Využití dynamické geometrie při výuce v 9. ročníku základní školy

Úvod

V příspěvku demonstruji použití softwaru GeoGebra při výuce matematiky a související chyby žáků, kterých se dopouští při využití tohoto softwaru. Příklady vychází z učebnice Sbírka úloh z matematiky pro 9. ročník základní školy autorů Odvárko a Kadleček a odpovídají Rámcovému vzdělávacímu programu pro základní vzdělávání ve vzdělávací oblasti Matematika a její aplikace. Příspěvek volně navazuje na již zveřejněné články na Metodickém portálu: Využití dynamické geometrie při výuce v 6. ročníku základní školy, Využití dynamické geometrie při výuce v 7. ročníku základní školy a Využití dynamické geometrie při výuce v 8. ročníku základní školy.

Popis softwaru GeoGebra

Software GeoGebra je multiplatformní (může běžet pod operačním systémem Microsoft Windows, MacOS X nebo Linux), dynamický program určený pro všechny úrovně výuky geometrie a algebry. Je volně k dispozici na http://www.geogebra.org. Lze jej provozovat jak prostřednictvím lokální instalace, tak bez instalace pomocí appletu ve webprohlížeči GeoGebra. Je plně lokalizovaný do českého prostředí.

Tematický celek pro 9. ročník: Rovnice, Soustavy rovnic, Funkce

Propojení s výukou – Soustavy rovnic

Žáci řeší soustavu lineárních rovnic s využitím dynamického softwaru. Program GeoGebra umožní žákům manipulovat s figurou pomocí posuvníku a dynamicky měnit parametry (koeficienty a, b, c, d). Změnou těchto parametrů mohou žáci lépe pochopit průběh obou lineárních rovnic. Grafické řešení žáci najdou dosazením proměnné do Vstupního pole programu pomocí příkazu S= Prusecik[e, f].

Modelová hodina – Soustavy rovnic

Žáci řeší početně a graficky soustavu lineárních rovnic. Zadaný útvar nejprve vyřeší výpočtem do sešitu, poté narýsují grafické řešení do sešitu (s pomocí rýsovacích pomůcek). V programu GeoGebra řeší tento příklad zadáním proměnných do předpisu lineární funkce y=a.x+b. Pohybem posuvníku modelují v programu různé tvary lineárních funkcí. Pomocí příkazu S= Prusecik[e, f] vyřeší soustavu rovnic a ověří správnost svého řešení.

Úvod k příkladu

Příklad obsahuje následující body:

• tematický celek z učiva Soustavy rovnic v 9. ročníku základní školy;
• režim;
• tipy pro učitele;
• chyby žáků;
• další možné figury v daném tematickém celku.

Soustavy rovnic

Grafické řešení soustavy lineárních rovnic               

Obrázek 1: Grafické řešení soustavy lineárních rovnic

Režim:

Posuvník 

Zadání rovnic y=ax+b, y=cx+d do vstupního pole

Zobrazit – Algebraické okno

Zobrazit – Osy

Tipy pro učitele

Jako rozšiřující učivo lze s žáky modelovat počet řešení u soustavy lineárních rovnic, nebo řešení soustavy lineární funkce a kvadratické funkce.

Chyby žáků:

• žáci zapomínají zobrazit algebraické pole a osu, tím se neorientují ve vzniklých grafech (nevidí předpis funkce);
• při ovládání klávesnice nepoužijí numerickou klávesnici a součin označují tečkou na alfanumerické klávesnici;
• určení průsečíků je již pro slabší žáky obtížné – nedokážou dosadit proměnné do Vstupního pole (příkaz S= Prusecik[e, f]], některé žáky napadne najít průsečík pomocí režimu Průsečík obou objektů; 
• při manipulaci s figurou žáci zapomínají kliknout na režim Ukazovátko, a měnit přímky prostřednictvím proměnných hodnot na Posuvníku Funkce.

Propojení s výukou – Funkce

Žáci vyšetřují zadané funkce s využitím dynamického softwaru. Program GeoGebra umožní žákům manipulovat s figurou, pomocí posuvníku dynamicky měnit parametry (koeficienty a, b). Změnou těchto parametrů mohou žáci lépe pochopit průběh obou goniometrických funkcí, definiční obory funkcí, obory hodnot funkcí, monotónnost funkcí v daném intervalu a průsečíky s osou x nebo y.

Modelová hodina – Funkce

Žáci si črtají do sešitu grafy funkce sinus a cosinus. V programu GeoGebra řeší tento příklad zadáním proměnných do předpisu goniometrické funkce y=a.sin(x) a y= b.cos(x). Pohybem posuvníku modelují v programu různé tvary goniometrických funkcí.

Úvod k příkladu

Příklad obsahuje následující body:

• tematický celek z učiva Funkce v 9. ročníku základní školy;
• režim;
• tipy pro učitele;
• chyby žáků;
• další možné figury v daném  tematickém celku.

Funkce

Grafy funkcí y=a.sin(x), y= b.cos(x) 

Obrázek 2: Grafy funkcí y=a.sin(x), y= b.cos(x)

Režim:

Posuvník 

Zadání rovnic y=a.sin(x), y= b.cos(x) do vstupního pole

Zobrazit – Algebraické okno

Zobrazit – Mřížka

Zobrazit – Osy

Tipy pro učitele

Zpočátku doporučuji vyšetřovat každou goniometrickou funkci v samostatném okně, po bližším seznámení a pochopení vlastností lze vyšetřovat vztahy mezi funkcemi v jednom okně.

Lze s žáky modelovat jakoukoliv funkci, kterou se učí na základní škole. Pohybem posuvníku žáci zjišťují vlastnosti funkcí, definiční obor funkce, obor hodnot funkce, monotónnost funkce, průsečíky funkce s osou x a y. Pro žáky je program velice vhodný i v budoucích ročnících střední školy.

Chyby žáků:

• žáci zapomínají zobrazit algebraické pole a osu, tím se neorientují ve vzniklých grafech (nevidí předpis funkce);
• při ovládání klávesnice nepoužijí numerickou klávesnici a součin označují tečkou na alfanumerické klávesnici;
• při manipulaci s figurou žáci zapomínají kliknout na režim Ukazovátko, a měnit přímky prostřednictvím proměnných hodnot na Posuvníku.

Další možné figury v tematickém celku Rovnice, Soustavy rovnic, Funkce

Lineární funkce (rostoucí, klesající, konstantní) – využití programu při určování grafu a vlastností lineární funkce, průsečíky s osou x a y.

Kvadratická funkce – využití programu při určování grafu a vlastností kvadratické funkce.

Nepřímá úměrnost – využití programu při určování grafu a vlastností nepřímé úměrnosti.

Závěr

Program GeoGebra používám při výuce matematiky již pět let ve všech ročnících druhého stupně ZŠ. Pozitivně hodnotím dynamičnost programu, kdy lze opakovaně modelovat konstrukce, které bychom museli rýsovat na tabuli. Žáci během výuky snáze pochopí vlastnosti geometrických konstrukcí, geometrických těles, grafů a vztahy mezi nimi. Postup demonstruji pomocí interaktivní tabule. Vždy však dbám na to, aby žáci uměli konstrukční úlohy také rýsovat do sešitu s rýsovacími pomůckami a využívali programu jako doplněk pro kvalitní výuku matematiky ve škole.

Literatura

[1] - VANÍČEK, J. Počítačové kognitivní technologie ve výuce geometrie. Pedagogická fakulta UK, 2009.
[2] - Kolektiv autorů. Geogebra.  Dostupný z WWW: [http://www.geogebra.org/cms/].
[3] - HOHENWARTER, M.; HOHENWARTER, J. Introduction to GeoGebra. 2008.
[4] - HOHENWARTER, M.; HOHENWARTER, J. GeoGebra 3.2 Help Document. Dostupný z WWW: [http://www.geogebra.org/help/docucz.pdf].
[5] - ODVÁRKO, O.; KADLEČEK, J. Sbírka úloh z matematiky pro 9. ročník základní školy. Praha : Prometheus, 2002.