Čokoláda aneb Ohřátí jednoho litru vody

Na tuto úlohu mě přivedli žáci, když při hodinách fyziky dávali otázky typu:

• Kolik mohou konzumovat čokolády, abych nepřibral/a?
• Kolik vlastně má čokoláda energie, co vlastně musím udělat, abych ji spotřeboval/a?
• Když sním celou čokoládu kolik energie přijmu?

Spotřeba energie člověka v závislosti na aktivitě

Kalorie (cal) je dřívější jednotka tepla, která se v současnosti laiky běžně používá ve vztahu k energetické hodnotě potravin. 1 kalorie byla definována jako množství energie, které je zapotřebí k ohřevu 1 g vody ze 14,5 °C na 15,5 °C za podmínek normálního atmosférického tlaku. Byla nahrazena jednotkou joule, který patří do jednotkové soustavy SI, poněvadž teplo je veličina stejné podstaty jako energie (práce). V příkladě budeme počítat s jouly. Na většině potravin jsou uvedeny obě hodnoty. Mezi jednotkami platí převodní vztah:

1 cal = 4,1868 J, tj. 1 kcal = 4186,8 J

1 kJ ≈ 0,2778 Wh

1 kWh = 3600 kJ ≈ 859, 845 kcal

U člověka s tělesnou váhou 80 kg se udává základní potřeba energie (tzv. bazální metabolismus) okolo 8809,027 kJ (2104 kcal) za jeden den.[1] Jedná se o množství energie spotřebované organismem na základní životní pochody, tedy při naprostém fyzickém i psychickém klidu za 24 hodin. Hodnota bazálního metabolismu je pouze orientační, protože je závislá například na pohlaví, věku, hmotnosti, tělesné konstituci, onemocnění aj. V průběhu života se základní potřeba energie snižuje.

Ke každému pohybu potřebuje tělo dodatečnou energii, tzv. pracovní neboli výkonovou potřebu, kterou musíme připočítat. Množství této energie je závislé na typu konkrétní aktivity, její intenzitě, teplotě prostředí aj. Existuje velké množství tabulek, které uvádějí hodnoty spotřeby energie při různých typech činností, ale jedná se pouze o hodnoty orientační.

Například: při rychlejší chůzi (při rychlosti 6 km/h) po rovině se spálí 1050 kJ za hodinu, při jízdě na kole (při rychlosti 9 km/h) se spotřebuje 1100 kJ za hodinu, při hraní tenisu 1700 kJ za hodinu a při hodinovém spánku spotřebujeme 294 kJ.[1]

Výpočet tepla a energie

Teplo je fyzikální veličinou popisující změnu termodynamického stavu, může být tělesem přijaté nebo odevzdané. Celkové teplo Q [J] je přímo úměrné hmotnosti m materiálu absorbujícího teplo [kg], rozdílu počáteční a konečné teploty ΔT [K] a měrné tepelné kapacitě látky c [J/kg.K], z níž je těleso vyrobeno.

Q = c · m · ΔT

Příklad

Na elektrickém vařiči, který má příkon 600 W se ohřívá 1 litr vody z 14 °C na bod varu 100 °C.

Otázky:

1. Kolik tepla a kolik energie je třeba dodat?
2. Za jak dlouho tuto energii dokážeme spálit při chůzi?
3. Kolik čokolády musím sníst, abych přijal tuto energii?

1. Kolik tepla a kolik energie je třeba dodat?

Ze zadání příkladu známe m vody (1 litr vody = 1 kg), počáteční teplotu T₁ a konečnou teplotu T₂. Měrnou tepelnou kapacitu vody c nalezneme ve fyzikálních tabulkách. Pro výpočet tepla Q potřebného k ohřátí vody na teplotu T₂ využijeme uvedený vzorec.

m = 1 kg

c = 4186,8 J/kg.K = 1cal/g.°C

t₁ = 14 °C (T₁ = 287,15 K)

t₂ = 100 °C (T₂ = 373,15 K)

Q = m.c.(T₂-T₁)

Q = 1.4186,8.(373,15-287,15)

Q = 360064,8 J = 86 kcal

Nepřihlíželi jsme ale ke ztrátám vařiče, neboť účinnost ohřívání vody je 75 % (η = 75 %), jedná se o účinnost procesu ohřevu, nikoli vařiče.[2] To znamená, že ke stávajícímu výsledku (360064,8 J) potřebného tepla musíme přičíst navíc 25 %. Výsledkem je potom celková energie dodaná do ohřevu vody.

W = 480086,4 J ≈ 480 kJ ≈ 115 kcal

Nyní provedeme přepočet hodnoty energie v kJ na elektrickou energii kWh. U běžných elektrických spotřebičů se uvádí spotřeba elektrické energie v kWh, proto je tento údaj pro uživatele názornější. Podle uvedeného převodního vztahu (1 kWh = 3600 kJ) převedeme teplo na elektrickou energii: 480/3600 ≈ 0,133 kWh

2. Za jak dlouho tuto energii dokážeme spálit při chůzi?

Budeme vycházet z údajů z tabulky spalování kalorií pro modelovou osobu vážící 80 kg. Tato osoba za 60 minut chůze rychlostí 6 km/h spálí přibližně 1050 KJ.[1] Z těchto hodnot trojčlenkou spočítáme, že takový člověk pro spálení 480 kJ musí jít rychlostí 6 km/h přibližně 27 minut.

3. Kolik čokolády musím sníst, abych přijal tuto energii?

Při hledání odpovědi na tuto otázku využijeme údaje na obalu námi zvolené mléčné čokolády, která uvádí ve 100 gramech 2064 kJ. Jednoduchým výpočtem s využitím trojčlenky zjistíme, že energii 480 kJ tělu dodáme, pokud sníme 23 g této mléčné čokolády. To odpovídá při balení 200 g zhruba necelým čtyřem dílkům čokolády.

Shrnutí výsledků

1. Pro přivedení 1 l vody k varu je zapotřebí 480 kJ tepla a 0,133 kWh elektrické energie.
2. Tuto energii dokáže spálit 80 kg osoba při chůzi rychlostí 6 km/h za 27 minut.
3. Abychom přijali srovnatelné množství energie, musíme sníst 23 g mléčné čokolády.

Rozšiřující úlohy

1. Žáci si mohou vyhledat aktuální ceník jedné kWh a spočítat cenu spotřebované elektrické energie na ohřátí 1 l vody.
2. Žáci mohou dopočítat, kolik energie přijmou, pokud sní 100 g čokolády, a jaká je to část denní dávky normálního energetického příjmu.
3. Žáci mohou vyhledat další potraviny s jinými energetickými hodnotami, vytvořit přehlednou tabulku ve vztahu k různým aktivitám, ve kterých může být tato energie spotřebována.
4. Žáci mohou vyhledat na mléčné čokoládě či obalech jiných potravin jejich celkovou energetickou hodnotu, zjistit složení potraviny (tuky, cukry, bílkoviny, minerály, vláknina aj.) a na internetu vyhledat obsahy energií v jednotlivých živinách (tzv. spalné teplo). Výsledky mohou sestavit do tabulky v závislosti na velikosti rozdílu celkové energetické hodnoty potraviny a energetické hodnoty živin, odůvodnit rozdíly.

Závěr

Tato početní úloha má širší využití a přesah do různých předmětů, propojuje fyziku, biologii, zdravý životní styl i ICT. Žáci některé potřebné informace naleznou na obalech potravin  a ostatní mohou vyhledat na internetu. Jako vodítko jim při vyhledávání mohou být klíčová slova. Při práci musí postupovat pozorně, neplní jen jeden zadaný úkol, ale učí se kombinovat a předvídat. Pokud žáci pracují v menších skupinách, jsou získané informace z několika zdrojů různé a mohou být skupinami vzájemně porovnány. Práci lze zadat jak v rámci hodiny, tak v rámci domácího úkolu či menšího projektu. Ze své zkušenosti vím, že jsou žáci často překvapeni, kolik energie je vařičem spotřebováno a kolik vlastně přijímají energie v jídle každý den.

---

Literatura

[1] Spalování kalorií. Kcal.cz [online]. 1999 [cit. 2011-01-28]. Dostupné z WWW:<http://www.kcal.cz/tabulka-spalovani-kalorii>.
[2] LEPIL, Oldřich. Matematicko-fyzikální fakulta UK v Praze [online]. 1999 [cit. 2011-03-28]. Přístroje spotřební elektroniky ve školní experimentální technice. Dostupné z WWW:<http://kdf.mff.cuni.cz/veletrh/sbornik/Veletrh_04/04_12_Lepil.html>.