Může Frantík přetáhnout Pepíka?

Může Frantík přetáhnout Pepíka?
Jistě jste se všichni s tímto problémem ve své školní praxi setkali (a zřejmě tedy správnou odpověď znáte):

"Hromotluk Frantík a vyžle Pepík se přetahují lanem (viz obr. 1). Přestože by podle třetího Newtonova pohybového zákona (zákona akce a reakce) měli hoši na sebe působit stejně velkými silami, většinou Frantík Pepíka přetáhne (protože má větší sílu). Jak je to možné?"

1. Obr

Výsledky pokusu jsou naprosto průkazné, ale na první pohled se zdají být v rozporu s třetím Newtonovým zákonem. Ten totiž říká, že dvě tělesa na sebe působí silami stejně velikými a opačnými. Vzniká tak otázka:

Jak tedy může Frantík přetáhnout Pepíka, když podle třetího Newtonova zákona na sebe působí stejně velkými silami?

Pro správné řešení tohoto problému je třeba si uvědomit, že zrychlení tělesům neudělují přímo síly vzájemného působení, ale výslednice všech sil působící na dané těleso.

Nakresleme nejprve všechny síly, které působí na Frantíka (viz obr. 2).

2. Obr

Ve svislém směru působí síla tíhová F_G (na základních školách se pro jednoduchost považuje za rovnou síle gravitační) a (normálová) síla reakce podložky F_n. Tyto síly mají stejnou velikost a opačný směr (a působí na stejné těleso - Frantíka), takže se navzájem zruší. Ve vodorovném směru působí síla Pepíka F_P a síla tření F_t. Pokud se začne Frantík pohybovat, velikost třecí síly se určí podle vztahu F_t = f . F_n, kde f je součinitel smykového tření mezi podložkou a podrážkami Frantíkových bot.

Jak je uvedeno výše, platí F_n = F_G = m_F . g , kde m_F je hmotnost Frantíka, takže můžeme psát F_t = f . m_F . g . Aby se Frantík začal pohybovat, musí platit, že síla, kterou na něj působí Pepík prostřednictvím lana, musí být větší než třecí síla, tedy F_P > f m_F . g . Stejným způsobem můžeme určit také sílu, při níž se začne pohybovat Pepík: F_F > f . m_P . g . Protože hmotnost Frantíka je větší než hmotnost Pepíka (m_F > m_P), je větší třecí síla působící na Frantíka (f . m_F . g > f . m_P . g). Proto se chlapci začnou pohybovat ve směru této třecí síly, tedy doleva. Frantík tedy Pepíka přetáhne.

I při pohybu obou chlapců jsou neustále síly, kterými na sebe oba hoši navzájem působí, stejné (F_F = F_P) - třetí Newtonův zákon (zákon akce a reakce) tedy platí neustále. Pepík s Frantíkem (a lano) tvoří jednu pohybující se soustavu těles. O směru pohybu rozhoduje jen rozdíl třecích sil. Chlapci se pohybují ve směru větší třecí síly.

Poznámka:
Předpokládali jsme, že součinitel tření mezi botami a podložkou je stejný u obou chlapců. Kdyby stál Frantík na ledě, mohl by ho i lehčí Pepík stojící na břehu přetáhnout, neboť koeficient tření na ledě je menší než na zemi. Rovněž jsme předpokládali, že součinitel tření za pohybu je stejný jako v klidu (ve skutečnosti je o něco menší). Navíc jsme také předpokládali, že směr lana je vodorovný. Kdyby držel Frantík lano ve větší výšce než Pepík, pak by ho Pepík také mohl přetáhnout (nebo spíše porazit, překotit), protože moment síly ( , kde r je rameno síly; čím je větší r, tím větší je velikost momentu síly), kterou na Frantíka působí Pepík, může způsobit otáčivý pohyb Frantíka kolem jeho chodidel.