Jak učit geometrii

Nikdo nezačíná dílo od prvopočátku, nýbrž se chápe nitky z minulosti a spřádá ji dál. (Dygasiňski)

Co se vám vybaví, když se řekne geometrie? Mnozí, snad dokonce většina z nás si pod pojmem geometrie představí rýsování přímých čar, kružnic, konstrukce trojúhelníků, měření délek a výpočty obsahů pravoúhelníků apod. Pokud by měli říci, k čemu v životě geometrii využijí, pak se obvykle omezí na výpočty obsahů pravoúhelníků, mají-li nakoupit podlahovou krytinu při zařizování bytu, při nákupu semen či hnojiv při zahrádkaření apod. Takové představy odpovídají tomu, jak jsme se geometrii učili. 

Geometrie se na 1. stupni základní školy původně nevyučovala, přestože již J. A. Komenský v Informatoriu školy mateřské [1] upozorňoval na to, že geometrie – orientace v prostoru je dětem předškolního věku bližší než kvantitativní stránka jejich běžného života a prostředí, v němž se pohybují. Poukazoval na to, že zkušenosti a představy geometrického charakteru je možno rozvíjet již od 2. roku života dítěte, zatímco kvantitativní vztahy jsou děti schopny poznávat až později, přibližně ve 3–4 letech, což jsem si ověřila i na vlastních dětech, vnoučatech i pravnoučatech.

Tato stará zkušenost se projevuje i v tom, že řada hraček právě pro ty nejmenší má geometrický charakter a vede k poznávání geometrických útvarů a některých jejich vlastností. Jsou to především různé krychlové a válcové duté kostky různých velikostí, které se do sebe zasouvají nebo na sebe staví. Pak to jsou klasické dřevěné stavebnice tvořené různými hranoly a válci nebo různé mozaiky tvořené obvykle různými trojúhelníky a čtyřúhelníky, které jsou mezi malými dětmi velmi oblíbené, nebo hračka určená dětem od jednoho roku, kde děti vsouvají kostičky různých tvarů do otvorů shodných tvarů v krabicích (obr. 1).

Až do r. 1953 byl v učebních osnovách zařazován předmět Počty a měřictví. Měřictví bylo zaměřeno na potřeby praxe (řemeslná výroba), tj. konkrétní měření délky, váhy a času a převody jednotek. Poprvé se objevuje název předmětu Matematika v osnovách z r. 1953 [3], kde jsou prvky geometrie zařazeny do 4. a 5. ročníku. V učebnicích zpracovaných k těmto osnovám [4], [5] je ve 4. ročníku zařazeno geometrické téma Rýsování a měření úseček, obvod obdélníku a čtverce a v 5. ročníku Úsečka a přímka, Velikost úsečky, Počítání s jednotkami délky, Obdélník a čtverec… Přičemž je toto učivo zpracováno poměrně stroze a abstraktně a stejně stroze na ně navazuje geometrické učivo v 6. ročníku. 

V dalších učebnicích vydávaných v šedesátých letech je geometrické učivo zařazováno od 2. ročníku [6], kde je téma Měření a rýsování úseček, ve 3. ročníku [7] jsou zařazena témata Měření a rýsování úseček, Měření stran obrazců a zjišťování pravého úhlu. Ve 4. ročníku pak Rýsování a měření úseček, rýsování pravého úhlu (kolmic), Obvod obdélníka, čtverce a trojúhelníka, Příprava na výpočet obsahu obdélníka, jednotky plošných měr a v 5. ročníku: Přímka a úsečka, Obdélník a čtverec, Obvod, Obsah obdélníku a čtverce, Jednotky objemu.

Již z názvů jednotlivých témat je zřejmé, že v těchto učebnicích bylo geometrické učivo útržkovité, nemělo logickou stavbu a jeho zpracování neodpovídalo věkovým zvláštnostem žáků. Takto koncipované vyučování geometrie žáky nebavilo, geometrie jim činila velké potíže nejen svým obsahem, ale i nároky kladenými na kvalitu rýsování. Sama jsem ve své učitelské praxi poznávala, že ještě hodně mladších žáků nemá dostatečně vyvinutou jemnou motoriku, což je příčinou jejich problémů s rýsováním. Tak byla geometrie často hlavní příčinou strachu žáků z matematiky.

Při přípravě modernizace vyučování matematice (v šedesátých letech), na níž jsem se podílela, jsme velmi pečlivě připravovali koncepci geometrie. Chodili jsme po školách a snažili se zjistit, jaké zkušenosti geometrického charakteru děti mají a na co je možno navázat. Přitom jsme mimo jiné zadali žákům úkol zjistit, kolik trojúhelníků mohou vyznačit pomocí šesti dřívek – špejlí. Nebylo výjimkou tvrzení žáků, že je možno vyznačit čtyři trojúhelníky a na důkaz svého tvrzení vymodelovali pomocí šesti špejlí čtyřstěn (obr. 2). Tak se potvrdilo, že dětské zkušenosti geometrického charakteru jsou zkušenostmi z trojrozměrného prostoru, a tím je ovlivněno i jejich myšlení a představy.

Tento fakt jsme uplatňovali při zpracování jak pokusných, tak celostátně vydávaných učebních materiálů (učebnic‚ pracovních sešitů, metodik pro učitele), v nichž byla soustavná geometrická průprava zařazena do učiva matematiky již od nejnižších ročníků. Didaktický systém geometrie má v těchto učebních materiálech svou logickou stavbu. Dodržovat logickou stavbu učiva již od nejnižších ročníků je důležité proto, aby se žáci nemuseli nic přeučovat, aby si svoje geometrické poznatky pouze doplňovali, obohacovali a postupně dosahovali vyššího a vyššího stupně abstrakce. Takovýto postup při vyučování geometrie je rovněž důležitým předpokladem rozvoje logického myšlení žáků a jejich porozumění učivu. „Vědět totiž znamená znát věc v příčinné souvislosti.“ (J. A. Komenský: Základy důkladnosti a učení se. Zásada VIII.)

Snaha přiblížit dětem geometrii a vycházet z jejich praktických zkušeností se zde projevuje např. tak, že vysvětlení pojmu bod je v nich motivováno zásahy do terče, úsečka pak napjatým provázkem při přetahování žáků apod. Snaha vyjít vstříc geometrickým představám dětí v trojrozměrném prostoru se zde projevuje zařazováním modelování geometrických útvarů v trojrozměrném prostoru pomocí špejlí a modelovací hmoty. Takto zpracovanou geometrii si žáci většinou oblíbili, zvláště tu „modelovací geometrii“. Učitelé si však často naříkali, že modelování zabírá v hodinách matematiky příliš mnoho času, a tak se od modelování postupně upouštělo.

K chápání geometrických útvarů jako množin bodů se mladší žáci připravují tím, že průběžně vyznačují body, které jsou/nejsou body daného geometrického útvaru, danému geometrickému útvaru náleží/nenáleží. (Pozn.: Běžně používané rčení vyznačit bod na úsečce, přímce popř. jiném geometrickém útvaru znesnadňuje žákům takovýto pohled na geometrické útvary, proto je důležité co nejčastěji žákům připomínat, že je takto vyznačen bod úsečky, přímky).

V devadesátých letech se však s vypuštěním „množinového přístupu k vyučování matematice“ ustoupilo mimo jiné i od uvedeného přístupu k vyučování geometrie.

Současné učebnice, které jsou od devadesátých let dodnes vydávány, se ve zpracování učiva geometrie velmi liší, což bezpochyby činí žákům problémy při změně školy. V některých je geometrie v prostoru nahrazována stavbami z krychlí (např. 9). Avšak i práce s krychlemi zabírá poměrně dost času, proto se při vyučování s krychlemi pracuje spíše výjimečně. Někteří autoři v domnění, že tělesa (např. kvádr) a obrazce (např. čtverec) jsou dětem bližší, vyvozují pojem bod jako vrchol kvádru, čtverce a úsečku jako hranu kvádru, stranu čtverce. [10] V dalších učebnicích se vyvodí úsečka na obrázcích konkrétních předmětů a body pak jako krajní body úsečky [11].

V jiné se ve druhém ročníku bez jakékoliv motivace začíná přímo poučkou: „Základním prvkem v geometrii je BOD“ a pak se body i modelují [12]. Jinde se body zavádějí jako průsečíky dvou čar a úsečky jako hrany těles a strany obrazců. Z uvedeného je zřejmé, že není jednoduché najít způsob, jak žákům objasnit základní geometrické pojmy co nejpřirozeněji, jim přístupným způsobem.

Podívejme se na to, jak jsou žáci seznamováni s přirozenými čísly. Zpočátku jsou jednotlivá přirozená čísla spojována s konkrétními činnostmi, počítání různých žákům známých předmětů po jedné. Přirozená čísla jsou spojována s představou počtu různých věcí, rovněž tak operace sčítání, odčítání, násobení a dělení jsou spojovány s činnostmi seskupování, přidávání, ubírání, rozdělování skupin různých předmětů, nejčastěji knoflíků či kuliček na počitadle. Tak žáci postupně přecházejí od konkrétních činností a představ k abstrakci přirozeného čísla. Takový přístup odpovídá důležitému, po generace ověřenému požadavku na vyučování mladších žáků, tj. vycházet z názoru, čímž se rozumí smyslové vnímání, a to nejen zrakové. Tedy postup od konkrétního k abstraktnímu.

Postup od konkrétního k abstraktnímu i při vyučování geometrii odpovídá přirozenému vývoji geometrie, při němž v historii první geometrické pojmy vznikaly shrnováním, zobecňováním zkušeností získaných při pracovních činnostech lidí. Tomuto pohledu na geometrii odpovídá její původní vymezení jako vědy o vlastnostech a vztazích prostorových útvarů vzniklých abstrakcí z nejrůznějších předmětů. 

Ve škole je důležité žákům jejich zkušenosti geometrického charakteru, které získali při svých hrách a dětských činnostech, připomenout, obohatit je a rozšířit. Dětské zkušenosti geometrického charakteru jsou zkušenostmi z trojrozměrného prostoru, a tím je ovlivněno i jejich myšlení a představy. Proto je důležité se od samých počátků opírat o geometrii trojrozměrného prostoru a postupně žáky vést k poznávání rozdílů mezi planimetrií a stereometrií, na rozdíl od tradičního pojetí geometrie, kdy se od samého počátku vyučování vycházelo z planimetrie a až mnohem později žáci poznávali stereometrii. 

Proto, aby si žáci uvědomovali význam geometrie, aby si uvědomovali, proč se ji učí, je důležité vést je k poznání, že geometrie určitým způsobem zjednodušeně popisuje prostor, v němž se pohybujeme, a že pomocí geometrických prostředků je možno zaznamenat situace z běžného života a že se v praxi využívá geometrie při řešení nejrůznějších problémů. K tomu je vhodné využívat vztahů mezi geometrií a ostatními vyučovacími předměty. Je to především pracovní vyučování – praktické činnosti, tělesná výchova, prvouka a přírodověda. Zařazování témat výtvarné geometrie do hodin výtvarné výchovy je významným pojítkem mezi těmito předměty a přispívá k rozvíjení zájmu o architekturu. 

V letech, kdy jsem ještě po odchodu do důchodu z VÚP deset let učila, jsem se snažila žáky takto vést. K propojování geometrie s ostatními předměty i s běžným životem mi velmi významně napomáhal zpětný projektor s transparenty, na něž jsem kopírovala různé fotografie nebo realistické obrázky nejrůznějších objektů, dějových situací z dětem dobře známého prostředí. Tyto fotografie a obrázky jsem promítala na bílou magnetickou tabuli, na níž pak žáci stíracím fixem obtahovali, vyznačovali části objektů zobrazených na fotografii, např. na promítnuté fotografii kostela sv. Václava v Praze obtahovali trojúhelníkové, čtvercové, obdélníkové, kruhové části průčelí kostela nebo pomocí bodů, úseček apod. vyznačovali rozmístění různých objektů na obraze. Po vypnutí projektoru pak zůstalo na tabuli geometrické schéma situace na obrázku v čisté podobě. Tuto funkci samozřejmě může dnes plnit počítač a prezentace v Power Pointu, promítání na tabuli.

Postup od konkrétních životních situací přes jejich realistické obrázky k abstrakci geometrických pojmů s využitím počítače je téměř ideální cestou vytváření abstraktních geometrických pojmů.

Takovýto přístup, soustavné vyjadřování běžných životních situací geometrickými prostředky usnadňuje žákům využívání různých geometrických schémat ke „znázorňování“ různých matematických vztahů a přispívá k rozvoji jejich geometrické představivosti. Jestliže jsou žáci takto vedeni, postupně přicházejí na to, které situace je možno popsat geometrickými prostředky. Takto vedení žáci 2. ročníku mi např. položili otázku: „Jak uděláme v geometrii to, že jsme si v kroužku házeli míčem?“ Samozřejmě, že jsem tento jejich zájem využila v geometrii při vyznačování bodů a rýsování úseček daných jejich krajními body (obr. 3). Jindy při vycházkách sami rozváděli úvahy o tom, jak by to či ono „udělali“ v geometrii. Nebo jsem na tabuli vyznačila několik bodů a požadovala na žácích, aby se ti, jejichž jména začínají písmeny odpovídajícími písmenům označujících body, postavili tak, jak jsou body vyznačeny na tabuli. Žáci chvilku zaváhali. Bylo zřejmé, že si svislou polohu tabule promítají do vodorovné polohy podlahy. Jedna žákyně zvolala: „Už vím,“ a postavila se k tabuli. Hned za ní se k tabuli postavili ostatní tak, jak to odpovídalo vzájemné poloze bodů vyznačených na tabuli.        

Nyní si shrňme základní požadavky, které by měl splňovat didaktický systém geometrie na 1. stupni ZŠ. Ten by měl: 

1. Poskytnout žákům jim přístupným způsobem takovou matematickou/geometrickou průpravu, která jim umožní plynulý přechod do vyšších ročníků základní školy, popř. přechod na víceleté (osmileté) gymnázium a další studium. To znamená, je třeba vytvořit u žáků dostatečnou zásobu praktických zkušeností a konkrétních představ spojených se základními geometrickými pojmy. Při tom musí mít logickou stavbu, aby se žáci nemuseli nic přeučovat, aby si svoje geometrické poznatky pouze doplňovali, obohacovali a postupně dosahovali vyššího a vyššího stupně abstrakce.

2. Naučit žáky využívat získané matematické/geometrické poznatky při řešení problémů a úkolů vyplývajících z praxe. Což odpovídá požadavku J. A. Komenského: Usnadníš tedy žáku práci, jestliže mu při všem, čemu ho budeš učit, ukážeš, jak se toho užívá v denním životě. To musí být naprosto všude, v mluvnici, v dialektice, aritmetice, geometrii, fyzice atd. (2. Zásady snadnosti.) Proto je důležité žáky vést tak, aby poznávali, že geometrie určitým způsobem zjednodušeně popisuje prostor, v němž se pohybujeme, a že pomocí geometrických prostředků je možno zaznamenat nejrůznější situace z běžného života a řešit různé problémy a úlohy z praxe. Proto potřebují umět geometrické útvary i sestrojovat, načrtávat a rýsovat. O významu dovednosti provést potřebný náčrtek není pochyb.

Otázkou však je, jakou míru přesnosti rýsování je nutno od žáků vyžadovat. Při tom je potřeba brát především v úvahu, že jemná motorika mladších žáků se teprve rozvíjí a úroveň jejího rozvoje se výrazně liší i u dětí stejného věku. Má význam u žáků pěstovat smysl pro přesnost a estetiku grafického projevu, ale v současné době není tak důležité požadovat velkou přesnost a preciznost při rýsování ani u starších žáků, neboť ani ti, jejichž náplní práce bude jednou provádění technických výkresů, nebudou odkázáni pouze na své dovednosti, ale budou při své práci využívat především počítač.

3. Probouzet a rozvíjet zájem žáků o matematiku/geometrii. Proto má význam žákům zadávat i různé nestandardní, náročnější úkoly, které udržují zájem i těch nadanějších žáků.

Ráda bych využila zkušeností ze své učitelské praxe a z práce na učebnicích vydávaných v sedmdesátých a osmdesátých letech, kdy autorské kolektivy vedl Dr. Jiří Kabele. Chtěla bych navázat na tu nitku z minulosti, která vedla k dobrým výsledkům ve vyučování matematice. Proto jsem zpracovala geometrii v digitálních učebních materiálech Druháci a matematika, Třeťáci a matematika (prezentaci, kterou je možno promítat na tabuli nebo s ní mohou žáci pracovat přímo na počítači, a pracovní listy, které jsou těsně provázány s uvedenou prezentací a které může vyučující žákům vytisknout), v nichž jsem se snažila uplatnit všechny zde vyslovené požadavky na vyučování geometrie.

Vycházím v nich ze zkušeností žáků s geometrickými tvary, které získali při hrách, a snažím se je vést k tomu, aby je hledali i kolem sebe. Hledají trojúhelníky, kruhy, čtverce a obdélníky. Při vyvozování pojmu bod se v těchto učebních materiálech navazuje na činnosti při tělesné výchově, kdy si křížkem a velkým písmenem na hřišti vyznačí místo, kde stáli (DUM, Druháci a matematika 4, snímek 2), a propojení s výtvarnou výchovou je zde naznačeno požadavkem ilustrovat báseň Lesní studánka (DUM, Druháci a matematika 4, snímek 8), kde žáci vyznačují pomocí bodů rozmístění hvězd na obloze i jejich odrazů na hladině studánky.

Úsečka je motivována napjatým provázkem, přímka stromořadím, přímými kolejnicemi. Žáci jsou vedeni k tomu, aby hledali, ukazovali modely úseček a přímek i v prostředí učebny. Což jsou hrany desky lavice, tabule apod. I kružnice je zde motivována dětskými hrami, např. požadavkem zajistit spravedlivě možnost každého dítěte hodit svou kuličku do důlku (DUM, Třeťáci a matematika 8, Kruh, kružnice, koule, snímek 2), a různé možné vzájemné polohy kružnic jsou zde doplněny fotografii Staroměstského orloje (snímek 28), oblouk kružnice je motivován duhou apod. Při tom jsou zde zařazovány i náročnější úkoly jako: uvažovat o tom, kolik průsečíků mohou mít 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 přímek apod.    

Velmi bych přivítala, kdyby učitelé s těmito materiály pracovali a sdělovali své zkušenosti, popř. navrhovali konkrétní úpravy. Což se již jednou stalo v komentáři k materiálu Třeťáci a matematika 2 Opakujeme geometrii a moc za to děkuji.