Metodický portál RVP.CZ prochází změnami. Více informací zde.
logo RVP.CZ
Přihlásit se
Titulka > Modul články > Základní vzdělávání

Zobrazit na úvodní stránce článků

Titulka > Modul články > Základní vzdělávání > Různé způsoby odhadování výsledků početní...

Různé způsoby odhadování výsledků početní operace se zlomky, s ohledem na přesnost odhadu a na problémy, kterým žáci při vzdělávání čelí

Matematickou gramotnost v tematické oblasti „Číslo a proměnná“ se zaměřením na provádění odhadu výsledku součtu a rozdílu zlomků s různými jmenovateli lze procvičovat tím, že žáci za pomoci vlastní na 3D tiskárně vyrobené didaktické pomůcky využívají svých praktických poznatků v oblasti porovnávání obsahů kruhových výsečí o stejném poloměru, jako je tomu např. při konzumaci dílků pizzy.
To vede k utváření vizuální interpretace smyslu zlomku coby vyjádření podílu z celku, a tudíž k rozvíjení klíčových kompetencí v práci se zlomky, zejména v chápání odlišných vlastností čitatele a jmenovatele ve zlomku, a tedy k nutnosti transformace zlomků na společného jmenovatele ještě před zahájením příslušné početní operace.
Samotná didaktická pomůcka slouží k přibližné představě o velikosti výsledného čísla, ale i ke zpětnému ověření správnosti početní operace.

Projekt PPUČ, financovaný z Evropských strukturálních a investičních fondů, podporuje pedagogy mateřských a základních škol v jejich snaze rozvíjet čtenářskou, matematickou a digitální gramotnost dětí a žáků. Jeho realizaci zajišťuje Národní pedagogický institut České republiky (NPI ČR).

V rámci tematické oblasti „Číslo a proměnná“ se žáci II. stupně ZŠ učí zaokrouhlovat a provádět odhad s danou přesností. Článek prezentuje dva používané způsoby zaokrouhlování a odhadování výsledků početní operace se zlomky s různými jmenovateli.

Cílem tohoto článku je rozšířit způsoby, jak mohou žáci odhadovat výsledky početních operací se zlomky s různými jmenovateli za pomoci vlastní 3D tiskem vyrobené didaktické pomůcky, a pomoci jim tak lépe chápat probíranou látku a eliminovat běžné chyby.

Autor díla: Radek Novotný

 Obr. 1. Didaktická pomůcka pro odhad výsledku početní operace se zlomky (verze zlomky)

Navrhovaný způsob umožňuje míru přesnosti odhadu na desetinné místo a zároveň v žácích zachovává vizuální vjem zlomku jako poměrného čísla, či podílu vůči celku. 

Navržená didaktická pomůcka senzoricky (různý počet a různý tvar dílků) zvýrazňuje odlišné vlastnosti čitatele a jmenovatele zlomku a zároveň vizuálně (barevně) zvýrazňuje jejich komplexitu ve vztahu k jiným zlomkům.

Tím navržená metoda snižuje obvyklá nepochopení a omyly, kterých se žáci při práci se zlomky s různými jmenovateli dopouštějí.

Základní požadavky na didaktické pomůcky

Obecně lze říci, že existuje řada způsobů, jak odhadovat výsledky matematických operací se zlomky (sčítání, odečítání).

Které pedagog vybere, závisí na tom, jak velkou míru přesnosti chce zvolit, jaký druh didaktického zjednodušení chce akceptovat a jakou míru „pokřivení“, či zamlžení důležité matematické znalosti (vzdělávacího poznatku), chce tolerovat. 

Didaktické zjednodušení nesmí pokřivit matematický pojem (představu) a jednotlivé znalosti nemohou být představovány tak, aby v budoucnu vyžadovaly nutnost jejich „přeučení“ (zcela nový výklad)1

Naopak didaktická učební pomůcka by měla podnítit a nasměrovat vytváření správného obrazu žáka o probírané matematické vědomosti/znalosti, a to na základě senzorického vnímání, a měla by umět zprostředkovat porozumění obsahu daného látky1

Další aspekt (princip), který by měl pedagog při výběru didaktické pomůcky či způsobu odhadu výsledků zohlednit, je princip uvědomování (awareness). 

Měl by totiž učit žáka nejen jak postupovat při řešení matematického úkolu, ale učit je i proč postupovat tímto směrem1.

Problémy při početních operacích se zlomky2

S jakými problémy se žáci při početních operacích se zlomky potýkají, kde dělají nejčastěji chyby? 

a) žáci mají problém pochopit smysl zlomku, takže ke zlomkům přistupují stejně, jako by to byla celá čísla (Whole number bias)2

b) žáci chápou čitatel a jmenovatel ve zlomku odděleně.

Nejlépe se to pozná při sčítání (odečítání) zlomků s různými jmenovateli, kdy sečtou (odečtou) zvlášť čitatele a zvlášť jmenovatele. Dále např. nechápou, proč je tento postup při násobení správný a při sčítání chybný.

c) žáci nechápou smysl jmenovatele (zejména při početních operacích se zlomky s různými jmenovateli).

Způsoby odhadování výsledků početních operací

K odhadování výsledku při početních operacích (součet či rozdíl) zlomků s různými jmenovateli se používá několik přístupů, které se liší v přesnosti (míře odhadu) a v didaktičnosti toho, jakým způsobem řeší převod zlomků na společného jmenovatele. Neboli, jak názorně vysvětlují žákům vlastnosti zlomků jako části celku, resp. jak tuto charakteristiku vybrané metody naopak „rozostřují“.

V článku2 citovaná literatura uvádí tyto dva způsoby odhadu výsledku:

A) Transformace zlomků na společného jmenovatele se řeší přiřazením jednotlivých zlomků k předem definované srovnávací hodnotě.

Autor díla: Radek Novotný

 Obr. 2. Znázornění metody odhadu početní operce se zlomky přiřazením zlomků k předem definované srovnávací hodnotě3

V tomto případě probíhá transformace zlomků na společný jmenovatel tak, že žáci posoudí velikost čitatele vůči jmenovateli a porovnají výsledek se srovnávacími hodnotami (0, 1/2 a 1).

Pokud je čitatel mnohem menší než jmenovatel, přiřadí zlomku srovnávací hodnotu 0, pokud je hodnota čitatele téměř stejně velká jako jmenovatele, přiřadí zlomku 1, a pokud je jeho hodnota něco mezi tím, přiřadí zlomku 1/2.

Tím získají racionální čísla, se kterými již provedou příslušnou početní operaci.

B) Transformace zlomků na společného jmenovatele se provádí graficky jako počet dílů na číselných osách.

Autor díla: Radek Novotný

 Obr. 3. Znázornění metody odhadu početní operce se zlomky grafickým sčítáním na číselné ose

Žáci nakreslí úsečky stejné velikosti a rozdělí je na stejně velké díly v počtech shodujících se s hodnotami zlomků ve jmenovatelích. Na takto vytvořených číselných osách vyznačí tolik dílků, jaké jsou hodnoty zlomků v čitatelích.

Grafickým sečtením/odečtením takto zkonstruovaných úseček získají odhad výsledku.

K těmto dvěma metodám nabízíme použití didaktické pomůcky vytvořené na 3D tiskárně.

C) Transformace zlomků na společného jmenovatele je řešena tak, že je ztvárněn jako plocha kruhové výseče o stejném poloměru, ale odlišné velikosti úhlů.

Autor díla: Radek Novotný

 Obr. 4. Didaktická pomůcka pro odhad výsledku početní operce se zlomky (verze – desetinná čísla)

Vlastnost jmenovatele zlomku je interpretována přirovnáním k obsahu (množství jídla) v dílku pizzy.

Podstatou didaktické pomůcky jsou vytištěné různé kruhové výseče (ve formě puzzle), kdy plocha vyjadřuje podíl neboli zlomek z obsahu kruhu.

Převod na společný jmenovatel je řešen tím, že všechny kruhové výseče mají stejný poloměr, takže úhel, který ramena svírají, je u různých jmenovatelů různý.

Prostým poskládáním jednotkových výsečí dohromady se získají příslušné zlomky a jejich přiřazením vedle sebe (sčítání), či přes sebe (odečítání) se odečte výsledná pozice všech kruhových výsečí na ciferníku.

Cíle kognitivní

Pochopit vlastnost čitatele zlomku tím, že žák musí vyhledat příslušný počet jednotkových kruhových výsečí a pospojovat je dohromady. Kdy čím je číslo v čitateli větší, tím je výsledná kruhová výseč větší (má větší obsah). Dosažení kognitivního poznatku je podpořeno jak vizuálně, tak hapticky. 

Pochopit vlastnosti jmenovatele zlomku na základě vizuálního rozeznání odlišných velikostí obsahů díky tomu, že kruhové výseče zlomků s různým jmenovatelem (při stejném poloměru) svírají jiný úhel.

Tedy čím je číslo ve jmenovateli větší, tím je obsah jednotkového zlomku menší.

Odlišení zlomků s různými jmenovateli je podpořeno i barevným vjemem tím, že jednotkové zlomky různých jmenovatelů jsou vytištěny (v limonkové verzi vyplněny) plastem s jinou barvou.

Dosažení kognitivního poznatku je podpořeno vizuálně. 

Pomůcky:

Pedagog má k dispozici STL soubory kruhových výsečí jednotkových zlomků s různými jmenovateli v podobě dílků skládačky puzzle pro snadné spojování.

 

Autor díla: Radek Novotný

Obr. 5 Sada jednotkových zlomků různých jmenovatelů vyrobených klasickým 3D tiskem

STL soubory jsou ve variantě pro tisk na 3D tiskárně celých dílků, nebo v litmonkové verzi pro 3D tisk šablon na papír s jejich následným vyplněním 3D perem a sejmutím z podkladu ponořením litmonek do teplé vody (videonávod na postup při výrobě litmonky naleznete na https://youtu.be/d4daeRTNkPM nebo na https://youtu.be/rlwi4euYTlw).

 

Autor díla: Radek Novotný

Obr. 6. Sada jednotkových zlomků různých jmenovatelů vyrobených limonkovou metodou 3D tisku pro začátečníky

Pedagog může s žáky vyrobit i sadu konkrétních zlomků vyplněním příslušných polí litmonkové mřížky.

 

Autor díla: Radek Novotný

 Obr. 7. Sada mřížkových šablon pro výrobu konkrétních zlomků různých jmenovatelů

Po vyplnění litmonek a po odstranění z podložky zbývající nevyplněné části mřížky odpadnou.

Autor díla: Radek Novotný

Obr. 8. Zlomky vyrobené limonkovou metodou 3D tisku pro začátečníky

Dále je k dispozici STL soubor pro výrobu ciferníků (viz obr. 1, 4 a 9)

Postup práce s didaktickou pomůckou

Žák před realizací početní operace provede odhad výsledku tím, že vybere z připravené sady jednotkových zlomků daného jmenovatele tolik kusů, které odpovídají číslu v čitateli zlomku prvního sčítance/menšence. Dílky skládačky spojí dohromady tak, že jako první puzzle použije dílek, který má oko. V případě použití sady s konkrétními zlomky v podobě kruhových výsečí (viz obr. 7 a 8) vybere konkrétní výseč.

Skládačku žák navlékne na hrot uprostřed ciferníku.

Stejným postupem poskládá i zlomky dalších sčítanců/menšitele. V případě sčítání žák pospojuje jednotlivé skládačky dohromady za sebe.

 

Autor díla: Radek Novotný

Obr. 9. Odhad výsledku početní operace sčítání zlomků (limonková verze)

V případě odečítání zlomků tyto skládačky položí na sebe a společně je natočí tak, aby krajní rameno vrchního zlomku s menší kruhovou výsečí (menšitele) bylo v počátku (odečítá se pouze obsah spodní kruhové výseče menšence, která není zakrytá).

Autor díla: Radek Novotný

Obr. 10. Odhad výsledku početní operace odečítání zlomků (verze z klasického 3D tisku)

Výsledný odhad žák odečte podle pozice hrany posledního jednotkového zlomku menšence na ciferníku.

Po odečtení hodnoty získá žák představu o řádu budoucího výsledného čísla a zároveň může tento odhad zpětně porovnat s vypočteným zlomkem tak, že výsledek převede na kalkulačce na desetinné číslo. Přibližná shoda těchto čísel zakládá vysokou pravděpodobnost správnosti výpočtu.

Bez tohoto ověření musí žák spoléhat na názor pedagoga, či většinový názor svých spolužáků (tzv. „mně to vyšlo taky“).

Kritérium hodnocení

Žák dokáže převést hodnotu čitatele ve zlomku na počet jednotkových kruhových výsečí.

Podle hodnoty zlomku ve jmenovateli dokáže žák vybrat správnou sadu jednotkových zlomků.

Poskládáním kruhových výsečí – znázorňujících jednotkové hodnoty zlomků vedle sebe dokáže žák vizuálním srovnáním porovnat celkové velikosti jejich obsahů a rozhodnout, který zlomek je větší.

Poskládáním kruhových výsečí za sebe dokáže žák opticky sečíst jejich úhly a současně odečíst na ciferníku přibližný součet/rozdíl – odhadnout výsledek s danou přesností.

Chápe, že teprve poté, co převede zlomky na stejného jmenovatele – obsahy kruhových výsečí o stejném poloměru –, může zlomky s různými jmenovateli sčítat či odčítat. A na základě příkladu sčítání/odečítání obsahů kruhových výsečí dokáže vysvětlit proč.

Reflexe

Barevná vizualizace kruhových výsečí jednotkových zlomků s různým jmenovatelem (při 3D tisku jednotlivých dílků se zlomky o různých jmenovatelích se použijí materiály různých barev / v limonkové verzi se vyplňují 3D perem s filamentem různé barvy) se ukáže jako významná zejména při početní operaci odečítání zlomků, kdy se skládačky na ciferníku překrývají.

Žák zpětně hodnotí, zda zapamatování si vizuálního tvaru kruhové výseče daného zlomku mu pomohlo pochopit odlišné vlastnosti čitatele a jmenovatele ve zlomku, a tudíž smysluplnost pravidla převedení zlomků na stejného jmenovatele před požadovanou početní operací.

V případě pochybností o aktuálnosti či funkčnosti příspěvku využijte tlačítko „Napište nám“.
Napište nám