Domů > Odborné články > Gymnaziální vzdělávání > Konvergentní geometrická řada názorně
Odborný článek

Konvergentní geometrická řada názorně

9. 7. 2007 Gymnaziální vzdělávání
Autor
Jan Houska

Anotace

Součet konvergentní geometrické řady, příklady řešené graficky, aplikace stejnolehlosti

Předložené příklady jsou převzaty z publikace Roger B. Nelsena Důkazy beze slov s podtitulem Cvičení v názorném myšlení. Kniha uvádí řadu grafických "důkazů" - spíše demonstrací nebo ilustrací - pouček a vztahů středoškolské matematiky. Autor uvádí, že tato sbírka má dlouhou historii, jednotlivé příklady jsou vybrány z mnoha zdrojů. V publikaci jsou u jednotlivých příkladů připojena jména autorů.

Jedna část knihy je věnována součtu konvergentní geometrické řady. Jak je vidět z přiložených obrázků, konvergenci nekonečné geometrické řady (s kladným kvocientem menším než jedna) i její součet lze snadno určit z grafického znázornění pomocí podobnosti nebo stejnolehlosti. Pro dva stejnolehlé obrazce s žáky určíme střed stejnolehlosti a její koeficient. Dále ukážeme, že grafické znázornění odpovídá nekonečné geometrické řadě obsahů nebo (v příkladech 3 a 4) délek, že každý člen dané nekonečné řady je na příslušném obrázku obsažen a že taková konvergentní řada má součet, který lze jednoduchou geometrickou úvahou určit. Výsledek ověříme podle známého vzorce.

Příklady se týkají některých speciálních případů nebo součtu geometrické řady pro kladný kvocient v obecném případě. Navíc je demonstrováno sčítání hypergeometrické řady (příklady 5 a 6). Jednotlivé obrázky jsou uvedeny nebo doplněny stručným komentářem, který se snaží zachytit hlavní myšlenku příkladu. Doprovodné texty jsou vzhledem k originálu mírně upraveny a rozšířeny.

Náměty mohou sloužit jako propedeutika nebo znázornění limitního procesu a především jako názorná ukázka souladu geometrického pohledu se vzorcem pro součet konvergentní geometrické řady.

Použitá literatura:
Nelsen, R. B.: Proofs Without Words, Exercises in Visual Thinking, Classroom Resource Materials Number 1. The Mathematical Association of America, 1993, vii + 151 pp., 118 - 125.

Informační zdroje:

Nelsen, R. B.: Proofs Without Words, Classroom Resource Materials Number 1. The Math. Association of America 1993.

Soubory materiálu
Typ
 
Název
 
pdf
92.77 kB
PDF
Příklady ke stažení

Licence

Všechny články jsou publikovány pod licencí Creative Commons BY-NC-ND.

Autor
Jan Houska

Hodnocení od uživatelů

Článek nebyl prozatím komentován.

Váš komentář

Pro vložení komentáře je nutné se nejprve přihlásit.

Článek není zařazen do žádného seriálu.

Klíčové kompetence:

  • Gymnázium
  • Kompetence k učení
  • kriticky přistupuje ke zdrojům informací, informace tvořivě zpracovává a využívá při svém studiu a praxi
  • Gymnázium
  • Kompetence k řešení problémů
  • je otevřený k využití různých postupů při řešení problémů, nahlíží problém z různých stran

Průřezová témata:

  • Gymnaziální vzdělávání
  • Výchova k myšlení v evropských a globálních souvislostech
  • Globální problémy, jejich příčiny a důsledky

Mezioborove presahy:

Organizace řízení učební činnosti:

Individuální

Organizace prostorová:

Školní třída