Zobrazit na úvodní stránce článků

Na začátek článku
Titulka > Modul články > Gymnázium > Jak zní Pascalův trojúhelník

Ikona teoreticky

Jak zní Pascalův trojúhelník

Ikona odbornost
Autor: Petr Drkula
Anotace: Příspěvek popisuje možnosti uplatnění matematického pravidla (Pascalova trojúhelníku) jako východiska pro kreativní činnost v hudební výchově.
Obor příspěvku:Hudební výchova 2. stupeň
Klíčová slova: hudební kreativita, hudební tvořivost, improvizace, kompozice, matematika, Pascalův trojúhelník

Náměty pro praktickou činnost v rámci hudební výchovy nemusí vždy zahrnovat manipulaci s čistě hudebním materiálem, ale mohou vycházet z tvůrčího zpracování mimohudebních pramenů, obsahů a témat. Příhodnou studnici těchto podnětů nacházíme ve sféře ostatních vzdělávacích oblastí, ať už je jejich zaměření společenskovědní či přírodovědné; v obou těchto základních a rozsáhlých odvětvích můžeme nacházet hodnotné impulzy pro původní, živé a poutavé hudebně výchovné aktivity. Nezaujmou nás pouze svou nevšedností, ale především také svým mezioborovým přesahem, který tak zprostředkovaně zapojuje vícero okruhů výchovného působení a zasahuje širší rámec výukových cílů.

Výjimku v tomto didaktickém přístupu nepředstavují ani čistě exaktní studijní disciplíny a právě tyto předměty nabízejí bohatou škálu různorodých pojetí. V matematice se setkáváme s celou řadou pozoruhodných zákonitostí, jejichž umělecké ztvárnění může přinést ojedinělé estetické kvality. Podíváme-li se všeobecně na historický vývoj západní hudby poslední epochy, zvláště tvorba minulého století si vydobyla své tvůrčí stanoviska právě v kořenech formálního uvažování a nezřídka hledala své inspirace v čistě racionálních stránkách hudební mluvy. Za takové můžeme zajisté považovat již řadové techniky hudebního expresionizmu, pozdější experimenty se strukturami náhodných systémů apod. Naopak v kolébce západní vzdělanosti – starověkém školství – figurovala rovněž oblast hudebního umění jako součást matematických disciplín.

Podobně koncipovaná hudebně výchovná práce tedy neskýtá pouze neobvyklé a originální výsledky této aktivity a tomu úměrnou tvůrčí satisfakci, ale probouzí v účastnících také živý kontakt s uměleckou tvorbou posledních dekád. Přestože je dnes tento kontakt ve školním teritoriu poněkud sporadicky udržován, představuje jeden z důležitých kritérií korektního rozvoje hudebního povědomí mladého člověka. Jedním ze způsobů realizace takto orientovaného hudebně výchovného postupu je uplatnění některých známých principů a poznatků čerpaných z učiva matematiky, které jsou studentům známé nebo které teprve poznávají či by teprve poznat měli. Zajímavou ilustrací a kreativním východiskem může být například tzv. Pascalův trojúhelník.

1

1   1

1   2   1

1   3   3   1

1   4   6   4   1

1   5  10  10  5   1

1   6  15  20  15  6   1

atd.

Přestože z faktického hlediska je tento předpis především soustavou binomických koeficientů, z určitého pohledu nemusí znázorňovat pouze schéma kombinačních čísel, ale i určitý tvůrčí princip a řád, vhodný pro formování hudební struktury. Pokud by takovéto přenesení bylo na první pohled těžko představitelné, můžeme si připomenout jednu z aplikací tohoto uspořádání ve vizuální rovině. Jde o velice známý fraktální útvar nazvaný Sierpinského trojúhelník, který je v podstatě trojúhelníkem Pascalovým, v němž jsou všechna sudá čísla transparentní, čili nezobrazena:

Sierpinského trojúhelník
1. Sierpinského trojúhelník

Jeho výtvarně popisné provedení nám může být již z dřívější zkušenosti běžně povědomé a zajisté bychom snadno našli i další užití tohoto tématu v daném odvětví, avšak naším bezprostředním cílem je jeho adaptace ve znějící sféře slyšeného.

Toto zadání může být uskutečňováno mnoha různými způsoby a přístupy v závislosti na úvodním vymezení tvůrčích pravidel. Ty mohou být stanoveny na úrovni základních parametrů hudebního vyjadřování, a to například v oblasti:

1. zvukových (tónových) délek
2. zvukových (tónových) výšek
3. zvukové (tónové) intenzity
4. zvukové (tónové) četnosti
5. zvukového (tónového) charakteru

Tato osnova nám podává výčet různých možností, kterými se můžeme ubírat v tomto, ale i v jiných případech transformace podobných nehudebních podnětů a předloh, přičemž je zajisté možná také kombinace dvou i více těchto klíčových faktorů zvukové produkce. Podívejme se blíže na jejich jednotlivá uskutečnění.

1. zvukové (tónové) délky

Organizace struktury Pascalova trojúhelníku na základě tónových (zvukových) délek se bude řídit časově metrickými zákonitostmi, ať již uvažujeme v měřítku volných a časově přibližných celků, či pevných tempových vztahů, daných tradičním metrickým uspořádáním (⅛, ¼, ½ apod.). Jednotlivé binomické koeficienty trojúhelníku tak mohou zastupovat časové/tempové členění hudebního materiálu (tónů či zvuků), jehož sled pak podléhá logice výstavby tohoto útvaru – binomickému rozvoji. Zvolíme-li tedy jako základní časovou veličinu zvukový/tónový element o absolutní délce 1 sekunda nebo relativní ⅛ vzhledem k danému tempovému vymezení, budou jednotlivé koeficienty označovat sekundové, dvousekundové, třísekundové, čtyřsekundové atd., nebo osminové, dvouosminové (čtvrťové), tříosminové, čtyřosminové (půlové) a další rytmické jednotky. Praktická interpretace této znějící parafráze Pascalova trojúhelníku s těmito vlastnostmi, může být i dále podřízena řadě zákonitostí a předem stanovených pravidel. Určíme-li časovou osu takto vznikající hudební věty tím způsobem, aby postupovala shora dolů, tedy od prvního řádku trojúhelníku k nižším, vyvstává nám tak zvuková struktura s plynule přibývajícími hlasy, bez ohledu na to, zda se jedná o oddělené nástrojové party jednohlasých nástrojů, jako je třeba flétna, nebo souzvuky jednoho vícehlasého nástroje, jakým může být například klavír. V prvním případě se nabízí také příhodné prostorové rozmístění jednotlivých interpretů v souladu s geometrickým uspořádáním útvaru. Zvažujeme-li určité ztvárnění také druhé uvedené fraktální formy, Sierpinského trojúhelníku, mohou zaplněná místa na jeho povrchu znázorňovat noty či znějící prvky, naopak prázdná místa mohou představovat pomlky či momenty ticha.

2. zvukové (tónové) výšky

Nejpříhodnější uplatnění hlediska výškových poměrů se nabízí patrně v oblasti intervalových vztahů. Jednotlivé binomické koeficienty nám v tomto případě mohou označovat příslušné tónové intervaly jako 1 – prima, 2 – sekunda, 3 – tercie, 4 – kvarta atd. U číselně větších koeficientů je možné u těchto intervalů přistoupit i k jejich oktávovým transpozicím. Tato aplikace je využitelná jak na úrovni souzvuků, tak i v případě střídavých melodických kroků. V tónové oblasti bez přesně stanovené výšky se nabízí vymezení přibližných výšek na základě těchto číselných hodnot. Hrubá stupňovitá škála vyjadřující výšku těchto tónových/zvukových elementů je pak ve smyslu „hluboký – střední – vysoký" vyjádřena zvolenou stupnicí „1, 2, 3, 4 atd." I tento princip zaručuje plasticitu a znějící logiku takto pojaté interpretace dané zákonitosti.

3. zvuková (tónová) intenzita

Pokud si jako tvůrčí východisko stanovíme charakterově spíše homogenní materiál, který však může být výrazně dynamicky odstíněn, mohou jednotlivé koeficienty označovat měřítko dynamiky s nabízející se logikou: 1 – pp, 2 – p, 3 – mp, 4 – mf atd. Tyto dynamické kroky však nemusí být pouze strmé, ale je možné přijmout také crescendovou a decrescendovou formu hlasitostního nárůstu a poklesu. V případě instrumentálního vybavení s nízkou možností rovnoměrného dynamického stupňování budou tyto míry z pochopitelných důvodů opět aproximativní.

4. zvuková (tónová) četnost

Z jiného hlediska mohou čísla Pascalova trojúhelníku znázorňovat kvantitativní veličinu, jakou je tónová či zvuková četnost. V oblasti tónových i zvukových vztahů pak mohou čísla 1, 2, 3, 4 atd. z  hlediska vertikálního uvažování představovat jeden zvuk, dvojzvuk, trojzvuk, čtyřzvuk a podobně. Získáváme tak další možnou podobu strukturování, která plynule zahušťuje tento znějící útvar narůstající souzvukovou masou. Z hlediska uvažování horizontálního lze na základě vzrůstající číselné řady zmnožovat počet tónových/zvukových jednotek, které po sobě zazní v daném časovém úseku. Pokud je tento úsek udán například v délce jedné sekundy, binomický koeficient 1 označuje zaznění pouze jediného tónu v tomto intervalu; koeficient 2 označuje dva tóny atp. Čím větší počet tónu či zvuků je hrán, tím více se zkracuje jejich délka (doba trvání).

5. zvukový (tónový) charakter

Organizace skupiny odlišných zvuků či tónů na základě daného matematického pravidla vychází z přidělení jednotlivých koeficientů každému z reprezentantů užitého hudebního materiálu. Jsou-li jednotlivé znějící složky tohoto materiálu výrazně odlišeny kupříkladu z hlediska jejich barvy, bude tato diferenciace nejčastěji vymezena právě různými tónovými/zvukovými barvami. První barevnou složku tak bude reprezentovat koeficient 1, druhou koeficient 2, třetí 3 atd. Jejich uspořádaný výskyt v takto vznikající hudební struktuře je určován pořadím a umístěním jednotlivých buněk na mapě – „partituře“ trojúhelníka.

Uveďme si několik příkladů takto zaměřené hudebně kreativní práce, které ke zvukově prostorovému uspořádání přímo vybízejí. Příklad č. 1 reprezentuje asi nejtypičtější ztvárnění prvně zmiňovaného tvůrčího principu.

příklad č. 1
2. příklad č. 1

Jednotlivé instrumentální či zvukové party jsou označeny písmeny abecedy, přičemž samotná struktura jaksi nabádá k využití oné trojúhelníkové symetrie (A – I, B – H, C – G, D – F, E); tedy ke shodnému nástrojovému obsazení příslušných řádků partitury, které jsou navzájem souměrné podle osy E, a tedy obsahově totožné. Samotné rytmické hodnoty zde pak mohou udávat časové členění užitého hudebního materiálu či zvukových prostředků, které se v této formaci repetitivně vracejí, dokud není řídícím členem udán jejich konec a nástup následujících rytmických celků. Zápis je však proveden co nejobecněji, aby umožňoval i jiné kreativní konkretizace třeba i v rámci kolektivních aktivit ve třídě.

Příklad č. 2 vychází ze stejných fundamentálních zákonitostí jako příklad předchozí, s tím rozdílem, že místo rytmických jednotek se zaměřuje na výškové vztahy uvnitř jednotlivých partů tohoto hudebního kusu.

příklad č. 2
3. příklad č. 2

Jednotlivé římské číslice zde označují tónové intervaly a jako nejpříhodnější praktické naplnění těchto obecných struktur mohou být uplatněna hudební pásma tvořená libovolnými tremolovanými dvojzvuky odpovídajícího výškového ambitu.

Příklad č. 3 pak zcela jednoznačně reprezentuje další základní princip, kterým je intenzita; ta je odstupňována odpovídajícím dynamickým rozlišením.

příklad č. 3
4. příklad č. 3

Další dva příklady č. 4 a 5 ve své stavbě rozlišují zvukovou či tónovou četnost, a to jak v horizontálním, tak i ve vertikálním slova smyslu. V prvním případě jsou užity skupinky o různém počtu po sobě hraných tónů/zvuků. Ve druhém případě zase vidíme klastry, neboli tónové shluky, o nestejné hustotě či rozsahu.

příklad č. 4
5. příklad č. 4

příklad č. 5
6. příklad č. 5

Příklad č. 6 nabízí jednu z možností tvůrčí práce s rozličnými interpretačními prvky známými a užívanými v okruhu klasické hudební notace. Ty opět jen rámcově vymezují vnější strukturování libovolně voleného materiálu, který je v rámci provedení podroben těmto charakteristickým výrazovým činitelům.

příklad č. 6
7. příklad č. 6

Tyto jednoduché partitury samy o sobě skýtají mnoho prostoru a příležitostí pro individuální i skupinové kreativní zapojení a částečně i otevírají pole svobodné improvizaci. Mohou však zároveň ilustrovat a podnítit také odlišné pojetí tohoto principu a tvůrčího východiska a iniciovat další kompoziční úkoly a pokusy o ztvárnění a umělecké uchopení daného námětu. Je však také možné, že inspirují své interprety pro další podobně zaměřené zvukové průzkumy do jiných než čistě hudebních sfér našeho poznání.

Anotované odkazy:
Příspěvek nemá přiřazeny žádné anotované odkazy.
Přiřazené DUM:
Příspěvek nemá přiřazeny žádné DUM.
Přiřazené aktivity:
Příspěvek nemá přiřazeny žádné aktivity.
 
INFO
Publikován: 24. 11. 2009
Zobrazeno: 6709krát
Hodnocení příspěvku
Hodnocení týmu RVP:
Hodnocení článku : 2.3333

Hodnocení uživatelů:
Hodnocení článku :
Hodnotit články mohou pouze registrovaní uživatelé.

zatím nikdo Hodnocení článku : 5
zatím nikdo Hodnocení článku : 4
zatím nikdo Hodnocení článku : 3
zatím nikdo Hodnocení článku : 2
zatím nikdo Hodnocení článku : 1
Jak citovat tento materiál
DRKULA, Petr. Jak zní Pascalův trojúhelník. Metodický portál: Články [online]. 24. 11. 2009, [cit. 2019-09-22]. Dostupný z WWW: <https://clanky.rvp.cz/clanek/c/g/6289/JAK-ZNI-PASCALUV-TROJUHELNIK.html>. ISSN 1802-4785.
Licence Licence Creative Commons

Všechny články jsou publikovány pod licencí Creative Commons.


Komentáře
Příspěvek nebyl zatím komentován.
Vložit komentář:

Pro vložení komentáře je nutné se přihlásit.