v jezu převrátila, bude tažen silou vznikající v důsledku rozdílu atmosférického tlaku a tlaku vzduchu v těsném okolí rychle proudící vody směrem do středu vodního válce. V tomto případě hrozí vážné nebezpečí – vodák se může zranit nebo se může vlivem nedostatku kyslíku i utopit.

7. Nebezpečí jezu Autor díla: Jaroslav Reichl

Přesto je šance, že vodák přežije. Musí se ovšem přestat snažit vyplavat z rotujícího válce vody. Kdyby chtěl vyplavat ven, musel by překonat výše zmíněnou sílu vznikající rozdílem tlaků vzduchu. Proto je vhodnější nechat se unášet vodou a snažit se postupně a pomalu (i s přispěním vlastní tíhové síly) dostat k dolní části jezu. Podél dna se pak může vodák bezpečně dostat z vířícího vodního válce.