Zobrazit na úvodní stránce článků

Na začátek článku
Titulka > Modul články > Neformální vzdělávání > > Kompetence k učení > > > > > > > > Jak učit násobení a dělení

Ikona teoreticky

Jak učit násobení a dělení

Ikona odbornost
Autor: Marie Janků
Anotace: Příspěvek popisuje vývoj metodických přístupů k vyučování násobení a dělení.
Obor příspěvku:Matematika a její aplikace 1. stupeň
Klíčové kompetence: Nejsou přiřazeny žádné klíčové kompetence.
Klíčová slova: matematika, násobení, dělení
Vazby článku:
Tento článek navazuje na téma článku: Jak učit sčítání a odčítání
Příspěvek může být vzhledem k datu publikace zastaralý. V případě pochybností o aktuálnosti či funkčnosti příspěvku využijte tlačítko „nahlásit příspěvek“.

Nikdo nezačíná dílo od prvopočátku, nýbrž se chápe nitky z minulosti a spřádá ji dál. (Dygasiňski)

Poučme se z minulosti a pokusme se spřádat dál nitku násobení a dělení ve škole tak, abychom dosáhli zvýšení úrovně v této oblasti.

Podle našich prvních osnov z r.1874 se násobení a dělení vyučovalo již v 1. ročníku, kde se s každým probíraným číslem do 20 objasňovaly všechny čtyři početní výkony, tj. sčítání, odčítání, násobení a dělení včetně dělení se zbytkem a zlomky.

V početnicích Augustina Matolína (1869 – 1950) vydávaných ještě dříve, než byly vydány nové osnovy (1915), je násobení a dělení zařazeno do druhého ročníku. [1] Zde se po probrání sčítání a odčítání do 100 vyučuje násobení a měření (dělení). K obrázkům v deseti řadách po daném počtu prvků se sestavují příklady tak, že se počítá např. po 5. Počítá se: 5 třešní = jednou 5 třešní, 1 × 5=5, a 5 třešní = 2krát 5 třešní = 10 třešní, 2 × 5 = 10 atd. Po probrání násobení daného čísla se objasňuje dělení, ale již bez obrázků se slovními výzvami k činnostem oddělování či ubírání po daném počtu prvků, např. po třech, a sestavují se příklady ? × 3 = 12, 3 ve 12 = , čímž docházelo k propojení inverzních operací násobení a dělení. To se uplatňovalo i při zadávání aplikačních úloh.

  1. Lékaři platí se za návštěvu nemocného po 3 K; kolik se zaplatí za 7 návštěv?
  2. Za kolik návštěv obdržel lékař 9 K?

V našich pozdějších učebnicích [2, 4, 3, 5] bylo násobení a dělení rozloženo do druhého a třetího ročníku. Násobení se objasňovalo pomocí sčítání sobě rovných sčítanců. Celkem přirozeně se tak navazovalo na probrané učivo o sčítání a odčítání, o němž mají žáci i dostatek konkrétních představ. Byl však spojen i s celou řadou nesnází. Především s tím, že se v učebnicích počtů uváděly početní výrazy jako např.

7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 7 × 7

7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 8 × 7

7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 9 × 7

Žákům se však nic neřeklo o sdružování sčítanců a úmluvě o vynechávání závorek. To ve svých důsledcích vedlo k vytváření nesprávných představ o početních výrazech a znemožňovalo dětem pochopit funkci závorek v početních výrazech. To činilo potíže na 2. stupni.

Další nesnází byla nutnost rozlišovat číslo, které se násobí, a číslo, jímž se násobí. To vedlo u nás k diskusím o tom, zda je možno používat slovo „krát“, nebo zda je nutno říkat násobeno [6]. Děti často nevěděly, zda např. 3 × 4 znamená „třikrát po čtyřech“ (viz příloha, obr.1) nebo „čtyřikrát po třech“ (viz příloha, obr.2), a při znázorňování bývaly často bezradné.

Z obrázků je zřejmé, že obě situace jsou různé a že se těžko na nich vysvětluje, že se výsledek nezmění, jestliže se zamění činitelé. Proto se při objasňování komutativnosti násobení někteří autoři učebnic uchylovali ke čtvercové síti [5]. Ještě větší nesnáze pak působilo objasňování dělení. Rozlišoval se početní výkon, tzv. dělení na stejné části, tj. rozdělování určité skupiny objektů na daný počet stejně početných částí, přičemž se určuje počet objektů v každé z daných částí, a na početní výkon tzv. dělení podle obsahu, což je rozdělování určité skupiny objektů po stejně početných částech, přičemž se určoval počet těchto částí (viz např. Učební osnovy všeobecně vzdělávacích škol – Národní škola 1.–5. ročník. SPN 1957.).

Při objasňování dělení podle obsahu se v těchto učebnicích vycházelo z obráceného postupu, než tomu bylo při násobení, tj. z postupného odčítání téhož čísla. Nesnáz byla opět v zápise tohoto postupu, např. 16 − 4 − 4 − 4 − 4 [4], v němž se nepoužilo závorek. To jen posílilo nesprávné představy žáků o početních výrazech a znesnadňovalo jim později dovednost chápat nutnost použití závorek v matematických zápisech.

Dělení na stejně početné části je zcela jinou operací než dělení po částech a při jejím objasňování již nelze využít postupného odčítání téhož čísla. Především znázorňování dělení na stejně početné části působilo dětem potíže. Jestliže bylo na tabuli nakresleno např. 15 koleček a žák je měl rozdělit čarami na tři stejně početné skupiny [3], musel si nejdříve vypočítat, po kolika kolečkách má skupiny tvořit. Znázornění mu tedy k výpočtu nepomohlo. Obdobný problém nastal, jestliže měl znázornit dělení na stejné části na počítadle.

Jestliže v zápisech násobení bylo možno učinit dohodu v tom smyslu, že první číslo, činitel, je počtem prvků každé ze stejně početných skupin a druhý činitel je počtem skupin, u zápisu dělení takovou dohodu učinit nelze. Při znázorňování dělení, např. 15 : 3,  bývaly děti bezradné, protože nevěděly, zda tento zápis znamená patnáct dělit po třech nebo patnáct rozdělit na tři stejně početné části…

O možnosti zjednodušení přístupu k objasňování násobení a dělení ve školské matematice uvažovali naši matematici již počátkem padesátých let. Např. akademik E. Čech [7] píše: „Jsou-li dána dvě nezáporná celá čísla a, b, zvolíme soubor A, který má  a prvků a soubor B, který má b prvků: přitom nezáleží na tom, zda soubory A, B jsou disjunktní. Utvoříme potom soubor všech takových dvojic x,y, jejichž člen x náleží do souboru A, druhý člen y do souboru B. Součin a × b je pak počet prvků souboru našich dvojic, který označíme (A, B).

Tento přístup k objasňování násobení v didaktickém systému matematiky pak u nás propagoval prof. Hruša , který v učebnicích pro pedagogické fakulty [8] i v materiálech určených k přípravě učitelů na nové pojetí vyučování matematice [9] uváděl definice součinu dvou přirozených čísel jako počet prvků kartézského součinu dvou množin.

Při přípravě modernizace vyučování matematice v šedesátých letech, na níž jsem se podílela pod vedením Dr. Kabeleho, e mimo jiné řešil i problém, jak metodicky zpracovat násobení a dělení. Byl to především prof. Hruša, který zastával názor, že se má vycházet z kartézského součinu dvou množin. Měli jsme obavu z toho, že to bude pro učitele příliš náročné a že takový přístup nepřijmou. Proto jsme hned na počátku v době, kdy se učební  materiály pro exerimentální školy pouze rozmnožovaly, zpracovali dvě verze postupu při objasňování násobení a dělení. V jedné se vycházelo ze sjednocení stejně početných množin, tedy ze sčítání sobě rovných sčítanců, v druhé z kartézského součinu dvou množin,přičemž se objasnil i pojem „spořádané dvojice“.

Učitelé měli zvolit jeden z předložených postupů. Ti jednoznačně volili druhý postup vycházející z kartézského součinu dvou množin. Proto byly v tomto duchu zpracovány jak pokusné [10,11,12], tak později celostátně vydávané učební materiály [13, 14, 15]. Vycházelo se z úlohy: Dva chlapci Karel a Jirka měli tři kamarádky Helenu, Miladu a Věru. Chlapci odjeli do tábora a každý z chlapců poslal z tábora každé z dívek pohlednici. Odesilatel –příjemce, tj. např. Karela – Milada, je uspořádaná dvojice. To se zaznamenalo schématem (viz příloha, obr. 3). Tyto uspořádané dvojice se pak zaznamenaly diagramem součinu dvou množin (viz příloha, obr. 4).

Postupně se zavedly i jednodušší diagramy (viz příloha, obr. 5), které je možno využít i ke znázornění různých aplikačních úloh. Postupně se v těchto materiálech využívala i čtvercová síť. K takovým diagramům a schématům se sestavovaly příklady násobení i dělení a později i rovnice. Tento přístup k objasňování násobení a dělení byl jednodušší. Výhodou tohoto přístupu je, že dává žákům obecnější pohled na násobení a dělení a že je jim možno názorně objasnit vlastnosti násobení – především komutativnost – a ukázat tak souvislost mezi násobením a dělením; těchto poznatků je pak možno plně využít při pamětném nácviku příkladů násobení a příslušných příkladů dělení. I znázorňování násobení a dělení při tomto přístupu je jednodušší právě proto, že se nerozlišuje dělení na části a dělení po částech.

Při znázorňování násobení nebo dělení, ať diagramem (součinu dvou množin) nebo ve čtvercové síti odpovídá každému číslu příslušný počet prvků (viz příloha, obr. 5), kdežto při znázorňování násobení nebo dělení diagramem sjednocení stejně početných množin (viz příloha, obr. 6) nebo na číselné ose (viz příloha, obr.7) nelze jednoho z činitelů, popř. dělence nebo podíl do schématu zapsat. I objasnění významu čísel 0 a 1 vzhledem k násobení je při použití diagramu součinu dvou množin názornější (viz příloha, obr. 8).

I tento přístup má svá úskalí. Je to především řešení aplikačních úloh, kde je třeba rozlišovat úlohy, v nichž skutečně vystupují uspořádané dvojice (viz např. výše úloha o pohlednicích nebo o počtu slabik), a úlohy odpovídající sjednocení několika stejně početných množin, které jsou častější. V tradičních učebnicích se úlohy odpovídající kartézskému součinu množin prakticky nevyskytovaly a žáci je neuměli řešit.

Já sama mám ze své učitelské praxe bohaté zkušenosti s oběma přístupy k objasňování násobení a dělení. Jednoznačně dávám přednost přístupu, který vychází z kartézského součinu množin. Je to především sestavování všech čtyř příkladů násobení a dělení znázorněných týmž diagramem – schématem. To opravdu usnadňovalo žákům zapamatovat si násobilku a odpovídající příklady dělení a ušetřilo se tak hodně času při jejím nácviku. Znázorňováním násobení a dělení ve čtvercové síti získávají žáci zkušenosti, které využijí i při výpočtu obsahu pravoúhelníku.

Poznatků o uspořádané dvojici a kartézském součinu dvou množin se využívá jak při dalším vyučování matematice, tak v některých dalších předmětech na prvním stupni základní školy. Tak např. žáci poznávají, že body grafů vztahů mezi fyzikálními veličinami i body grafu přímé úměrnosti jsou dány uspořádanou dvojicí čísel. Dále se zkušenosti žáků s uspořádanými dvojicemi prohlubují a rozšiřují v geometrii při určování bodů roviny pomocí čtvercové sítě s vyznačenými osami souřadnic, ve vlastivědě s plánem a mapou a při určování zeměpisné polohy. Zkušeností souvisejících s pojmem „uspořádaná dvojice“ využívají žáci dokonce i v českém jazyce při poznávání stavby věty jednoduché na základě skladebních dvojic, kde zjišťují závislost jednoho členu na druhém.

Bezpochyby to byl i tento přístup k násobení a dělení uplatňovaný v učebních materiálech tzv. množinové matematiky, který přispěl k tomu, že se žáci, kteří se podle nich učili, umísťovali na předních místech v mezinárodních srovnávacích testech.

V devadesátých letech se však s vypuštěním „množinového pojetí vyučování matematice“ ustoupilo mimo jiné i od uvedeného přístupu k objasňování násobení a dělení a sestavování všech příkladů násobení a dělení znázorněných týmž schématem. Prakticky ve všech učebnicích, pracovních sešitech, pracovních učebnicích vydávaných k vyučování matematice v těchto letech až dodnes se objasňování násobení a dělení opírá o sčítání sobě rovných sčítanců, které je znázorňováno stejně početnými skupinami věcí nebo na číselné ose. Někteří autoři se uchylují ke čtvercové síti a řazení kroužků do řad a sloupců v případech, kdy je třeba objasnit komutativnost násobení.

Problémem v těchto materiálech je číslo 0, kterému v nich není věnována řádná pozornost v souvislosti s násobením a dělením. Přístup k objasňování násobení na základě sčítání sobě rovných sčítanců nemá význam ani z hlediska vertikální návaznosti, neboť tohoto přístupu již nelze využít při násobení desetinných čísel, kdežto čtvercovou síť ano.

Ani jeden z uvedených přístupů k násobení a dělení nelze absolutizovat. Rozhodně je vhodnější vycházet z toho přístupu, který dává žákům obecnější pohled na násobení a dělení . Při aplikacích poznatků o násobení a dělení je nutno žákům ukazovat mnohotvárnost reality a ukazovat jim, že matematika určitým způsobem zjednodušeně tuto realitu popisuje.

V některých těchto materiálech je první seznámení s násobením a dělením zařazeno v době, kdy žáci počítají ještě jen do dvaceti, ale většinou je násobení a dělení zařazováno až v době, kdy se počítá do 100. Podle mých zkušeností je vhodnější začít s poznáváním násobení a dělení ještě v době, kdy jsou žáci navyklí pracovat s knoflíky a jiným drobným materiálem. Kdy je pro ně samozřejmostí využívat manipulativních činností při získávání poznatků o číslech a početních výkonech, a to je v době, kdy se počítá jen do 20.

V digitálních učebních materiálech Druháci a matematika a Třeťáci a matematika , které jsem zpracovala pro Metodický portál, jsem přístup k objasňování násobení a dělení poněkud zjednodušila se zachováním všech kladných stránek, které umožňuje využívání kartézského součinu dvou množin. V těchto materiálech se sice nevychází přímo za součinu dvou množin, ale využívá se ho především při objasňování významu čísel 1 a 0 vzhledem k násobení a dělení (viz příloha, obr. 8) a řešení daných druhů aplikačních úloh.

První seznámení s početními výkony násobení a dělení jsem zde zařadila ještě dříve než se začnou žáci seznamovat s čísly do 100, kdy ještě není problémem  kterýkoliv probíraný příklad násobení nebo dělení znázornit manipulativními činnostmi nebo graficky zaznamenáním všech prvků souboru, jenž probíraný příklad znázorňuje. Vychází se zde ze zkušeností žáků z tělesné výchovy, kdy se řadí do řad a zástupů s tím, že pod vedením vyučujícího přijdou na to, že se počet všech žáků vypočítá postupným sečtením cvičenců v jednotlivých zástupech nebo v jednotlivých řadách, což se znázorní schématem , na němž se vyvodí násobení (viz příloha, obr. 9). Takové schéma je možno chápat i jako kartézský součin dvou množin, v němž uspořádaná dvojice čísel, např. 3,2, znamená „žák ve třetí řadě a druhém zástupu“ .

Objasnění dělení je již poněkud schematičtější a je propojeno s násobením (viz příloha, obr. 10). Příklady násobení a dělení  se pak sestavují k různým schématům a takovými schématy se i znázorňují (viz příloha, obr.11).

Pomocí manipulativních činností s knoflíky, které žáci kladou na hromádky po daném počtu knoflíků nebo je rozdělují na daný počet hromádek o stejném počtu knoflíků a pak je řadí do řad a sloupců (viz příloha, obr.12), poznávají, že i takové situace je možno znázornit řazením knoflíků do řad a sloupců.

Pravoúhelníková schémata jsou pak i oporou při řešení jednoduchých rovnic na základě poznaných souvislostí mezi násobením a dělením (viz příloha, obr.13). Jejich využívání ke znázorňování násobení a dělení má význam také proto, že v něm není vždy nutné vyznačovat všechny prvky, ale stačí v něm zaznamenat jen jednotlivá čísla s tím, že schéma vyjadřuje vztahy mezi nimi, což má pak velký význam pří znázorňování násobení a dělení do 100 (viz příloha, obr. 14). Kartézský součin dvou množin je zde v plném rozsahu, tj. i se záznamem uspořádaných dvojic do tabulky, využíván při objasňování násobeni a dělení 1 a 0 (viz příloha, obr. 8) a při řešení aplikačních úloh. Např.: Dvě čtyřčlenná družstva soutěžila v přetahování . Každý z červeného družstva se přetahoval s každým z modrého družstva. Kolik soubojů sehráli? (Viz příloha, obr. 15).

Učitelé mohou usnadnit žákům pamětné osvojení násobilky a příslušných příkladů dělení i v případě, kdy při objasňování násobení vycházeli ze sčítání sobě rovných čísel. Stačí, když povedou žáky k sestavování příkladů násobení i dělení prostřednictvím odsunutých krychliček či kuliček na počítadle (viz příloha, obr. 16) a prostřednictvím diagramů ve čtvercové síti (viz příloha, obr.13.).

Na závěr bych chtěla jen zopakovat, co jsem již napsala v článku Jak učit sčítání a odčítání. Bylo by ideální, kdyby se na spřádání nitky z minulosti, a to nejen po stránce vyučování násobení a dělení, ale v celé oblasti vyučování matematice, podíleli učitelé tím, že by různé učební materiály ověřovali v praxi, předávali dál svoje zkušenosti, navrhovali úpravy, aby se tak spoluúčastnili vytváření kompletních učebních materiálů, popř. jejich doplňků. To v současné době velice usnadňuje výpočetní technika. Není problémem ze dne na den materiály upravit a publikovat, nebo publikovat i více verzí.

Citace a použitá literatura:
[1] - MATOLÍN, Augustin. Početnice pro druhou třídu obecných škol pětitřídních až osmitřídních. Praha : Císařský královský školní kněhosklad, 1911. 79 s.  
[2] - GULOVÁ, Miloslava ; ŽILINKOVÁ, Júlia . Početnice pro druhý postupný ročník. Praha : Státní pedagogické nakladatelství, 1956. 150 s.  
[3] - ZELINA, Ladislav ; KOCIÁN, Ldovít . Početnice pro druhý postupný ročník. Praha : Státní pedagogické nakladatelství v Praze, 1958. 158 s.  
[4] - KADEŘÁBEK, Stanislav ; ŽILINKOVÁ, Júlia. Početnice pro druhý ročník. Praha : Státní pedagogické nakladatelství v Praze, 1961. 235 s.  
[5] - ZELINA, Ladislav ; LEČKO, Imrich; BROŽ, Josef . Početnice pro třetí ročník. Praha : , Státní pedagogické nakladatelství , 1962. 239 s.  
[6] - KNÍŽE, Gustav ; KURFURST , Josef ; HAVLÍIK, Miroslav. et al. Metodika matematiky na národní škole. 1. vydání. Praha : Státní pedagogické nakladatelství, 1957. 115 s.  
[7] - ČECH, Eduard. Čísla a početní výkony. . 1. vydání. Praha : Státní nakladatelství technické literatury, 1954. 246 s.  
[8] - HRUŠA, Karel; DLOUHÝ, Zbyněk ; MENCL, Josef . Aritmetika a algebra pro pedagogické instituty.. Praha : Státní pedagogické nakladatelství, 1964. 307 s.  
[9] - HRUŠA, Karel . Základy moderní matematiky pro učitele 1. – 5. ročníku ZDŠ, I. díl . Praha : Státní pedagogicé nakladateství, 1969. 159 s.  
[10] - KABELE, Jiří ; JANKU, Marie; HRUŠA, Karel. Matematika pro 2. ročník základní devítileté školy, pokusná učebnice. Praha : , Státní pedagogické nakladatelství, 1973. 69 s.  
[11] - KABELE, Jiří ; JANKŮ, Marie; HRUŠA, Karel . Matematika pro 2. ročník základní devítileté školy, pokusný učební text pro žáky I. část. 1973 : Státní pedagogické nakladatelství, 1973. 65 s.  
[12] - KABELE, Jiří ; JANKŮ, Marie; HRUŠA, Karel. Metodický text pro učitele k učebnici matematiky pro 2. ročník ZDŠ, pokusný text. Praha : Státní pedagogické nakladatelství , 1973. 226 s.  
[13] - KABELE, Jiří; JANKŮ, Marie ; HRUŠA, Karel . et al. Matematika pro 2. ročník základní školy, učebnice. Praha : Státní pedagogické nakladatelství , 1977. 94 s.  
[14] - KABELE , Jiří ; JANKŮ, Marie; HRUŠA, Karel. et al. Matematika pro 2. ročník základní školy, pracovní sešit pro žáky . Praha : Státní pedagogické nakladatelství, 1977. 64 s.  
[15] - KABELE, Jiří ; JANKŮ, Marie; HRUŠA, Karel . Metodický text pro učitele k učebnici matematiky pro 2. ročník ZŠ. Praha : Státní pedagogické nakladatelství , 1976. 279 s.  
Přílohy:
NáhledTypVelikostNázev
Odstranitdoc1709 kBObrázková příloha
Anotované odkazy:
Příspěvek nemá přiřazeny žádné anotované odkazy.
Přiřazené DUM:
 NázevAutor
Druháci a matematika 7 – Násobíme a dělíme do 20PaedDr. Marie Janků
Druháci a matematika 17, Násobíme, dělíme 5PaedDr. Marie Janků
Přiřazené aktivity:
Příspěvek nemá přiřazeny žádné aktivity.
V případě pochybností o aktuálnosti či funkčnosti příspěvku využijte tlačítko „nahlásit příspěvek“.
Nahlásit příspěvek
INFO
Publikován: 28. 06. 2011
Zobrazeno: 31551krát
TOP příspěvek
Hodnocení příspěvku
Hodnocení týmu RVP:
Hodnocení článku : 5

Hodnocení uživatelů:
Hodnocení článku : 5
Hodnotit články mohou pouze registrovaní uživatelé.

3 uživatelé Hodnocení článku : 5
zatím nikdo Hodnocení článku : 4
zatím nikdo Hodnocení článku : 3
zatím nikdo Hodnocení článku : 2
zatím nikdo Hodnocení článku : 1
Jak citovat tento materiál
JANKŮ, Marie. Jak učit násobení a dělení. Metodický portál: Články [online]. 28. 06. 2011, [cit. 2020-08-03]. Dostupný z WWW: <https://clanky.rvp.cz/clanek/c/násobení/12053/JAK-UCIT-NASOBENI-A-DELENI.html>. ISSN 1802-4785.
Licence Licence Creative Commons

Všechny články jsou publikovány pod licencí Creative Commons.


Komentáře RSS komentářů článku
1.Autor: Recenzent1Vloženo: 28. 06. 2011 14:59
Velmi hezky popsány metody při početních úkonech, historicky zajímavé, vedoucí k hlubšímu zamyšlení.
1.Autor: Mgr. Eva MacháčkováVloženo: 08. 10. 2011 17:05


Velice děkuji za skvělý průhled dějinami a vývojem metodických postupů násobení.

2.Autor: Ivan RyantVloženo: 09. 10. 2011 12:11

Když nás pan učitel Brejník učil násobit a dělit, připadalo mi, že na tom nic není - bylo to srozumitelné a snadné. Teď vidím, kolik pečlivé práce mnoha lidí se za tím skrývalo. Beru si poučení: důkladně pochopit a vysvětlit základní pojmy patří v didaktice k tomu nejobtížnějšímu, aby to pak pro žáky mohlo být stručné a srozumitelné. No, musím se ještě hodně snažit.

Vložit komentář:

Pro vložení komentáře je nutné se přihlásit.