Zobrazit na úvodní stránce článků

Na začátek článku
Titulka > Modul články > Základní vzdělávání > Druhá mocnina – výzkumný přístup

Ikona prakticky

Druhá mocnina – výzkumný přístup

Ikona inspirace
Autor: Stanislav Novák
Anotace: Jedním z témat výuky matematiky na základní škole je i druhá mocnina přirozeného čísla. Následující text se snaží metodicky obsáhnout toto téma a inspirovat k pojetí aktivizujícímu žáky k přemýšlení, vlastní jednoduché výzkumné činnosti a vyvozování závěrů z ní.
Podpora výuky jazyka:
Klíčové kompetence:
  1. Základní vzdělávání » Kompetence k řešení problémů » vyhledá informace vhodné k řešení problému, nachází jejich shodné, podobné a odlišné znaky, využívá získané vědomosti a dovednosti k objevování různých variant řešení, nenechá se odradit případným nezdarem a vytrvale hledá konečné řešení problému
  2. Základní vzdělávání » Kompetence k učení » samostatně pozoruje a experimentuje, získané výsledky porovnává, kriticky posuzuje a vyvozuje z nich závěry pro využití v budoucnosti
Očekávaný výstup:
  1. základní vzdělávání » Matematika a její aplikace » 2. stupeň » Matematika a její aplikace » Číslo a proměnná » provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu
Mezioborové přesahy a vazby: Nejsou přiřazeny žádné mezioborové přesahy.
Průřezová témata:

Nejsou přiřazena žádná průřezová témata.

Klíčová slova: matematika, zkoumání, druhá mocnina, výzkumný přístup

Následující text je metodickým návrhem na zavedení pojmu a upevnění postupu výpočtu druhé mocniny přirozeného čísla. Vychází přitom z metod výzkumného přístupu při vyučování matematiky popsaných zejména v publikacích [1], [2]. Potřebný čas na realizaci uvedených aktivit jsou dvě vyučovací hodiny doplněné dobrovolnou domácí přípravou.

Zavedení pojmu „druhá mocnina přirozeného čísla“

Žákům předložíme následující tabulku (tabulka 1) s tím, aby se pokusili přijít na pravidlo, podle kterého jsou čísla do tabulky doplněna.

tabulka 1 – autor díla: Stanislav Novák

Žáci, kteří se domnívají, že princip objevili, dostanou následující tabulku (tabulka 2), v níž chybí hodnoty spodního řádku. Jejich úkolem je hodnoty doplnit.

tabulka 2 – autor díla: Stanislav Novák

Od žáků, kteří vyplnili tabulku námi očekávanými hodnotami (tabulka 3), budeme požadovat vysvětlení a demonstraci:

tabulka 3 – autor díla: Stanislav Novák

Většina žáků jistě na základě znalosti malé násobilky přijde na to, že v první tabulce jsme hodnotu v druhém řádku získali tak, že jsme příslušné číslo v prvním řádku násobili samo sebou. Na základě tohoto poznatku pak můžeme zavést pojem druhé mocniny přirozeného čísla.

Někteří žáci mohou objevit a aplikovat postup znázorněný níže (obrázek 1), který je také správný a tedy ekvivalentní předešlému zavedení druhé mocniny.

obrázek 1 – autor díla: Stanislav Novák

Důkaz ekvivalence obou postupů lze provést umocněním dvojčlenu `(a+1)`. Výsledný výraz je součtem výrazů v předchozích buňkách tabulky získaným na základě postupu schematicky znázorněného v tabulce (obrázek 2):

`(a+1)^2=(a+1)(a+1)=a^2+a+a+1=a^2+a+(a+1)`

obrázek 2 – autor díla: Stanislav Novák

Žákům nemá smysl důkaz uvádět, dokud nebudou mít osvojenu problematiku druhé mocniny algebraického výrazu. Pak se můžeme k jejich objevu (který zatím může viset na viditelném místě v učebně) vrátit a formálně dokázat jeho pravdivost.

Druhá mocnina vybraných přirozených čísel

V další části článku se zaměříme na zkoumání hodnot druhých mocnin takových přirozených čísel, která končí číslicí `5` . Žáci dostanou za úkol doplnit hodnoty druhých mocnin do souboru tabulek (tabulka 4). Určovat je budou na základě definovaného postupu.

tabulka 4 – autor díla: Stanislav Novák

Ve chvíli, kdy jsou tabulky kompletní, necháme žáky hledat „zákonitosti“. Níže jsou uvedeny tři poznatky vzešlé ze zkoumání, které proběhlo při práci v osmé třídě:

Poznatek 1: Všechny hodnoty druhých mocnin v tabulce končí dvojčíslím `25` .

Poznatek 2: Na pozici stovek v hodnotách druhých mocnin se stále opakuje sekvence `0` , `2` , `6` ,` 2` , `0` .

Poznatek 3: Počínaje druhou mocninou čísla `25` se na pozici tisíců a vyšší objevují číslice podle znázorněného pravidla (obrázek 3) – tedy vždy v pěticích se zvyšují hodnoty čísel o danou hodnotu a navíc v následující pětici pak vždy o hodnotu o `1` vyšší.

obrázek 3 – autor díla: Stanislav Novák

Následně mají žáci za úkol doplnit tabulku příslušnými hodnotami na základě poznatků, které sami objevili (tabulka 5). Poté správnost zkontrolují výpočtem na základě definice druhé mocniny přirozeného čísla a zjistí, že pro čísla obsažená v tabulce a hodnoty jejich druhých mocnin jsou všechny poznatky platné.

tabulka 5 – autor díla: Stanislav Novák

K jednotlivým poznatkům jsou níže uvedeny jejich matematické důkazy. Hloubka jejich představení žákům je na úvaze učitele. Ze zkušenosti vyplynulo, že ideu důkazu poznatku 1 jsou žáci zpravidla schopni odhalit sami a formální důkaz je možné uvést znovu po zvládnutí problematiky druhé mocniny algebraického výrazu. Důkazy pro poznatek 2 a poznatek 3, ač nejsou ideově složité, není vhodné ve výuce podrobně uvádět pro jejich technickou složitost.

Poznatek 1 – důkaz:

Přirozená čísla, jejichž poslední číslicí je `5` , můžeme zapsat v následujícím tvaru: `n` ·`10+5`, kde `n` je nějaké přirozené číslo. Pokud přirozené číslo zapsané v tomto tvaru umocňujeme, získáme jeho druhou mocninu ve tvaru:

`(n*10+5)^2 = n^2*100+2*n*10*5+5^2 = n^2*100+n*100+25 `

Nejnižší možný řád prvních dvou sčítanců vzniklého součtu je `100` (závisí na počtu cifer čísla `n`). Poslední dva řády (desítky a jednotky) hodnoty druhé mocniny nám tedy zřejmě obsadí dvojčíslí `25` .

Poznatek 2 + Poznatek 3 – důkaz:

Zbylé dva objevy budeme dokazovat společným důkazem, při němž využijeme tvar druhé mocniny, který jsme obdrželi v důkazu poznatku 1:

`n^2*100+n*100+25`

`(n^2+n)*100+25`

Druhá mocnina následujícího čísla končícího číslicí `5` má pak tvar:

`[(n+1)^2+(n+1)]*100+25,`

Dále nás bude zajímat jen výraz vyjadřující počet stovek:

`(n+1)^2+(n+1)` ,

který umocněním, vhodným sloučením a vytknutím před závorku upravíme:

`n^2+n+2*(n+1)`

Počet stovek hodnoty druhé mocniny následujícího čísla končícího číslicí `5` lze tedy získat tak, že k počtu stovek hodnoty druhé mocniny daného čísla končícího číslicí `5` přičteme dvojnásobek jeho počtu desítek zvětšeného o `1` , což můžeme pro prvních třináct čísel znázornit následující tabulkou (tabulka 6):  

tabulka 6 – autor díla: Stanislav Novák

ad Poznatek 2: Na základě odvozeného výrazu se v jednotlivých řádcích tabulky objevují součty, jejichž sčítance končí stejnými číslicemi (obarvené červeně) – snadno lze odvodit, že stejná situace nastane i pro další pětice čísel končících pětkou. Na pozici jednotek těchto součtů a tedy na pozici stovek druhých mocnin příslušných čísel se bude stále opakovat sekvence , , , , .

ad Poznatek 3: Z pohledu na tabulku je zřejmé, že číslo udávající počet tisíců v hodnotě druhé mocniny získáme sečtením modře obarvených čísel a případným přenesením řádu ze součtu červeně obarvených čísel.

Řád se přenáší pouze v situaci `6+6` a `2+8` , což v prvních dvou řádcích tabulky způsobí zvýšení součtu modře obarvených čísel o `1` . Ve zbývajících třech řádcích tabulky nám samotný součet modře obarvených čísel odpovídá zákonitosti popsané v poznatku 3.

Analogická situace zřejmě nastane i pro další pětice čísel končících pětkou, jimiž by tabulka pokračovala.

Na závěr celku je vhodné demonstrovat jednoduché pravidlo, které žákům usnadní určování hodnot druhých mocnin čísel končících číslicí `5` – mohlo by znít například takto:

„Hodnotu druhé mocniny získáme tak, že počet desítek násobíme číslem o `1` větším, získáme tím počet stovek v hodnotě druhé mocniny, kterou ukončíme dvojčíslím `25` (viz poznatek 1).“

Důkaz:

Důkaz opět můžeme uvést po zvládnutí problematiky druhé mocniny algebraického výrazu. Při důkazu využijeme tvar druhé mocniny, který jsme obdrželi v důkazu poznatku 1:

`n*(n+1)*100+25`

Žáky necháme pravidlo ověřit na hodnotách, které mají spočtené v tabulkách z předchozích zkoumání.

Lagrangeova věta o čtyřech čtvercích

V závěrečné aktivitě sloužící k upevnění pojmu a postupu výpočtu žáků představíme tvrzení, jehož důkaz formuloval na konci 18. století významný matematik J. L. Lagrange, po němž je také toto tvrzení pojmenováno:

VĚTA (tradiční znění): Každé přirozené číslo lze zapsat jako součet nejvýše čtyř čtverců.

Nejprve je třeba se se žáky dobrat pochopení obsahu věty – pokládat návodné otázky, kterými žáky dovedeme k odhalení identity čtverec = druhá mocnina přirozeného čísla. Následně větu přeformulujeme do jazyka moderní matematiky:

VĚTA (moderní znění): Pro každé přirozené číslo `n` existují nejvýše čtyři přirozená čísla `a` , `b` , `c` a `d` taková, že:

`n=a^2+b^2+c^2+d^2`

 

Necháme žáky ověřit platnost věty pro malá přirozená čísla. Pokud jsou žáci úspěšní, zpravidla sami žádají větší čísla, jejich motivaci můžeme ještě zvýšit soutěžním pojetím aktivity.

Například:                                                   `35=5^2+3^2+1^2`

U některých zadaných čísel se stane, že žáci naleznou jeho různé rozklady. To nám nabízí další variantu práce – nalézt všechny možné Lagrangeovy rozklady zadaného čísla:

Například:                                                `35=4^2+3^2+3^2+1^2`

 

Na závěr hodiny necháme žáky samotné zadat několik čísel, jejichž rozklad podle Lagrangeovy věty budou žáci hledat formou dobrovolné domácí práce. Ze zkušenosti vyplynulo, že je vhodné omezit se na maximálně trojciferná čísla, ačkoli někteří žáci dokázali nalézt rozklad letopočtu `2012:`

Například:                                                              `2012=43^2+9^2+9^2+1^2`

Citace a použitá literatura:
[1] - KOPKA, Jan. Hrozny problémů ve školské matematice. 1. vydání. Ústí nad Labem : Univerzita Jana Evangelisty Purkyně, 1999. 194 s. ISBN 8070442476. 
[2] - KOPKA, Jan. Výzkumný přístup při výuce matematiky. 1. vydání. Ústí nad Labem : Univerzita Jana Evangelisty Purkyně, 2007. 169 s. ISBN 8070449268. 
Anotované odkazy:
Příspěvek nemá přiřazeny žádné anotované odkazy.
Přiřazené DUM:
Příspěvek nemá přiřazeny žádné DUM.
Přiřazené aktivity:
Příspěvek nemá přiřazeny žádné aktivity.
 
INFO
Publikován: 31. 05. 2012
Zobrazeno: 15273krát
Hodnocení příspěvku
Hodnocení týmu RVP:
Hodnocení článku : 3.6667

Hodnocení uživatelů:
Hodnocení článku : 4
Hodnotit články mohou pouze registrovaní uživatelé.

zatím nikdo Hodnocení článku : 5
1 uživatel Hodnocení článku : 4
zatím nikdo Hodnocení článku : 3
zatím nikdo Hodnocení článku : 2
zatím nikdo Hodnocení článku : 1
Jak citovat tento materiál
NOVÁK, Stanislav. Druhá mocnina – výzkumný přístup. Metodický portál: Články [online]. 31. 05. 2012, [cit. 2019-10-20]. Dostupný z WWW: <https://clanky.rvp.cz/clanek/c/Z/15649/DRUHA-MOCNINA---VYZKUMNY-PRISTUP.html>. ISSN 1802-4785.
Licence Licence Creative Commons

Všechny články jsou publikovány pod licencí Creative Commons.


Komentáře RSS komentářů článku
1.Autor: Recenzent1Vloženo: 31. 05. 2012 14:11
Zajímavý příspěvek, vhodná aplikace badatelských aktivit na 2. stupni ZŠ. Je třeba promyslet, jak "pomoci" žákům k objevu naznačených složitějších závislostí.
1.Autor: Jana PetrůVloženo: 31. 05. 2012 14:51


Je to moc pěkné, ale nemohu se zbavit dojmu, že je to spíše dokazování již sděleného obsahu, než objevování. Za objevování v pravém slova smyslu považuji spíše prvotní využití geometrie, tam žáci opravdu OBJEVÍ druhou mocninu, pak práci se čtverci ve čtverci (vyvodí se výrazy) a pak teprve tento algebraický postup jako "zpětné ověření" a zjednodušení. Ale určitě se mohu mýlit.

Mmch, mým žákům se moc líbilo písemné odmocňování, které také zpětně osvětlovalo druhé mocniny.

2.Autor: Stanislav NovákVloženo: 31. 05. 2012 16:59

Děkuji Vám za reakci. Jistě máte pravdu, nejde ani tak o objevování druhé mocniny (k té jsme se snažili dostat pomocí čtverečků, z kterých jsme skládali větší čtverce, ... - zřejmě tedy v duchu postupu, který jste načrtla),

V tomto případě jde spíše o výzkumný přístup k odhalování souvislostí, které lze najít mezi konkrétními hodnotami druhých mocnin konkrétních přirozených čísel. Nejprve jde o takové "hraní si s čísly," při kterém ale upevňujeme postup výpočtu, pak přijde na řadu zobecňování - klíčová část!! Formulovat pravidlo, ověřit na dalších hodnotách a nakonec se pokusit odůvodnit jeho platnost obecně (samozřejmě ne formálním důkazem, ale hrubým načrtnutím jeho idey - žáci v tom byli celkem úspěšní).

3.Autor: Jana PetrůVloženo: 31. 05. 2012 22:30


V tom případě hvězdičkuji :)

Vložit komentář:

Pro vložení komentáře je nutné se přihlásit.