Zobrazit na úvodní stránce článků

Na začátek článku

Ikona prakticky

Několik nestandardních úloh k tematickému okruhu Číslo a proměnná

Ikona inspiraceIkona blok
Autor: Růžena Blažková
Anotace: V následujícím příspěvku je uvedeno několik nestandardních úloh k tematickému okruhu Číslo a proměnná. Uvedené příklady mohou přispívat k rozvíjení paměti žáků prostřednictvím numerických výpočtů, k osvojení algoritmu početních operací, k rozvíjení kombinatorického myšlení, k vytváření hypotéz a jejich ověřování.
Podpora výuky jazyka:
Klíčové kompetence:
  1. Základní vzdělávání » Kompetence k učení » operuje s obecně užívanými termíny, znaky a symboly, uvádí věci do souvislostí, propojuje do širších celků poznatky z různých vzdělávacích oblastí a na základě toho si vytváří komplexnější pohled na matematické, přírodní, společenské a kulturní jevy
Očekávaný výstup:
  1. základní vzdělávání » Matematika a její aplikace » 2. stupeň » Matematika a její aplikace » Číslo a proměnná » provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu
  2. základní vzdělávání » Matematika a její aplikace » 2. stupeň » Matematika a její aplikace » Číslo a proměnná » modeluje a řeší situace s využitím dělitelnosti v oboru přirozených čísel
Mezioborové přesahy a vazby: Nejsou přiřazeny žádné mezioborové přesahy.
Průřezová témata:
  1. Základní vzdělávání » Osobnostní a sociální výchova » Řešení problémů a rozhodovací dovednosti
Organizace řízení učební činnosti: Individuální
Organizace prostorová: Školní třída
Klíčová slova: násobek, proměnná, dělitelnost, algoritmus, dělitel, celé a racionální číslo, přirozené číslo, desítková soustava

V tematickém okruhu Číslo a proměnná se žáci kromě jiného učí provádět početní operace v oboru celých a racionálních čísel, získávají poznatky o dělitelnosti v oboru přirozených čísel a o pojmech s tímto tématem souvisejících. Nabízíme několik nestandardních úloh k této problematice, které mohou přispívat k rozvíjení paměti žáků prostřednictvím numerických výpočtů, k osvojení algoritmů početních operací, k rozvíjení kombinatorického myšlení, k vytváření hypotéz a jejich ověřování. Užíváním rozvinutého zápisu čísla v desítkové soustavě se upevňuje numerace v oboru přirozených čísel.

Při řešení úloh mohou žáci využívat vhodné postupy, metody i strategie pro řešení úloh a prostřednictvím numerických výpočtů si prohlubují matematické algoritmy. Operují s obecně užívanými termíny, znaky a symboly, všímají si souvislostí a zákonitostí a mohou propojovat učivo do širších celků. Zajímavé výsledky některých úloh je mohou upoutat a rozvíjet jejich matematickou erudici.

Uvedené úlohy poskytují mnoho možností k samostatné kontrole, neboť výsledky některých úloh mají obecnou platnost.

Každý učitel si může pro svůj školní vzdělávací program vybrat z nabídky ty, které jsou pro jeho žáky vhodné. Žáci pracují s konkrétními číselnými údaji. Obecné vyjádření a zdůvodnění úloh je uvedeno jednak pro učitele, jednak pro žáky s hlubším zájmem o matematiku a zároveň může posloužit ve vyšších ročnících v učivu algebry.

Pojmy: násobek, dělitel

Jestliže pro přirozená čísla a, b, c (b, c ≠ 0) platí a = b . c, pak říkáme, že číslo a je násobkem čísel b a c, a také že čísla b a c jsou dělitelé čísla a.

Např.:
35 = 5 . 7
35 : 7 = 5, 35 : 5 = 7

číslo 35 je násobkem čísel 7 a 5.
čísla 7 a 5 jsou dělitelé čísla 35.

Některá čísla mohou mít více dělitelů, např.:
48 = 6 . 8
48 = 2 . 24
48 = 3 . 16
48 = 4 . 12
48 = 1 . 48

Protože každé přirozené číslo (kromě čísla 1) můžeme zapsat jako součin čísla 1 a sebe samého - např. 5 = 1 . 5, 16 = 1 . 16 atd., má každé přirozené číslo různé od čísla 1 alespoň dva různé dělitele.

Poznámka:
Při násobení přirozených čísel uvádíme i násobení nulou - nula je násobkem každého přirozeného čísla. V oboru dělitelnost přirozených čísel však počítáme s přirozenými čísly různými od nuly, neboť nula nemůže být dělitelem žádného čísla.

Přirozená čísla, která jsou násobkem čísla 2, se nazývají čísla sudá. Obecně je můžeme zapsat ve tvaru 2k.

Přirozená čísla, která nejsou násobkem čísla 2 jsou čísla lichá. Obecně je můžeme zapsat ve tvaru (2k + 1).

1. Zapište si násobky čísla 3 vzestupně a násobky čísla 7 sestupně (tak, jak je uvedeno) a všímejte si jednotek v obou sloupcích:

0 . 3 = 0
1 . 3 = 3
2 . 3 = 6
3 . 3 = 9
4 . 3 = 12
5 . 3 = 15
6 . 3 = 18
7 . 3 = 21
8 . 3 = 24
9 . 3 = 27
10 . 3 = 30
10 . 7 = 70
9 . 7 = 63
8 . 7 = 56
7 . 7 = 49
6 . 7 = 42
5 . 7 = 35
4 . 7 = 28
3 . 7 = 21
2 . 7 = 14
1 . 7 = 7
0 . 7 = 0

Co pozorujete: všechna čísla od 0 do 9, čísla na místě jednotek, jsou v násobcích v opačném pořadí.
Na místě jednotek jsou

Zapište podobně násobky dvojic čísel: 4 a 6, 2 a 8, 1 a 9. Co pozorujete u těchto násobků? Jak je to s jednotkami u násobků čísla 5?

2. Využijte stovkové tabule a vybarvujte v ní násobky jednotlivých čísel od dvou do deseti (každé číslo do jiné tabulky). Utvoří se vám postupně zajímavé ornamenty.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100


3. Násobte číslo 37 postupně násobky čísla 3 (37 . 3, 37 . 6 atd.). Jaké zajímavé součiny získáte? Můžete na základě dvou výsledků odhadnout výsledky další?

 

4. Násobte číslo 3 367 postupně násobky čísla 3. Jaké součiny obdržíte?

 

5. Násobte číslo 15 837 postupně násobky čísla 7. Co pozorujete?

 

6. Násobte číslo 99 postupně čísly od 2 do 9. Všímejte si vypočítaných součinů (jednotek a stovek čísel).

 

7. Každé z čísel 15 a 45 je násobkem čísla 5. Je násobkem čísla 5 také jejich součet? Je násobkem čísla 5 také jejich rozdíl? Je násobkem čísla 5 také jejich součin? Ověřte.

 

8. Zapište všechna čísla, jejichž násobkem je číslo 60.

 

9. Součet čísel od 1 do 10 (1 + 2 + 3 + 4 + ... + 9 + 10) je 55. Odhadněte součin těchto čísel (1 . 2 . 3 . 4 . ... . 9 . 10).

 

10. Ověřte na konkrétních číslech, co platí pro součet nebo součin sudých a lichých čísel:

a) Součet dvou sudých čísel je vždy sudé číslo.
obecně: 2k + 2m = 2(k + m)

b) Součet dvou lichých čísel je vždy sudé číslo.
obecně: (2k + 1) + (2m + 1) = 2k + 2m + 2 = 2(k + m + 1)

c) Součet sudého a lichého čísla je vždy liché číslo.
obecně: 2k + (2m + 1) = 2(k + m) + 1

d) Součin dvou sudých čísel je vždy dělitelný číslem 4.
obecně: 2k . 2m = 4km

e) Součin dvou lichých čísel je vždy liché číslo.
obecně: (2k + 1) . (2m + 1) = 4km + 2m + 2k + 1 = 2(2km + m + k) + 1

f) Součin sudého a lichého čísla je vždy sudé číslo.
obecně: 2k . (2m + 1) = 4km + 2k = 2k(2m + 1)

Úlohy podporující zápis čísla v desítkové soustavě, rozvíjející kombinační myšlení

1. Zvolte si tři různá jednociferná čísla (např. 2, 5, 8). Pomocí těchto tří čísel zapište všechna trojciferná čísla, v jejichž zápisu se číslice neopakují (258, 285, 528, 582, 825, 852). Všech těchto šest čísel sečtěte. Vzniklý součet vydělte součtem těchto tří jednociferných čísel. Pokud jste správně počítali, vyjde vám vždy 222.

Zdůvodnění: každé ze šesti trojciferných čísel můžeme zapsat pomocí rozvinutého zápisu v desítkové soustavě. Uveďme obecný případ:

100a + 10b + c
100a + 10c + b
100b + 10a + c
100b + 10c + a
100c + 10a + b
100c + 10b + a

Součet těchto čísel je 222a + 222b + 222c = 222(a + b + c).

Vyberte si libovolné trojciferné číslo (z úl. 1) a zapište je dvakrát za sebou tak, abyste dostali číslo šesticiferné (např. 285 285). Vydělte toto číslo sedmi, vzniklý podíl pak vydělte jedenácti, a tento další podíl vydělte třinácti. Pokud budete počítat správně, vyjde vám původně zvolené trojciferné číslo.

Zdůvodnění: Součin čísel 7 . 11 . 13 = 1 001. Pokud libovolné trojciferné číslo vynásobíme číslem 1 001, dostaneme šesticiferné číslo uvedené vlastnosti; zde využijeme inverzní operace.

3. Zapište číslo, které udává vaši hmotnost (uveďte v celých kilogramech). Zřejmě je to číslo dvojciferné. Zapište toto číslo třikrát za sebou, dostanete tak číslo šesticiferné (např. 484 848). Vydělte toto číslo třinácti, vzniklý podíl vydělte číslem 21 a nově vzniklý podíl vydělte číslem 37. Při správném výpočtu dostanete původní dvojciferné číslo.

Zdůvodnění: Součin čísel 13 . 21 . 37 = 10 101. Vynásobíme-li toto číslo libovolným dvojciferným číslem, dostaneme šesticiferné číslo požadované vlastnosti; zde postupujeme obráceným postupem.

4. Vyberte si libovolné trojciferné číslo takové, ve kterém se liší počet jednotek a počet stovek alespoň o dvě (např. 528). Zapište číslo, které má opačné pořadí číslic (825). Odečtěte od většího čísla číslo menší (825 - 528 = 297). Z čísla zapsaného v rozdílu utvořte číslo s opačným pořadím číslic (792) a obě čísla sečtěte (297 + 792 = 1 089). Číslo 1 089 vychází vždy při volbě libovolného trojciferného čísla splňujícího požadovanou podmínku.

Zdůvodnění: Zvolené trojciferné číslo zapíšeme pomocí rozvinutého zápisu v desítkové soustavě: 100a + 10b + c. Číslo zapsané opačným pořadím číslic je 100c + 10b + a. Tato čísla odečteme: 100a + 19b + c - (100c + 10b + a) = 99a - 99c. Podmínka, aby se počet jednotek a počet stovek lišil alespoň o dvě, zaručuje, že rozdíl je číslo trojciferné. Výraz 99a - 99c postupně upravíme takto:

99a - 99c = 100a - a - (100c - c) = 100(a - c) - (a - c) = 100(a - c) - 100 + 100 - 10 +
+ 10 - a + c = 100 (a - c - 1) + 90 + 10 - a + c , což jsou
stovky desítky jednotky nového čísla (rozdílu).

Číslo zapsané opačným pořadím číslic je potom 100(10 - a + c) + 90 + (a - c - 1).

Tato dvě čísla sečteme:
[100(a - c - 1) + 90 + (10 - a + c)] + [100(10 - a + c) + 90 + (a - c - 1)] =
= 100a - 100c - 100 + 90 + 10 - a + c + 1 000 - 100a + 100c + 90 + a - c - 1 =
= 1 089.

5. Kouzelník Ondra řekl spolužákům: Zvolte si každý libovolné trojciferné číslo takové, aby se počet jednotek a počet stovek lišil alespoň o dvě. Zapište číslo s opačným pořadím číslic a odečtěte menší číslo od většího. Zakryjte jednu číslici ve vašem vypočítaném rozdílu, řekněte mi součet zbylých dvou a já vám řeknu, kterou číslici jste zakryli. Filip si zapsal 397, číslo s opačným pořadím číslic je 793, rozdíl je 396. Zakryl 3, řekl součet 15 a Ondra uhodl, že zakryl trojku. Uhodl to u všech ostatních spolužáků.

Zdůvodnění: Rozdíl trojciferného čísla a čísla zapsaného opačným pořadím číslic je obecně 99a - 99c (viz úl. 4). Tedy tento rozdíl je vždy dělitelný devíti. Oznámený součet zbylých dvou nezakrytých čísel se tedy doplní do nejbližšího násobku devíti - v tomto případě do 18.

6. Ondra uvedl další kouzlo: Zapište trojciferné číslo takové, že jeho počet desítek je dvakrát větší než počet stovek, počet jednotek je libovolný (např. 483). K tomuto číslu přičtěte pětinásobek počtu jednotek (483 + 5 . 3 = 498). Získané číslo vynásobte deseti (4 980), a toto číslo vydělte dvanácti (4 980 : 12 = 415) a sdělte mi výsledek. Filip oznámil 415 a Ondra poznal, že původní číslo bylo 483.

Zdůvodnění: Číslo požadovaných vlastností zapíšeme pomocí rozvinutého zápisu takto: 100a + 2 . 10a + c. Provádíme-li postupně operace podle pokynů, dostaneme:
{[(100a + 20a + c) + 5 . c] . 10} : 12 = (1 200a + 60c) : 12 = 100a + 5c, což jsou: a stovky, c jednotky hledaného čísla a počet desítek je dvojnásobek počtu stovek. V našem případě při sdělení čísla 415 poznal Ondra 4 stovky, 2 . 4 = 8 desítek a 15 : 5 = 3 jednotky.

7. Zapište si každý své rodné číslo (celkem 10 číslic). Označte si v zápisu tohoto čísla číslice na místech sudých a číslice na místech lichých. Sečtěte nejprve čísla zapsaná na lichých místech, a potom čísla zapsaná na sudých místech - a potom oba součty od sebe odečtěte. Přesvědčte se, že vždy vám vyjde 0 nebo 11 (nebo násobek čísla 11).

Anotované odkazy:
Příspěvek nemá přiřazeny žádné anotované odkazy.
Přiřazené DUM:
Příspěvek nemá přiřazeny žádné DUM.
Přiřazené aktivity:
Příspěvek nemá přiřazeny žádné aktivity.
 
INFO
Publikován: 14. 03. 2005
Zobrazeno: 11806krát
Hodnocení příspěvku
Hodnocení týmu RVP:
Hodnocení článku : 0

Hodnocení uživatelů:
Hodnocení článku :
Hodnotit články mohou pouze registrovaní uživatelé.

zatím nikdo Hodnocení článku : 5
zatím nikdo Hodnocení článku : 4
zatím nikdo Hodnocení článku : 3
zatím nikdo Hodnocení článku : 2
zatím nikdo Hodnocení článku : 1
Jak citovat tento materiál
Růžena Blažková . Několik nestandardních úloh k tematickému okruhu Číslo a proměnná. Metodický portál: Články [online]. 14. 03. 2005, [cit. 2019-12-11]. Dostupný z WWW: <https://clanky.rvp.cz/clanek/c/ZBBA/187/NEKOLIK-NESTANDARDNICH-ULOH-K-TEMATICKEMU-OKRUHU-CISLO-A-PROMENNA.html>. ISSN 1802-4785.
Licence Licence Creative Commons

Všechny články jsou publikovány pod licencí Creative Commons.


Komentáře
Příspěvek nebyl zatím komentován.
Vložit komentář:

Pro vložení komentáře je nutné se přihlásit.