Jak řešit aplikační úlohy

Nikdo nezačíná dílo od prvopočátku, nýbrž se chápe nitky z minulosti a spřádá ji dál.
(Dygasiňski)

Matematické aplikační úlohy jsou úlohy, které tvoří námět, jímž je přirozená situace, jev, děj z běžného života nebo praxe související s některým (jiným než matematickým) vědním oborem. V takové úloze bývá formou otázky nebo příkazu vyjádřen problém, který z popsané situace vyplývá a který je možno řešit matematickými prostředky. Každá matematická aplikační úloha má tedy námět a obsah. Obsahem úlohy je její matematická stránka, kterou řešitel v průběhu řešení z aplikační úlohy vyčleňuje.

Aplikační úlohy jsou důležitou součástí vyučování matematice, neboť při jejich řešení žáci poznávají význam matematických poznatků získávaných pro běžný život, učí se chápat matematiku jako zdroj prostředků pro řešení praktických úkolů, učí se vidět v okolním prostředí taková fakta a zákonitosti, která mohou být vyjádřena matematicky.

Důležitost aplikačních úloh si uvědomovali naši metodici již v dávné minulosti, kdy se rozlišovalo počítání prosté a počítání užité, počty sousudkové – později se mluvilo o počtech úsudkových (poměry a srovnalosti) - a úlohách algebraických. V metodice počtů F. Močnika [1] se píše: „ Při počítání buďto jsou výkony k hledanému číslu již dány, takže se jedná o užívání jich; anebo výkony ty nejsou naznačeny, nýbrž musejí z poměrů, v úkolu samém obsažených rozumným uvažováním teprve odvozeny býti. Onde slove počítání čisté či prosté, tuto pak počítání užité. Ono první zakládá se pouze na jasném poznání čísel a jejich vzájemné odvislosti, nepožadujíc žádných dalších známostí věcných; toto však vyhledává spolu se známosti poměrů věcných v úkolu obsažených.“ Později se v našich metodikách mluvilo o slovních úlohách ve smyslu aplikačních úloh. Zdůrazňoval se jejich význam nejen pro praktické využití, ale i pro rozvoj logického myšlení.

Zdůrazňování významu aplikačních úloh pro rozvoj logického myšlení se projevovalo v našich učebnicích vydávaných v padesátých a počátkem šedesátých let [2, 3, 4, 5], kde bylo zařazováno v každém tématu poměrně hodně aplikačních úloh. V tom se výrazně projevovala náročnost těchto učebnic. Zvláště pak náměty úloh byly často takové, že jim žáci ani nemohli rozumět. Bylo to zásobování, výroba, práce v továrnách apod. Vysoká náročnost aplikačních (slovních) úloh často způsobená právě náměty úloh činila na školách značné potíže. Proto byly při úpravách osnov a didaktických materiálů v šedesátých letech vynechány příliš složité druhy aplikačních úloh. Náměty úloh však často nadále neodpovídaly zkušenostem a znalostem žáků získaných v běžném životě nebo ostatních vyučovacích předmětech. Autoři učebnic vedeni cílem vytčeným v osnovách počtů „…seznamovat se s hospodářskou stránkou věcí a jevů okolního života…“ volili náměty úloh z hospodářství a výroby, které neodpovídaly zkušenostem žáků, např. v úlohách v učebnici pro 3. ročník z r. 1962 [6] se mluví  o betonových nosnících, šířce bubnu mlátičky apod.

V učebních materiálech (učebnice, pracovní sešity, metodické příručky) vydávaných od r. 1976, které byly zpracovány na základě několikaletého výzkumu, byla aplikačním úlohám věnována velká pozornost. Vzhledem k tomu, že v nich bylo zavedeno i porovnávání čísel (5< 8) a jednoduché nerovnice (n > 12), byly zde zařazeny mimo obvyklé úlohy, jejichž matematickou stránkou jsou početní operace i aplikační úlohy, také úlohy s matematickou stránkou nerovnosti a nerovnice.

Aplikační úlohy zde byly zadávány formou obrázků konkrétních situací a postupně s rozvojem čtenářské dovednosti žáků byly zadávány i formou tištěného textu. Žáci se tak učili od 1. ročníku aplikační úlohy formulovat k obrázkům vytištěným v pracovních sešitech. Vyučující vedl žáky k formulaci úlohy tak, že jim určil, k čemu se má vztahovat otázka. Žáci se učili k téže reálné situaci formulovat tři navzájem související úlohy. Např. v 1. ročníku se podle obrázku, na němž chlapec drží 6 květin a koza má v tlamě 4 květiny, tvořily a řešily tři úlohy:

1. Ondra šel blahopřát babičce k narozeninám. Nesl jí kytici. Na dvorku byla koza a 4 květy mu z kytice ukousla. V ruce mu zůstalo 6 květin. Kolik květin měl v kytici?
2. Ondra šel blahopřát babičce k narozeninám. Nesl jí kytici, ve které bylo 10 květů. Na dvorku byla koza a 4 květy mu z kytice ukousla. Kolik květin zůstalo v kytici?
3. Ondra šel blahopřát babičce k narozeninám. Nesl jí kytici, ve které bylo 10 květů. Na dvorku byla koza a několik květů mu z kytice ukousla. V ruce mu zůstalo 6 květin. Kolik květů koza ukousla?

Žáci se tak učili úlohy nejen řešit, ale i formulovat. Zároveň tak byl vyřešen i problém tzv. úloh nepřímých, tj. takových úloh, v nichž se něco ubralo (koza ukousla květy) a úloha se neřeší odčítáním, k čemuž kdysi žáci spontánně směřovali, protože se jim odčítání objasňovalo pomocí ubírání a sčítání pomocí přidávání.

Formulace úlohy žáky je důležitá pro rozvoj jejich vyjadřovacích schopností. Zrovna tak vhodně volený námět úlohy může přispět k prohloubení mezipředmětových vztahů. Je to např. historie a zeměpis, kde je možné čerpat vhodné náměty aplikačních úloh. Umět si naformulovat úlohu na základě dané situace je nezbytné pro běžný život.

Při řešení úloh se žáci učili vybírat z textu úlohy potřebné údaje a doplňovat, popř. zapisovat stručný záznam úlohy. Návyk provádět stručný záznam při řešení problému je pro běžný život poměrně důležitý. Vždyť účet v obchodě při nákupu potravin je takovým stručným záznamem, který kupující využije i doma při kontrole nákupu; rovněž tak je to i rozpis výdajů v domácnosti a pod.

Stručný záznam úlohy je nezbytný v případě, že je úloha formulována ústně. Při písemném zadání úlohy může stručný záznam spočívat v tom, že se podtrhnou nebo jinak zvýrazní údaje potřebné k řešení úlohy a otázky – vyjádření problému. Stručný záznam úlohy usnadňuje žákům orientaci v zadání úlohy, úloha se stává přehlednější, a tak se stručným záznamem úlohy připravuje její rozbor, při němž se žáci nemusí vracet k zadání úlohy. Stručný záznam úlohy se v následujícím kroku jejího řešení, tj. hlavně při rozboru úlohy, postupně ještě doplňuje.

Při tradičním vyučování počtům nebyl význam stručného záznamu v praxi našich škol doceňován. Přestože se v osnovách z šedesátých let požadovalo, aby se žáci naučili od 3. ročníku stručně zapisovat podmínky a otázku úlohy, učitelé tento úkol pro jeho časovou náročnost neplnili.

Systematický nácvik stručného záznamu úlohy se do praxe našich škol dostal až se zavedením pracovních sešitů v rámci realizace nového pojetí vyučování matematice (r. 1976). Žáci 1. ročníku samozřejmě stručný záznam úlohy ještě neprováděli. Ilustrační obrázek byl zadáním úlohy i jejím stručným záznamem. Později stručný záznam v pracovním sešitě doplňovali nebo se stručný záznam prováděl pouze na tabuli. Neznámé údaje se ve stručném záznamu zapisovaly pomocí písmen. Stručný záznam úlohy býval někdy pro žáky připraven a jejich úkolem pak bylo na základě stručného záznamu úlohu formulovat. V průběhu stručného záznamu úlohy se prováděl i její rozbor, kdy se určují vztahy mezi otázkou a danými údaji.

Při rozboru úlohy je důležité vycházet od otázky. Určují se údaje, které jsou potřeba k tomu, aby bylo možno na otázku odpovědět. Je-li jeden popř. více údajů neznámých, utvoří se nová otázka - úloha, jak je třeba tento údaj určit. Tak se pokračuje, až se dojde k takové jednoduché úloze, k jejímuž řešení jsou potřebné údaje dány.

V průběhu rozboru úlohy se provádí i schematický záznam úlohy (znázornění úlohy), kterým bývá obvykle diagram popř. více diagramů nebo geometrické popř. jiné schéma (graf, číselná osa). Správně provedené schéma umožňuje odpoutat se od námětu aplikační úlohy a zaměřit se na matematický záznam úlohy. Schematický záznam úlohy musí být pro žáky přehledný, musí být zpracován tak, aby v něm žáci vztahy existující v úloze viděli, aby v něm viděli i závislosti, popř. děj probíhající v situaci v úloze popsané.

Při tradičním vyučování počtům se úlohy nejčastěji znázorňovaly úsečkami. V učebních osnovách počtů z r. 1960 bylo jedním z cílů řešení úloh naučit žáky od 3. ročníku znázorňovat úlohy úsečkami. Takové znázorňování úloh bylo však pro žáky abstraktnější než záznam úlohy operacemi sčítání, odčítání, násobení, dělení, neboť nebylo možno navázat na zkušenosti žáků se znázorňováním numerických příkladů ani na poznatky o číselné ose. A ani znalosti žáků z geometrie tomuto požadavku neodpovídaly. Žáci se totiž neseznamovali s grafickým součtem a rozdílem úseček ani s násobkem úsečky, a tak jim znázornění úlohy nebylo oporou při jejím řešení, ale spíše přítěží. Při samostatné práci žáci obvykle znázorňovali úlohu až dodatečně po jejím vyřešení.

Schematický záznam rozboru úlohy by měl být žákům i vodítkem při úvahách o tom, zda jsou v úloze uvedeny potřebné údaje k jejímu řešení, které by měli provádět v závěru rozboru úlohy. Proto je vhodné žákům občas zadat i úlohu, v níž nejsou uvedeny všechny potřebné údaje, jako např.: V košíku byla jablka. Jitka si 3 vzala. Kolik jablek zůstalo v košíku? V průběhu rozboru takové úlohy by žáci měli přijít na to, že úlohu nemohou vyřešit, protože v ní není uvedeno, kolik jablek bylo v košíku.  

Žáci postupně poznávají, že totéž schéma, diagram je záznamem matematické stránky různých konkrétních situací. Schematický záznam aplikační úlohy různými diagramy a grafy je i průpravou k řešení problémů matematického charakteru grafickými metodami.

Na základě rozboru úlohy a jejího schematického záznamu se postupně vytváří tzv. plán řešení úlohy. Zvažují se různé možné metody řešení úlohy, stanoví se prostředky a postup řešení. Přitom mohou žáci dojít k závěru, že mohou úlohu vyřešit přímo jejím vymodelováním, znázorněním nebo geometrickými prostředky, nebo mohou zapsat příklad, rovnici, nerovnici, soustavu rovnic. Žáky je sice třeba vést k volbě nejvýhodnějších metod a postupů řešení úloh, je však vhodné jim ponechat i určitou volnost ve výběru metod a postupů řešení úlohy. Každá metoda, která vede k cíli a každý správný postup musí být hodnocen kladně.

Při tradičním vyučování počtům popisovali žáci ústně tzv. plán pracovního postupu. V době, kdy se žáci mladšího školního věku neseznamovali s prvky algebry, kdy neznali pojem proměnné a neznámé, neměli jiný prostředek k tomu, aby mohli postup řešení úlohy zaznamenat. Náznakem postupu mohlo být jedině použití závorek.

Při modernizaci vyučování matematice od r. 1976 se žáci učili již od 1. ročníku využívat písmena jako znaky proměnné. Používali je jak ve stručném záznamu úlohy, tak i ve schematickém záznamu a v zápise matematického obsahu úlohy. Nebylo pro ně problémem vyjádřit matematický obsah úlohy rovnicí, nerovnicí, popř. soustavou rovnic o více neznámých.

Realizace plánu řešení úlohy je vlastně řešením základní matematické úlohy, na niž byla aplikační úloha převedena.

Odpověď a kontrola správnosti řešení je závěrečnou fází řešení aplikační úlohy. Při sestavování odpovědi se žáci vracejí k reálné skutečnosti a aplikují výsledek řešení matematické úlohy na situaci z praxe, která je v aplikační úloze popsána. Proto je třeba nejdříve kontrolovat zda naformulovaná odpověď je odpovědí na položenou otázku a zda výsledek odpovídá reálné skutečnosti. Jestliže dojdou žáci při řešení úlohy k závěru, že šířka dveří do pokoje je 90 metrů nebo že do 3.A chodí 90 žáků, měli by při kontrole přijít na to, že tento výsledek neodpovídá realitě. Žáky je tak možno vést k poznání, že praxe je kriteriem pravdivosti výsledku řešení úlohy. Provádění kontroly výsledku jeho praktickým ověřením by se mělo stát pevným návykem žáků základní školy.                                                         

Standardní aplikační úlohy se s žáky řeší v pěti hlavních těsně propojených krocích:

• Formulace úlohy je buď již dána nebo žáci úlohu formulují na základě konkrétní situace.
• Stručný záznam úlohy.
• Schematické znázornění úlohy je záznamem matematické stránky úlohy, vztahů mezi známými a hledanými údaji v úloze.
• Matematický záznam úlohy a řešení matematické úlohy.
• Aplikace výsledku na konkrétní situaci, tj. odpověď a kontrola výsledku.

V konečné fázi pak řešení takové úlohy může vypadat např. jako na obr. 1

Autor díla: marie janků

V učebních materiálech vydávaných od počátku devadesátých let jsou obsaženy aplikační úlohy a navíc jsou vydávány i různé zajímavé sbírky aplikačních úloh, ale není v nich věnována dostatečná pozornost postupu jejich řešení. V pracovních sešitech není místo ke stručnému záznamu úlohy ani na schéma úlohy. Je však důležité, aby vyučující žáky k tomuto postupu vedl alespoň tak, že jsou jednotlivé kroky řešení aplikační úlohy zaznamenány na tabuli a žáci je mohou zaznamenat na stírací tabulce nebo stírací umělohmotné folii.  

Je důležité vést žáky k řešení aplikačních úloh uvedeným postupem, ale je třeba si uvědomit, že je i celá řada různých nestandardních úloh, při jejichž řešení nejen že není třeba, ale někdy ani není možné postupovat uvedenými kroky.  Např. úloha: Aleš je větší než Petr, Ivan je menší než Aleš, Kája je menší než Petr. Kdo je z těchto čtyř chlapců největší? Může být zadána žákům v 1. ročníku a může sloužit k procvičování vztahů uspořádání. Šipkový diagram (uzlový graf) na obr. 2 je stručným záznamem i prostředkem řešení úlohy. Je z něj možno přečíst odpověď. Největší je Aleš.

Autor díla: marie janků

Jiným prostředkem řešení úlohy může být např. graf přímé úměrnosti. Grafické metody řešení úloh jsou názorné a mají tu výhodu, že jejich využití dává představu o celkové situaci popsané v úloze.

Jinou metodou řešení úlohy může být tabulková metoda (tabelace). Např.: Ve třídě je 35 žáků, z nichž je 20 chlapců. Do zájmového kroužku chodí z této třídy 8 dívek, 11 chlapců tento kroužek nenavštěvuje. Kolik žáků z této třídy navštěvuje tento zájmový kroužek? Úloha je pro žáky mladšího školního věku poměrně náročná. Jestliže se však údaje zapíší do tabulky, stává se průzračnější a žáci ji řeší hravě.

Autor díla: marie janků

Doplnění čísel 9 a17 do tabulky je řešením úlohy. Doplnění ostatních čísel v tabulce je kontrolou řešení. (obr. 3)

Úlohy typu „logická zebra“ je výhodné řešit pomocí kartézské tabulky. Je to např. úloha ze Sbírky úkolů z počtů [7]: Do naší třídy chodí Věra Bílá, Jitka Zelená a Markéta Červená. Jednou řekla Jitka: „Jé, my máme sukně barev jako jsou naše jména. “ „ Máš pravdu“ řekla dívka v bílé sukni, „ale žádná z nás nemá sukni barvy, kterou označuje její jméno.“ Jakou sukni má Markéta Červená?

Autor díla: marie janků

Jakmile se v tabulce (obr. 4) vyznačí, že Jitka Zelená nemá bílou sukni, není problémem úlohu vyřešit, a to dokážou žáci i nižších ročníků.

Další vhodnou metodou řešení aplikačních úloh je metoda experimentu, k níž je třeba se uchýlit, kdy řešitel úlohy neovládá potřebný aparát. Je to např. úloha vybrat z více prken různých délek tři prkna vhodná ke smontování ohrady ve tvaru trojúhelníku. V době, kdy žáci ještě neovládají trojúhelníkovou nerovnost, je jedinou možností úlohu vymodelovat, např. pomocí špejlí odpovídajících délek.

Metodu experimentu spojenou s modelováním je možno využít např. při řešení úlohy: Jirka měl ve stavebnici 19 koleček a 7 řídítek. Smontoval ze všech koleček a řídítek tříkolky a koloběžky. Kolik smontoval koloběžek a kolik tříkolek? Úloha může být sice řešena aritmetickými prostředky, ale v 1. nebo 2. ročníku je žáci ještě dostatečně neovládají a proto jim je metoda experimentu a modelování bližší. Žáci tak využijí k modelování tyčinky a kolečka, nebo úlohu řeší graficky tak, že ke každé ze sedmi čárek postupně přikreslí kolečka (obr. 5)

Autor díla: marie janků

Čistě logickou úvahou s využitím představivosti bez použití dalšího matematického aparátu lze řešit jednoduchou úlohu jako: Eliška má o 10 korun více než Lída a o 5 korun více než Klárka. Kdo má více korun Lída nebo Klárka?

Kromě takovýchto úloh se logickou úvahou řeší i úlohy, které mají charakter hádanek nebo tzv. „chytáků“. Jako např. Jedno vajíčko se uvaří za 3 minuty. Za jak dlouho se uvaří 10 vajec? Nebo stará známá chytačka: Šel sedlák do Poděbrad. Cestou dohonil 9 bab. Každá bába měla 9 pytlů. V každém pytli bylo 9 koček a každá kočka měla 9 koťat. Kolik jich šlo do Poděbrad? Takovéto úlohy zpestřují i vyučovací hodiny a jsou užitečné tím, že vedou žáky k hlubším úvahám i při řešení běžných úloh. Tak po zadání úlohy o cestě do Poděbrad, kdy se naprostá většina žáků mořila s výpočtem 9 . 9 . 9 . 9 bylo šokem řešení „Do Poděbrad šel sedlák a 9 bab, to je 10. Kočky se nesly.“ Ještě dlouho po řešení této úlohy žáci i při řešení běžných úloh uvažovali o tom, zda je nutné provádět složité výpočty, zda není možné úlohu řešit jinak.

Tvůrčí a iniciativní přístup k řešení každé závažnější úlohy v běžném životě vyžaduje rozvinuté logické myšlení, představivost, fantazii i určitou dávku intuice, což jsou schopnosti, které je možno rozvíjet při vyučování matematice právě při zařazování co nejpestřejší škály aplikačních úloh.