Zobrazit na úvodní stránce článků

Na začátek článku
Titulka > Modul články > Základní vzdělávání > Prvňáci a matematika VII. Číslo 0

Ikona teoreticky

Prvňáci a matematika VII. Číslo 0

Ikona odbornost
Autor: Marie Janků
Anotace: Článek je metodickým průvodcem pro učitele k digitálním učebním materiálům (prezentace, pracovní listy) Prvňáci a matematika, Číslo 0, který je sedmým tématem kolekce Prvňáci a matematika. Cílem tohoto příspěvku je poskytnout učitelům a dalším zájemcům metodický postup při seznamování žáků s číslem 0, a to numerace, sčítání a odčítání a popis činností při práci s uvedenými učebními materiály.
Obor příspěvku:Matematika a její aplikace 1. stupeň
Klíčová slova: sčítání, odčítání, rovnice, porovnávání čísel, nerovnosti, rovnosti, nerovnost, rovnost, číslo 0

Číslo 0 má ve školské matematice poněkud zvláštní postavení, neboť někdy je a někdy není považováno za přirozené číslo. Záleží na definici, jíž je vymezováno přirozené číslo.

Číslo 0 je přirozeným číslem podle definice: Přirozeným číslem se nazývá společná vlastnost všech ekvivalentních konečných množin téže třídy. Jeho reprezentantem je při počítání po jedné úsek Peanovy množiny, který je ekvivalentní s kteroukoli množinou dané třídy. Jeho označením je poslední prvek tohoto úseku Peanovy množiny, kdežto podle jiných definic přirozeným číslem není, např. v definici: Přirozeným číslem se nazývá společná vlastnost třídy neprázdných konečných množin, se mluví o třídě neprázdných konečných množin, a proto podle ní nula přirozeným číslem není.

Při vyučování žáků mladšího školního věku je vhodné číslo 0 považovat za přirozené číslo a zacházet s ním jako s ostatními čísly, s nimiž se žáci seznamují, což jsou přirozená čísla. V případě, že by číslo 0 nebylo považováno za přirozené číslo, bylo by nutné v metodikách říkat, že se mladší žáci učí provádět operace s přirozenými čísly a nulou.

Je-li nula považována za přirozené číslo, nastávají jisté komplikace při probírání dělitelnosti v oboru přirozených čísel, což nastává při vyučování starších žáků. Proto bylo rozhodnuto ve školské matematice nulu za přirozené číslo nepovažovat..

Nula bývala při vyučování mladších žáků dlouho problémem, neboť se soudilo, že nejmladší žáci nemohou číslo nula pochopit. Bylo to způsobeno především tím, že nulu nelze znázornit graficky kreslením čárek, teček apod. a činnostmi ji lze demostrovat jen jako odebrání všech daných objektů.

V našich učebnicích např. Početnice pro 1. ročník z r. 1949 i z r. 1960 – 75 se objasňovala 0 jako rozdíl dvou sobě rovných čísel, avšak nula jako sčítanec nebo menšitel se v těchto učebnicích nevyskytovala. Takové příklady byly zařazeny až v učebnicích pro 2. ročník. Nula jako činitel se při objasňování násobení v  učebnicích z těchto let vůbec nevyskytovala a její význam vzhledem k dělení se žákům rovněž nevysvětloval. To vedlo k tomu, že se žáci často dopouštěli chyb při provádění početních výkonů s nulou. Zcela obvyklým jevem bývalo, že vlastnost nuly jako neutrálního prvku sčítání přenášeli i na násobení a chybně počítali např. 0 . 37 = 37.

Teprve v učebnicích vydávaných od druhé poloviny 70. let bylo poznávání čísla nula zařazeno do učebnic matematiky pro 1. ročník. Číslo 0 se zde objasňovalo jako počet prvků prázdné množiny, která se schematicky znázorňovala diagramem (obr.1), což umožňovalo znázornit nulu jako sčítance – menšitele (obr.2).

Autor díla: Marie Janků

Tématem tohoto článku je objasnit žákům číslo 0, naučit je číslo 0 schematicky znázorňovat různými způsoby (diagramem, dominovou kartou, prázdnou kartou bez teček a třeba i prázdným drátem počítadla, na němž nejsou žádné kuličky) a naučit je uvědoměle počítat příklady sčítání a odčítání, v nichž je sčítancem, menšitelem nebo rozdílem číslo 0. 

Novým typem cvičení jsou zde cvičení, v nichž je schematicky zaznamenán vztah "hned před" pomocí šipky (prezentace, snímek 5, cv. 1, pracovní listy, cv. 6) Tento vztah je důležité procvičovat i v souvislosti se vztahem před, za. Např. tak, že žáci dostanou za úkol určit číslo, které je v řadě čísel hned před číslem 4 a vyjmenovat všechna čísla, která jsou v řadě čísel před číslem 4.

Dalším novým typem cvičení jsou i cvičení, v nichž se procvičuje sčítání a odčítání pomocí očíslované hrací dráhy (prezentace, snímek 13, pracovní listy, cv. 9), která je průpravou k práci s číselnou osou.

Numerace

- počítání po jedné, čtení, psaní, znázorňování čísla 0, porovnávání čísla 0 s čísly 0 až 6 (<, >, =), přirozené uspořádání čísel 0 až 6, nerovnice a řešení aplikačních úloh pomocí nerovnic.

Při poznávání čísla 0 mají žáci např. dva sáčky. V jednom jsou kuličky nebo jiné drobné předměty a druhý je prázdný. nebo ukazují krabičku, v níž jsou např. kamínky a druhá je prázdná. Tyto situace schematicky zaznamenávají pomocí diagramů, ke kterým přikládají čísla, počty prvků v diagramech (obr.3).

Autor díla: Marie Janků

Přirozené uspořádání čísel se procvičuje i formou číslovek řadových, což u čísla nula není jednoduché, proto je zde voleno číslování knoflíků ve výtahu, kde je číslem nula označeno přízemí. Vztah "hned před", "hned za", se zde zaznamenává pomocí šipky.

Porovnávání čísla 0 s čísly 0 až 6 je možné motivovat pohybem figurek po hrací dráze, kde start je číslo 0. Dále je vhodné porovnávat počty teček na kartách, počty prvků v diagramech, kuličky na dvou drátech počítadla apod. Přitom žáci zapisují příslušné nerovnosti stíracím fixem na folii nebo je sestavují z karet s čísly. Dále je možné procvičovat porovnávání čísel i hromadně tak, že vyučující žákům ukáže kartu s číslem a úkolem žáků je ukázat kartu s číslem větším, menším, rovným ukázanému číslu podle pokynů vyučujícího.

Porovnávání čísel se upevní i na úlohách daných přirozenou situací. Žáci popisují situace na obrázcích: Na jedné větvičce jsou tři lístky, z druhé větvičky již všechny lístky opadaly, je holá. Žáci zapíší příslušnou nerovnost 4 > 0.

Na porovnávání čísel navazuje procvičování řešení jednoduchých nerovnic.

Cvičení

  1. Tabule - prezentace, snímek 2, cv. 1, pracovní listy, cv. 1: Vyučující žákům ukáže krabičku, ve které jsou např. 4 kostky a druhá je prázdná. Žáci říkají kolik věcí je v jedné, v druhé krabici. Ke krabičce s kostkami vyučující přiloží kartu s číslem 4 a žáci uvažují o tom, jaké číslo přiloží ke krabičce prázdné. Mezi kartami s čísly pak najdou číslo 0. Žáci si prohlížejí obrázek na tabuli, na pracovním listě a říkají, kolik kuliček je v sáčku, kolik kol má plachetnice, kolik obrázků je vyznačeno diagramem, kolik nohou má hlemýžď. Obrázky spojují čarou s číslem 0.
  2. Tabule - prezentace, snímek 2, cv. 2, pracovní listy, cv. 2: Nácvik psaní číslice 0.
  3. Procvičování čtení čísel 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6: Vyučující říká čísla a žáci je ukazují svými kartami. Žáci řadí karty s čísly nejdříve podle diktátu např. tři, jedna, dvě, nula, šest, pět, čtyři, a pak je seřadí od nuly do šesti.
  4. Na tabuli jsou zapsána čísla 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 a žáci je čtou podle pokynů: Přečtěte všechna čísla před (za) číslem 5, hned před (hned za) číslem 1.
  5. Tabule – prezentace, snímek 3, cv. 1, 2, pracovní listy. cv. 3, 4: Procvičování psaní čísel. Žáci píší do sešitů číslice 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 podle diktátu vyučujícího, a pak píší řadu čísel 0 až 6 v jejich přirozeném uspořádání. Nato doplňují čísla v pracovních listech.
  6. Vyučující ukazuje karty s tečkami, přičemž nejčastěji ukazuje prázdnou kartu. Žáci ukazují kartu s příslučnou číslicí. Žáci podle pokynů dávají do krabičky, na misku, do sáčku daný počet předmětů, a pak kreslí, vyznačují, co udělali. K vyznačeným souborům věcí pak přiřazují čísla.
  7. Vyučující žákům ukazuje karty s čísly (tečkami), žáci je hromadně čtou. Jakmile však ukáže číslo 0 (prázdnou kartu), žáci místo vyslovení čísla tlesknou.  
  8. Tabule - prezentace, snímek 4, pracovní listy, cv. 5: Žáci mluví o tom, zda někdy jeli výtahem a uvažují o tom, jak jsou očíslována tlačítka ve výtahu a jak je označeno tlačítko pro přízemí. Proč je přízemí označeno číslem 0?
  9. Tabule - prezentace, snímek 5, cv. 1, 2, 3, pracovní listy, cv. 6, 7, 8: Vyučující ukazuje žákům karty s čísly a žáci ukazují kartu s číslem, které je v řadě čísel hned před, hned za ukázaným číslem. Pak řeší úkoly promítnuté na tabuli a v pracovních listech.
  10. Tabule - prezentace, snímek 6, cv. 1, snímek 7, cv 1, 2, pracovní listy, cv. 9, 10, 11, 12: Žáci házejí hrací kostkou, posouvají figurky po hrací dráze a porovnávají počty skoků figurek. Start, kdy figurka neudělala žádný skok, je označen číslem 0. Tyto činnosti zaznamenávají i v pracovním listě, zapisují nerovnosti. Pak porovnávají počty teček na dominových kartách, počty kuliček na dvou drátech počítadla a zapisují příslušné nerovnosti.
  11. Tabule - prezentace, snímek 7, cv. 3, pracovní listy, cv. 13: Žáci zapisují čísla, počty obrázků vyznačených diagramy a doplňují mezi čísla znaky <, >, =. Zapisují tak nerovnosti, rovnosti.
  12. Na tabuli jsou zápisy např. 0 < 3, 0 > 3, 0 = 3 / 0 < 0, 0 > 0, 0 = 0 / 6 < 0, 6 > 0, 6 = 0. Žáci zápisy čtou a rozhodují, zda je nebo není pravda to, co je zapsáno na tabuli. Pravdivé zápisy podtrhnou, nepravdivé škrtnou.
  13. Hra ano, ne: Na tabuli je připevněna obrácená karta s jedním z čísel 0 až 6. Úkolem žáků je uhodnout, které z čísel je na kartě. Vyučující odpovídá pouze ano, ne. Odpověď se zaznamenává škrtnutím popř. podtržením daného čísla v řadě čísel 0 až 6. Vyučující postupně vede žáky k tomu, aby při hádání využívali vztahy větší, menší mezi čísly .
  14. Pracovní listy, cv. 14: Znázorňování nerovností.
  15. Tabule - prezentace, snímek 8, cv. 1, 2, pracovní listy, cv. 15, 16: Žáci řeší nerovnice znázorněné figurkami na hrací dráze. Čísla, která je možno do rámečku doplnit v řadě čísel 0 až 6 podtrhnou, ostatní škrtnou. Některé z podtržených čísel do rámečku doplní. Žáci řeší nerovnice. Do rámečku doplní řešení. Další čísla, která je možno doplnit do rámečku, zapíší na řádek.

Sčítání a odčítání

- sestavování příkladů sčítání a odčítání, znázorňování příkladů sčítání a odčítání, sestavování rovnic, znázorňování rovnic, aplikační úlohy.

Sčítání a odčítání v oboru přirozených čísel do 6, kdy je jednou ze složek početního výkonu číslo 0, je vhodné vyvodit na  činnostech s knoflíky v dlaních, kdy jedna dlaň zůstává prázdná. Tato činnost se graficky znázorní diagramy obdobně jako při vyvozování příkladů sčítání a odčítání v předchozích tématech. Ke každé situaci a diagramu žáci sestaví a zapíší příklady sčítání i odčítání.

Žáci sestavují příklady sčítání a odčítání k jednoduchým schématům a diagramům i konkrétním situacím.

Znázorňování příkladů sčítání a odčítání se procvičuje tak, že jsou na tabuli zapsány příklady sčítání a odčítání do šesti, v nichž je některou ze složek početního výkonu číslo 0, nebo takové příklady vyučující žákům ukazuje na kartách, a žáci je znázorňují různými způsoby. Kladou knoflíky na dominové karty, do připravených diagramů nebo diagramy kreslí nebo vybírají z dominových karet připevněných na tabuli tu, která znázorňuje daný příklad.

Sčítání a odčítání je vhodné procvičovat i na očíslované hrací dráze. Žáci mají hrací dráhu, figurky a hrací kostku a počítají, na které číslo postoupí figurka po hodu hrací kostkou.

Sčítání a odčítání s číslem 0 je vhodné procvičit i formou řešení jednoduchých rovnic, které se uvedou pomocí manipulativních činností s knoflíky ve dlaních tak, že jedna dlaň zůstává prázdná obdobně jako se vyvozovalo sčítání a odčítání. Sevřená pěst je konkrétním vyjádřením neznámé. Žáci tyto činnosti znázorní diagramy. To, že jsou některé knoflíky schované zaznamenáme prázdným rámečkem. Prázdným rámečkem zaznamenáme, že některé číslo v příkladu neznáme, že je hledáme. Prázdný rámeček vyznačuje místo, kam zapíšeme hledané číslo.

Zapsali jsme tak rovnici 0 + ◊ = 2. Čteme: Nula plus neznámé číslo, neznámá rovná se 2. Diagram znázorňuje čtyři rovnice. Zapíšeme je 0 + ◊ = 2,  ◊ + 0 = 2, 2 -  ◊ = 2,    2 – 0 = ◊.  Které číslo je hledané, neznámé číslo, jak je vypočítáme? (2 – 0 = 2)

Číslo 2 doplníme do rámečku v každé ze čtyř rovnic. Žáci doplní do diagramu prvky a tak se přesvědčí, že všechny čtyři rovnice mají totéž řešení. Ve cvičeních pak žáci sestavují k diagramům rovnice. Pokud žáci rovnice sami zapisují nemusí kreslit rámeček, ale stačí jestliže zapíší pouze čárku např. 0 + _ =  2. Žáci rovnice též znázorňují diagramy.

Diagram (obr. 4) je v podstatě jedinou možností, jak takovou jednoduchou rovnici znázornit. Při znázorňování rovnic je možno na žácích požadovat, aby sestavili další znázorněné rovnice. Rovnice je možno řešit i postupným dosazováním, např. se do rámečku v rovnici zapsané na tabuli postupně přikládají karty s čísly a žáci rozhodují o tom, zda takto získaná rovnost je nebo není pravdivá. 

Autor díla: Marie Janků

Řešení rovnic, v nichž je i číslo 0, se dále procvičuje i formou řešení aplikačních úloh. Žáci nejdříve formulují aplikační úlohy k diagramům, jimiž jsou vyznačeny konkrétní obrázky a prázdným rámečkem je dáno, k čemu se má vztahovat otázka. Např. na dvou dubových větvičkách jsou celkem 3 listy. Na jedné větvičce jsou 3 listy. Kolik listů je na druhé větvičce? Dále pak žáci formulují aplikační úlohy ke konkrétním obrázkům a znázorňují je diagramy, v nichž prázdným rámečkem vyjádří k čemu se vztahuje otázka.

Cvičení

  1. Tabule - prezentace, snímek 9, pracovní listy, cv. 17: Žáci mají knoflíky, berou je do dlaní, pak ruce spojí. Kreslí diagramem, schématem, co dělali a pak sestavují příklady sčítání a odčítání.
  2. Žáci mají dominovou kartu, kladou do jednotlivých polí knoflíky (jedno pole zůstává prázdné) a říkají, jak vypočítají, kolik je všech knoflíků na kartě, jak vypočítají, kolik knoflíků je v jednom poli. Říkají popř. zapisují příklady sčítání a odčítání znázorněné knoflíky na kartě.
  3. Vyučující ukazuje žákům dominové karty a žáci sestavují, říkají znázorněné příklady sčítání a odčítání.
  4. Tabule - prezentace, snímek 10, cv. 1, 2, pracovní listy, cv. 18, 19: Žáci sestavují, zapisují znázorněné příklady sčítání a odčítání.    
  5. Tabule - prezentace, snímek 11, cv. 1, 2, pracovní listy, cv. 20, 21: Žáci znázorňují diagramy a dominovými kartami zapsané příklady sčítání a odčítání, zapisují i další znázorněné   příklady.
  6. Tabule - prezentace, snímek 12, cv. 1, 2 ,3, pracovní listy, cv. 22, 23: Procvičování příkladů sčítání a odčítání. Vyučující žákům říká a ukazuje karty s příklady sčítání a odčítání. Žáci je znázorňují knoflíky na dominové kartě popř. knoflíky ve dlaních a říkají výsledek, popř. ukazují výsledek kartami s čísly. Dále pracují samostatně v pracovních listech.
  7. Tabule - prezentace, snímek 13, pracovní listy, cv. 24: Hrací dráha: žáci házejí hrací kostkou, s figurkami postupují po očíslované hrací dráze a říkají, jak vypočítají, na které číslo figurka po hodu kostkou postoupí. Zkoušejí házet střídavě bílou a černou kostkou. Bílá kostka znamená skoky vpřed, černá skoky zpět. Na tuto činnost pak navazuje práce v pracovních listech.
  8. Pracovní listy, cv. 25, 26: Vyučující žákům diktuje příklady sčítání a odčítání, žáci je znázorňují - jedna skupina dominovou kartou, druhá skupina diagramem, třetí skupina na počítadle, čtvrtá skupina na prstech. V pracovních listech žáci doplňují čísla do rámečků. Ve cv. 26 doplňují znaky <, >, = a tak se tu poprvé setkávají se složitějšími nerovnostmi tj. 6 - 6 < 1.
  9. Hra, soutěž: Žáci stojí ve dvou zástupech a soutěží, které družstvo lépe počítá, popř. stojí ve více zástupech a  výsledky vždy zapisuje na stírací tabulku ten, kdo stojí v zástupu první. 
  10. Tabule - prezentace, snímek 14, pracovní listy cv. 27: Rovnice, hrajeme třepanou.  Vyučující bere do spojených dlaní 6 knoflíků, zatřepe jimi a dlaně oddělí Jednu dlaň rozevře a žáci počítají, kolik knoflíků je v fruhé dlani. Žáci tuto činnost znázorňují diagramy a pod vedením učitele zapisují rovnice znázorněné diagramy. Řešení pak zapisují do rámečku.
  11. Tabule - prezentace, snímek 15, cv. 1, 2, pracovní listy, cv. 28, 29: Žáci sestavují, zapisují rovnice znázorněné diagramy.
  12. Tabule – prezentace, snímek 16, cv. 1, 2, pracovní listy, cv.30: Žáci tvoří k obrázkům úlohy tak, že se otázka vztahuje k tomu, u čeho je prázdný rámeček.
  13. Hra: Myslím si číslo. Vyučující říká: Myslím si číslo, když k němu přičtu 1 je to 1. Které číslo si myslím? Žáci ukazují výsledek kartami s čísly.
  14. Tabule - prezentace, snímek 17, pracovní listy, cv. 31, 32: Aplikační úlohy. Žáci pod vedením vyučujícího formulují úlohy k obrázkům o autech u závor, o kuličkách vysypaných ze sáčku. Úlohu znázorní, zapíší rovnici, vyřeší ji a formulují odpověď.
  15. Tabule - prezentace, snímek 18, pracovní listy, cv. 33: Nestandardní úloha (velmi obtížná). Žáci uvažují o tom, kdo splnil správně úkol, kdy bylo třeba vystřihnout z barevných papírů 6 lístků trojúhelníkových nebo červených, tj. každý lístek má být trojúhelníkový nebo červený. Žáci vyznačí diagramem trojúhelníkové lístky, červené lístky a zapíší, kolik jich je. Ukazují lístky, které jsou trojúhelníkové a zároveň červené, určují jejich počet. Podtrhnou jméno každého, kdo splnil úkol správně. Škrtnou jméno toho, kdo chybně. (Správně: Ola, Míla, Eva, Pepa. Chybně: Véna, protože jeden lístek není trojúhelníkový ani červený. Jana asi neměla červený papír a nevystřihla ani trojúhelníky.)
 
INFO
Publikován: 06. 01. 2014
Zobrazeno: 6995krát
Hodnocení příspěvku
Hodnocení týmu RVP:
Hodnocení článku : 3.3333

Hodnocení uživatelů:
Hodnocení článku : 4.5
Hodnotit články mohou pouze registrovaní uživatelé.

1 uživatel Hodnocení článku : 5
1 uživatel Hodnocení článku : 4
zatím nikdo Hodnocení článku : 3
zatím nikdo Hodnocení článku : 2
zatím nikdo Hodnocení článku : 1
Jak citovat tento materiál
JANKŮ, Marie. Prvňáci a matematika VII. Číslo 0. Metodický portál: Články [online]. 06. 01. 2014, [cit. 2019-08-20]. Dostupný z WWW: <https://clanky.rvp.cz/clanek/c/z/18025/PRVNACI-A-MATEMATIKA-VII-CISLO-0.html>. ISSN 1802-4785.
Licence Licence Creative Commons

Všechny články jsou publikovány pod licencí Creative Commons.


Komentáře
1.Autor: Recenzent1Vloženo: 06. 01. 2014 12:23
Článek opět skvěle doplňuje celou metodickou řadu výuky matematiky v 1. třídě. Zvláště pro začínající pedagogy mohou být podrobné popisy a zdůvodnění jednotlivých kroků při zavádění čísla 0 velmi užitečné.
Vložit komentář:

Pro vložení komentáře je nutné se přihlásit.