Metodický portál RVP.CZ prochází změnami. Více informací zde.
logo RVP.CZ
Přihlásit se
Titulka > Modul články > Základní vzdělávání

Zobrazit na úvodní stránce článků

Titulka > Modul články > Základní vzdělávání > Čtyři geometrické příběhy

Čtyři geometrické příběhy

Teoretický příspěvek
odborný příspěvek
Příspěvek nabízí čtyři netradiční náměty na využití krátkých příběhu v matematice, konkrétně při řešení geometrických úloh.


Příspěvek byl převzat z čtvrtletníku pro kritické myšlení ve školách Kritické listy, vydávaného občanským sdružením Kritické myšlení.


Čtení textů není charakteristickým rysem vyučování matematice, přesto v něm hraje důležitou roli. V hodinách matematiky čteme nejen texty, ale i symbolické zápisy, tabulky, diagramy, grafy, schémata. Škála prostředků, jimiž v matematice reprezentujeme matematické poznatky a problémy, je rozmanitější než v jiných předmětech. Čtení zastává nejen funkci komunikační (ve smyslu sdělování informací), ale též motivační. Prostřednictvím čtení můžeme žáky uvést do matematické situace, vyzvat je k matematické diskusi, přimět je k řešení matematického problému.

Bohužel většina úloh v učebnicích matematiky tyto motivační cíle nesplňuje. Často jde o stručně formulované matematické problémy s přesně danými údaji potřebnými k jejich vyřešení. Taková forma zadání matematických úloh je zcela oprávněná, pokud je naším cílem procvičit užití určitého pravidla nebo postupu. Jen těžko si lze představit, že by žáci řešili samé problémové úlohy. Na druhou stranu nelze tento nedostatek „učebnicových" úloh přehlížet. Je třeba do výuky častěji zařazovat motivační úlohy, které rozvíjejí bohatší škálu dovedností, mezi nimi i čtenářské. Dokonce nemusí jít o matematickou úlohu, ale jen o popis určité zajímavé situace s matematickým podtextem, k níž žáci úlohy sami vytvoří.

V následujícím textu jsou uvedeny čtyři příběhy s komentáři k jejich užití ve vyučování matematice. V komentářích je také nastíněno, které čtenářské dovednosti může učitel jejich prostřednictvím u žáků rozvíjet:

  • čte text pozorně a s cílem porozumět
  • přizpůsobuje čtení záměru (volí vhodný způsob čtení)
  • interpretuje (a vizualizuje) čtený text
  • formuluje problém popsaný v textu a klade si k němu relevantní otázky
  • hledá v textu odpovědi na položené otázky
  • identifikuje informace v textu (rozlišuje podstatné od nepodstatného)
  • zaznamenává informace z textu potřebné k řešení problému
  • porovnává informace z textu se svými zkušenostmi a poznatky
  • na základě informací z textu vyvozuje závěry
  • posuzuje text z hlediska reálnosti a jednoznačnosti údajů

Příběhem se rozumí krátký, asi půlstránkový text s jednoduchou dějovou linií a popisem situace z reálného života. Zasazení děje do reálného prostředí usnadňuje žákům představit si popsanou situaci a umožňuje jim využít vlastních zkušeností. Strohé vypravování může být oživeno přímou řečí, personifikacemi apod. Důležité je, aby příběh obsahoval dostatečně nosnou matematickou myšlenku. Smyslem příběhu není totiž žáky jen zaujmout, ale především vyvolat v nich představu určité situace nebo získané zkušenosti.

Při sestavování příběhu je tedy důležité dodržet reálnost popsané situace a zacílení na konkrétní matematický problém. Matematizace příběhu, tj. vyjádření situace popsané v příběhu matematickými prostředky, představuje vstup do abstrahovaného světa matematiky. Je-li abstrakce unáhlená, žáci se v situaci neorientují a obtížně pronikají do podstaty problému. Předpokladem pro matematizaci příběhu je však soustředěné čtení a analýza textu. Toho lze u žáků docílit například výzvou k vlastnímu dokončení příběhu nebo k hledání „matematických" slov. Identifikací problému a vytvořením jeho matematického modelu sice příběh ustupuje do pozadí, ale zůstává situačním rámcem, ke kterému se můžeme při řešení problému vrátit.

PŘÍBĚH ZELENÁ ULICE

V příběhu je popsán geometrický problém, který se týká vzájemné polohy přímek. Smyslem příběhu není zavést pojmy rovnoběžnost a kolmost, ale objevit vztah mezi nimi:
Je-li přímka a kolmá k přímce b a zároveň k přímce c, pak přímky b, c jsou navzájem rovnoběžné.
Nebo: Jsou-li přímky b, c navzájem rovnoběžné a přímka a je kolmá k přímce b, pak přímka a je kolmá i k přímce c.
Rovnoběžné přímky v příběhu reprezentují ulice Listová a Větrná a kolmici k nim reprezentuje ulice Zelená. Otevřenost příběhu a nejednoznačnost popsané situace dává žákům prostor pro vlastní interpretaci nastíněné situace a zároveň je vede k uvědomění si vzájemné polohy klíčových ulic. Žáci se nejprve seznamují s příběhem a pak vytvářejí plány ulic, které jsou v něm jmenovány. Právě transformace symbolické reprezentace na ikonickou, ať spontánní či řízená, podněcuje žáky k provedení hlubší analýzy popsané situace.

foto
Žákovská práce - 5. ročník

Učitel přečte žákům nedokončený příběh Zelená ulice a poté je vyzve, aby si příběh sami znovu přečetli a třemi až pěti větami jej dokončili. Několik žáků přečte své verze příběhu, přičemž učitel je nijak nekomentuje. Smyslem dokončení příběhu je podrobné seznámení se s textem, zejména s popsanou geometrickou situací.

Žáci se většinou soustředí na děj příběhu a geometrii ulic vnímají okrajově, proto je třeba je ke geometrizaci dovést. Učitel vyzve žáky, aby v textu vyhledali a podtrhli všechna slova, která používáme v geometrii. Mezi nejčastěji uváděná slova patří: vlevo, na opačnou stranu, zatočit, vpravo, rovně, vpravo, shora, nejkratší, kolmá, rovnoběžná. Výčet slov bývá různý: žáci, u nichž je geometrie zúžena na planimetrii (tzn. geometrii v rovině), popřípadě rýsování, uvádějí často jen slova strana, kolmá, rovnoběžná, zatímco u žáků, kteří vnímají geometrii obecněji, je výčet „geometrických" slov bohatší.

Uvedená slova jsou součástí popisu polohy ulic. Učitel tedy zaměří pozornost žáků na ulice, o nichž se v příběhu hovoří. Společně vytvoří seznam ulic a připomenou si vše, co se o nich dozvídají z textu. Učitel vyzve žáky, aby zjištěné informace graficky znázornili - nakreslili plánek ulic. Nejprve pracuje každý žák sám, potom kreslí společný plánek ve skupině. Postupy, které žáci při kreslení plánků ulic uplatňují, jsou rozmanité. Někteří sledují dějovou linii příběhu a snaží se kreslit ulice v pořadí, jak jsou uvedeny v textu. Jiní postupují odzadu. Nejednoznačnost popsané situace je pro některé žáky nepřekonatelnou překážkou - neumějí si vytvořit vlastní představu. Skupinová práce je příležitostí nejen k získání chybějící představy nebo porovnání plánků, ale také k ověření, zda polohu ulic znázornili správně. Žáci diskutují o svých návrzích a hledají argumenty v textu.

Plánky, které žáci vytvořili ve skupině, jsou vystaveny na tabuli a společně posouzeny. Plánky se většinou shodují jen částečně, což je dáno různou interpretací údajů z textu. Podstatné je, aby ulice Listová a Větrná byly v plánku znázorněné jako rovnoběžné a ulice Zelená jako na ně kolmá. Žáci ověřují správnost jednotlivých plánků tím, že z textu zjišťují, zda zakreslená poloha dané ulice je možná, či nikoliv. V rámci reflexe se žáci vracejí ke svému dokončení příběhu a posuzují, zda nejsou v rozporu s plánky ulic.

PŘÍBĚH V ZÁMECKÉ ZAHRADĚ

Příběh V zámecké zahradě je možné použít jako úvod do problému konstrukce obrazce v reálném prostředí (tzv. provázkové geometrie). Situace popsaná v příběhu vede žáky k několika geometrickým úlohám. Jednou z nich je konstrukce čtverce, resp. pravého úhlu, jež představuje dějovou zápletku a v příběhu je záměrně zamlčena. Mezi další patří vytváření čtvercových ornamentů s využitím poznatků o souměrnosti útvarů podle osy nebo středu.

Po přečtení příběhu V zámecké zahradě položí učitel žákům otázku: Jak Katka s Martinem vykolíkovali čtvercový záhon? - a dá jim čas, aby si text sami znovu přečetli a odpověď promysleli. Učitel odpovědi žáků komentuje tak, aby si všichni ujasnili, jaké vlastnosti má čtverec a které prostředky mohou pro jeho konstrukci použít. Poté je vyzve, aby ve čtyřčlenných skupinách provedli a popsali konstrukci pomocí provázku.

Každá skupina prezentuje svůj postup a učitel za účasti žáků hodnotí jeho správnost (zda sestrojený útvar je čtverec a zda byly použity jen povolené prostředky, tj. provázek a kolíky). V diskusi společně řeší otázku, jak lze sestrojit rovnoběžky a pravý úhel a jak zřejmě postupovali Katka a Martin z příběhu.

Na závěr žáci konstruují pomocí provázku libovolný čtvercový ornament jako návrh pro květinový záhon do zámecké zahrady a popisují postup jeho konstrukce.

Poznámka: Užití provázkové geometrie ve vyučování, které probíhá v běžné učebně, přináší některá úskalí. Žáci bývají vynalézaví a v konstrukcích používají „nepovolené" pomůcky (např. pravítko nebo hrany lavice), proto ideálním prostorem pro tuto aktivitu je louka nebo jiné volné prostranství.

PŘÍBĚH POŠTOVNÍ SCHRÁNKA

Příběh Poštovní schránka (publikován již v Učitelském NÁPADníku) lze použít k uvedení tématu Thaletova věta - objevení Thaletovy kružnice jako množiny bodů dané vlastnosti. Výchozí situace není v hodině reprezentována obvyklým obrázkem kružnice opsané pravoúhlému trojúhelníku, ale je popsána příběhem s reálným základem a prvky personifikace. Cílem je popsanou situaci geometrizovat - dovést žáky ke geometrické interpretaci štěrbiny ve schránce jako úsečky konstantní délky a obálky jako obdélníku, resp. jejího rohu jako pravoúhlého trojúhelníku, vyslovit hypotézu, že imaginární křivkou je kružnice, a poté ji dokázat. Při analyzování situace žáci čerpají ze svých zkušeností a poznatků o útvarech, které jsou v příběhu zmíněny. Vytvoření představy lze podpořit užitím modelu, pomocí kterého je názorně demonstrován pohyb rohu obálky ve štěrbině schránky.

Učitel přečte žákům příběh Poštovní schránka, přičemž čtení přeruší ve větě: Již chce vykřiknout... - a vyzve žáky, aby si jej znovu přečetli a třemi až pěti větami dokončili. Dva nebo tři žáci prezentují své verze příběhu, pak dočte příběh učitel. Žákovské verze příběhu učitel nekomentuje, pouze v případě, že jsou ve zřejmém rozporu s popsanou situací, na tuto skutečnost upozorní.

Geometrizace situace popsané v příběhu je prováděna v několika krocích. Žáci nejprve podtrhávají v textu slova, s nimiž se setkávají v geometrii, poté hledají v textu větu, která vystihuje nejdramatičtější okamžik příběhu (opisuje imaginární křivku při přehlídce trojúhelníků). Učitel demonstruje pohyb rohu obálky ve štěrbině schránky na názorném modelu. Cílem je dovést žáky k interpretaci štěrbiny ve schránce jako úsečky konstantní délky a obálky jako obdélníku, respektive jejího rohu jako pravoúhlého trojúhelníku.

Na základě vizualizace uvedené situace žáci vysloví domněnku, že množinou vrcholů pravoúhlých trojúhelníků je kružnice, a poté se snaží prokázat její pravdivost. Žáci obvykle nemají potřebu matematická tvrzení dokazovat, protože jim věří. Jejich přesvědčení o pravdě může učitel zviklat, v tomto případě tvrzením, že imaginární křivkou je elipsa. Zároveň je třeba, aby učitel žákům ukázal, jak mají při důkazu postupovat, zformuloval předpoklad a dokazované tvrzení.

foto

PŘÍBĚH VĚČNÍ RIVALOVÉ

V příběhu Věční rivalové je popsaná situace zacílena na Pythagorovu větu. Příběh je otevřený, čímž poskytuje podnět k diskusi a k řešení otázek, týkajících se například tvaru a velikosti terasy. Ústředním problémem je pokrývání roviny čtverci a tvrzení o počtech dlaždic. Vizualizace popsané situace je cestou k osvětlení daného problému.

Po přečtení příběhu žáci shrnou základní fakta uvedená v textu a zformulují otázky, které je k příběhu napadají. Prostřednictvím těchto otázek v podstatě formulují úlohy a jejich řešením získávají vhled do geometrické situace, která je v příběhu nastíněna. Součástí řešení úloh je vizualizace dané situace a vymezení kvantitativních údajů (kolik použili dlaždic, jaké měly rozměry apod.). Na základě těchto informací mohou žáci nahlédnout podstatu problému a příběh dokončit tak, aby informace v něm uvedené nebyly v rozporu a odpovídaly realitě.

Příspěvek vznikl v rámci grantového projektu GA AVč. KJB700190701.



ROUBÍČEK, Filip. Čtyři geometrické příběhy. Kritické listy. Čtvrtletník pro kritické myšlení ve školách. 2007, č. 27, s. 24-27. ISSN 1214-5823.

V případě pochybností o aktuálnosti či funkčnosti příspěvku využijte tlačítko „Napište nám“.
Napište nám
Celkové hodnocení článku
Přidat komentář Citovat článek