Domů > Odborné články > Gymnaziální vzdělávání > Těžiště České republiky
Odborný článek

Těžiště České republiky

5. 1. 2016 Gymnaziální vzdělávání
Autor
Jaroslav Reichl

Anotace

Článek popisuje netradiční úlohu zaměřenou na problematiku určování těžiště soustavy hmotných bodů. Úloha podporuje interdisciplinární výuku propojující vzdělávací obsahy vyučovacích předmětů fyzika, matematika, zeměpis a ICT.

Zaměření úlohy

Úloha je určena pro žáky prvních ročníků středních škol, je vhodné ji zařadit po probrání pojmu těžiště tuhého tělesa ve fyzice. S určitou nápovědou nebo zjednodušením je úloha vhodná i pro žáky základních škol.

Zadání úlohy

Určete polohu těžiště České republiky za předpokladu, že republiku považujete za homogenní, na všech místech stejně silnou desku a že zohledníte počet obyvatel v jednotlivých okresech České republiky.

Najděte vhodnou mapu České republiky, vytiskněte a vystřihněte ji a pokuste se určit její těžiště. Odpovídá jeho poloha nalezené poloze? Diskutujte.

Promyslete, jak by bylo možné experimentálně (alespoň přibližně) ověřit teoretické řešení zadané úlohy (tj. nalezení polohy těžiště České republiky se započtením počtu obyvatel jednotlivých okresů).

Realizace výuky

Před vyřešením zadané úlohy je vhodné vyřešit postupně dvě pomocné úlohy. Pomůže to hlubšímu pochopení problému a slouží jako příprava k řešení problémové úlohy.

1) Určete polohu těžiště soustavy dvou kruhových desek různých hmotností m1 = 0,5 kg a m2 = 1,5 kg. Desky leží na úsečce a podle obrázku 1 platí: x1 = 2 dm a x2 = 9 dm.  

 Obr. 1

2) Určete polohu těžiště soustavy tří kruhových desek o hmotnostech m1 = 1,5 kg, m2 = 0,5 kg a m3 = 1 kg, které se nacházejí v rovině. Při označení podle obrázku 2 platí: x1 = 1 dm, x2 = 9 dm, x3 = 5 dm, y1 = 0 dm, y2 = 1 dm a y3 = 6 dm.

 Obr. 2 

A) Učitel žákům zadá nejdříve první pomocnou úlohu. Je vhodné použít pracovní list v příloze tohoto článku (teziste_prac_list_1.docx). 

Úlohu budeme řešit v rovině, protože tloušťku kruhové desky lze ve srovnání s průměrem desky zanedbat. Desky mají obecně různé hmotnosti m1 a m2, proto na ně působí obecně různé tíhové síly a, které jsou zobrazené na obr. 3. 

 Obr. 3

Polohu těžiště soustavy zadaných kruhových desek na ose x označíme xT. Tuto neznámou vypočteme na základě platnosti momentové věty; vzhledem k počátku osy x má momentová věta (viz např. [1]) tvar:

                                                                                                                                                                 

Uvědomíme-li si, že obě síly vystupující ve vztahu (1) jsou síly tíhové, můžeme psát:

 

 

kde g je velikost tíhového zrychlení. Vyjádřením neznámé xT z rovnice (1) a dosazením ze vztahů (2) získáme pro xT vztah: 

.

 

 

Na obr. 4 je zobrazeno řešení úlohy pro konkrétní zadání: m1 = 0,5 kg, m2 = 1,5 kg, x1 = 2 dm a x2 = 9 dm. Na základě vztahu (3) získáme polohu těžiště xT = 7,25 dm.

 

 Obr. 4 

Poloha těžiště soustavy dvou těles závisí na vzájemné hmotnosti těchto těles. V případě, že hmotnosti budou stejné, bude těžiště této soustavy těles ležet uprostřed mezi oběma tělesy.

Poloha těžiště tedy závisí na rozložení látky (hmotnosti) v dané soustavě těles, přičemž těžiště leží blíže k místu, kde je soustředěna větší hmotnost. Pokud žáci ve vztahu (3) budou vidět jakýsi „průměr“, je to v pořádku. Jedná se vlastně o vážený průměr poloh jednotlivých částí tělesa (resp. soustavy těles), přičemž vahou v tomto případě jsou hmotnosti jednotlivých částí tělesa (resp. soustavy těles). Tato myšlenka je velmi důležitá a bude dále využita. 

Polohu těžiště v tělese v závislosti na hmotnostech jeho částí lze velmi snadno demonstrovat experimentálně metodou, která je popsána v [2]. K jejímu provedení budeme potřebovat špejli a modelínu – nejlépe pro každého žáka (nebo dvojici žáků) ve třídě. Špejle bude představovat osu x z výše popsané úlohy a z modelíny vytvarujeme kuličky různých hmotností. Snadno pak určíme experimentálně polohu těžiště vytvořeného tělesa. Po odměření veličin m1, m2, x1 a x2 lze pomocí vztahu (3) ověřit shodu experimentu s teorií. Žáci přitom mohou vytvářet různé „činky“ (různá délka, různé hmotnosti kuliček) a pro všechny ověřit platnost odvozeného vztahu. 

Časová náročnost úlohy: cca 30 minut. 

B) Učitel žákům zadá druhou pomocnou úlohu. Je vhodné použít pracovní list v příloze tohoto článku (teziste_prac_list_2.docx). 

Řešení druhé úlohy bude popsáno stručněji, protože můžeme využít již vyřešené první úlohy. Stejně tak při řešení mohou žáci (resp. učitelé) postupovat tak, že se odvolají na řešení předchozí úlohy. Druhá úloha, jejíž zadání je zobrazeno na obr. 2, je vlastně dvourozměrnou analogií předchozí úlohy. Proto bude nutné úvahy, kterými jsme vyřešili první úlohu, zopakovat při řešení druhé úlohy dvakrát – jednou z hlediska osy x, podruhé z hlediska osy y

Na obr. 5 jsou vyznačeny síly, které působí na jednotlivé části zadané soustavy těles. Jedná se o tíhové síly definované analogickými vztahy, jako jsou vztahy (2). Momentová věta vzhledem k počátku soustavy souřadnic bude mít nyní tvar: 

 

kde xT je x-ová souřadnice hledaného těžiště. Pro tuto souřadnici dostáváme vztah:

                                                                                               

 

 

Pro zadání m1 = 1,5 kg, m2 = 0,5 kg, m3 = 1 kg, x1 = 1 dm, x2 = 9 dm a x3 = 5 dm dostáváme na základě vztahu (5) x-ovou souřadnici polohy těžiště: xT = 3,67 dm. Víme tedy, že těžiště leží na přímce, která je rovnoběžná s osou y a prochází bodem o souřadnicích [3,67; 0] (viz obr. 6).

 

 Obr. 5 

 

Obr. 6 

Analogicky můžeme postupovat při hledání y-ové souřadnice yT těžiště zadané soustavy těles. Síly působící na jednotlivá tělesa soustavy jsou zobrazeny na obr. 7. I v tomto případě se jedná o tíhové síly jednotlivých částí soustavy tělesa, ač jsou zakresleny ve vodorovném směru. Tento obrázek je důležitý pro správnou formulaci momentové věty, pomocí níž určíme souřadnici yT. Momentová věta vzhledem k počátku soustavy souřadnic má tvar: 

 

Pro y-ovou souřadnici těžiště pak dostáváme: 

                                                                    

Při stejných hmotnostech jednotlivých částí soustavy a pro y1 = 0 dm, y2 = 1 dm a y3 = 6 dm získáme na základě vztahu (7) y-ovou souřadnici polohy těžiště: yT = 2,17 dm. Těžiště proto leží také na přímce, která je rovnoběžná s osou x a prochází bodem o souřadnicích [0; 2,17] (viz obr. 8). 

 Obr. 7 

  

 

Obr. 8 

Těžiště hledané soustavy těles proto leží (pro dané konkrétní zadání) v bodě o souřadnicích T = [3,67; 2,17] (viz obr. 9). 

Pokud budou mít všechna tělesa této soustavy stejnou hmotnost, bude těžiště ležet v geometrickém těžišti trojúhelníka s vrcholy ve středech zadaných těles. 

Hledání polohy těžiště lze i v tomto případě experimentálně ověřit. Jako tělesa soustavy použijeme opět modelínu, z níž budeme vytvářet kuličky o různé hmotnosti, a jako podložku tužší kousek plastu (např. dno kelímků od salátů), karton, … Abychom nemuseli uvažovat vlastní tíhu podložky, musí mít kuličky výrazně větší hmotnost, než je hmotnost použité podložky. 

Žáky lze nechat diskutovat nad problémovou otázkou: „Jak by se změnily vztahy (5) a (7), kdybychom hmotnost podložky uvažovali?“ 

Časová náročnost: 15 minut s využitím řešení předchozí úlohy. 

Obr. 9

C) Nyní je možné přistoupit k řešení úlohy zaměřené na nalezení polohy těžiště České republiky se zohledněním počtu obyvatel v jejích jednotlivých okresech. Podle [3] je v České republice ke dni 31. 12. 2014 celkem 77 okresů; ve stejném zdroji jsou uvedeny i počty obyvatel v jednotlivých okresech. Tato data lze exportovat do souboru v databázovém formátu (např. ve formátu XLS). V souboru teziste_data.xls jsou připravena data (včetně zeměpisných poloh okresních měst) k dalšímu použití. Tento soubor je součástí přílohy článku. 

Pro výpočet polohy těžiště podle zadání úlohy zobecníme vztahy (5) a (7); vahami v tomto případě budou počty obyvatel v jednotlivých okresech, souřadnicemi budou zeměpisná šířka a zeměpisná délka. Zeměpisnou šířku j těžiště proto můžeme vypočítat pomocí vztahu: 

 

kde pi je počet obyvatel v i-tém okrese a ji je zeměpisná šířka i-tého okresního města. 

Analogicky můžeme určit zeměpisnou délku l těžiště: 

 

li je přitom zeměpisná délka i-tého okresního města. 

Pokud přeneseme tyto vztahy do tabulkového procesoru, můžeme relativně snadno určit zeměpisné souřadnice těžiště České republiky s přihlédnutím k počtu obyvatel v jednotlivých okresech: j = 49,82371° a l = 15,56252°. 

Správné řešení je uvedeno v souboru teziste_reseni.xlsx, který je součástí přílohy článku. 

Obr. 10

 

 Obr. 11 

S využitím map dostupných na internetu (např. [4]) lze pomocí vypočtených souřadnic najít geografické místo, ve kterém leží takto vypočítané těžiště České republiky. Toto místo se nachází přibližně 1 km východním směrem od obce Heřmanice nedaleko Golčova Jeníkova (viz obr. 10). Poloha těžiště v rámci celé České republiky je patrná z obr. 11. 

K experimentálnímu nalezení polohy těžiště České republiky budeme potřebovat její tištěnou mapu. Mapy republiky lze nalézt na internetu – např. mapa [5] obsahuje i dělení na okresy. Tento obrázek je natolik kvalitní, že jej lze vytisknout na tužší papír formátu A4 (nebo větší) a experimentálně nalézt polohu těžiště. 

Abychom mohli experimentálně určit polohu těžiště České republiky se započtením počtu obyvatel v jednotlivých okresech, bylo by nutné vytvořit model představující rozložení obyvatel. Počty obyvatel jednotlivých okresů (viz [3]) bychom si museli předem upravit – např. vydělit 10 000, čímž bychom získali počty od 4 (po zaokrouhlení na celá čísla) do 126. Tyto počty již by bylo možné zrealizovat malými tělesy, která bychom položili na mapu do příslušného okresu nebo je zavěsili pod příslušný okres. 

Popsané výpočty (dělení 10 000, rozsah počtu nutných předmětů, jejich celkový počet) lze přitom velmi rychle provést rovněž v tabulkovém procesoru s daty uvedenými v souboru v příloze.

Literatura a použité zdroje

[1] – REICHL, Jaroslav. Encyklopedie fyziky. [cit. 2015-12-18]. Dostupný z WWW: [http://fyzika.jreichl.com/main.article/view/84].
[2] – REICHL, Jaroslav. Určování polohy těžiště tělesa . [cit. 2015-12-18]. Dostupný z WWW: [http://clanky.rvp.cz/clanek/o/g/2271/URCOVANI-POLOHY-TEZISTE-TELESA.html/].
[3] – Počet obyvatel v obcích - k 1.1.2015. [cit. 2015-12-18]. Dostupný z WWW: [https://www.czso.cz/csu/czso/pocet-obyvatel-v-obcich-k-112015].
[4] – Mapy.cz . [cit. 2015-12-20]. Dostupný z WWW: [http://mapy.cz].
[5] – Mapa České republiky . [cit. 2015-12-20]. Dostupný z WWW: [http://portal.uur.cz/images/nuts/NUTS-2-2012.jpg].
Soubory materiálu
Typ
 
Název
 
xls
31.25 kB
Tabulka
Těžiště data
docx
48.83 kB
Dokument
Těžiště pracovní list I
docx
83.01 kB
Dokument
Těžiště pracovní list II
xlsx
16.6 kB
Tabulka
Těžiště řešení

Licence

Všechny články jsou publikovány pod licencí Creative Commons BY-NC-ND.

Autor
Jaroslav Reichl

Hodnocení od uživatelů

Článek nebyl prozatím komentován.

Vaše hodnocení

Ohodnoťte hvězdičkami:

Váš komentář

Pro vložení komentáře je nutné se nejprve přihlásit.

Zařazení do seriálu:

Tento článek je zařazen do seriálu ICT a fyzika.
Ostatní články seriálu:

Klíčové kompetence:

  • Gymnázium
  • Kompetence komunikativní
  • efektivně využívá moderní informační technologie
  • Gymnázium
  • Kompetence k řešení problémů
  • vytváří hypotézy, navrhuje postupné kroky, zvažuje využití různých postupů při řešení problému nebo ověřování hypotézy;
  • Gymnázium
  • Kompetence k učení
  • kriticky přistupuje ke zdrojům informací, informace tvořivě zpracovává a využívá při svém studiu a praxi

Mezioborove presahy:

  • Gymnázium
  • Fyzika

Organizace řízení učební činnosti:

Individuální, Skupinová

Organizace prostorová:

Specializovaná učebna, Školní třída