Řešení problému se čtvercem

Nedávno jsem se zúčastnila vzdělávacího kurzu Cesta k dokonalému porozumění elementární matematice.¹ Prof. RNDr. Vlastimil Dlab, DrSc., F.R.S.C., nám hned na úvod zadal za domácí cvičení vyřešit následující problém:

ABCD je čtverec (v obecné poloze), jehož strana je a a p₁, p₂ jsou dvě rovnoběžky ve vzdálenosti a. Dokažte, že součet obvodů trojúhelníků AB₁D₁ a CD₂B₂ je konstantní (nezávislý na poloze čtverce ABCD).

1. náčrt

Podívejme se společně na tři možná řešení tohoto problému a zamysleme se nad tím, jaké znalosti je třeba předpokládat u žáků, aby mohli danou úlohu takto řešit. V první ukázce vybereme speciální polohy čtverce tak, aby řešení bylo velmi jednoduché. V druhé a třetí ukázce se již budeme zabývat obecnou polohou čtverce.

Řešení pythagorejské
Řešení goniometrické²
Řešení geometrické

Předložený Problém se čtvercem umožňuje zapojit do řešení žáky s různým stupněm matematických dovedností. Jestliže vaši žáci objeví další zajímavá řešení, zašlete je na adresu zelendova@rvp.cz. Rádi je na Metodickém portálu zveřejníme.

¹ Vzdělávací kurz, který pořádala MFF UK v rozsahu 24 vyučovacích hodin, byl určen učitelům matematiky ze základních a středních škol.
² Poděkování za toto řešení patří Janu Herzovi.